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《第11章一元一次不等式》
一、填空1．用“＞”或“＜”填空
（1）若a＞b，则a+c b+c；
（2）若m+2＜n+2，则m﹣4 n﹣4；
（3）若b＞﹣1，则b+1 0；
（4）若a＜b，则﹣3a ﹣3b；
（5）若＞，则a b；
（6）若a＜b，则﹣2a+1 ﹣2b+1．2．判断下列各题的推导是否正确，并说明理由．
（1）因为
7.5＞
5.7，所以﹣
7.5＜﹣
5.7；
（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4；
（3）因为4a＞4b，所以a＞b；
（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2．3．写出使下列推理成立的条件．
（1）4m＞2m ；
（2）如果a＞b，那么ac＜bc ；
（3）如果a＞b，那么ac2＞bc2 ；
（4）如果ax＜b，那么x＞ ．4．若a＞b，c＜0，用“＞”或“＜”填空
（1）a+3 b+1；
（2）﹣a ﹣b；
（3）ac2 bc2；
（4） ．5．若是一元一次不等式，则m= ．6．不等式x﹣1≥﹣3的解集为 ，其中不等式的负整数解为 ．7．不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解是 ．8．若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，则k的范围是 ．9．解不等式2（x+1）﹣3（x+2）＜0；并把解集在数轴上表示出来．
二、选择10．下列不等式变形正确的是（ ）A．由4x﹣1＞2，得4x＞1B．由5x＞3，得x＞C．由＞0，得y＞2D．由﹣2x＜4，得x＞﹣211．若a＜b＜0，则下列式子
①a+1＜b+2；
②＞1；
③a+b＜ab；
④＜中，正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个12．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（ ）A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．a＜0
三、解答13．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，并说出每次变形的依据．
（1）x+3＜﹣2；
（2）x＞﹣1；
（3）7x＞6x﹣4；
（4）﹣x﹣1＜0．14．
（1）甲在不等式﹣10＜0的两边都乘﹣1，竟得到10＜0！为什么？
（2）乙在不等式2x＞5x两边同除以x，竟得到2＞5！又是为什么？
（3）你能利用不等式的性质将不等式“a＞b”变形为“b＜a”吗？试试看．15．一辆12个座位的汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x个人，车上仍有空位，可以得到怎样的不等式？并判断x的取值范围．16．比较两个数的大小可以通过它们的差来判断．例如要比较a和b的大小，那么当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b=0时，一定有a=b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反之也成立．因此，我们常常将要比较的两个数先作差计算，再根据差的符号来判断这两个数的大小．根据上述结论，试比较x4+2x2+2与x4+x2+2x的大小关系．17．下面是解不等式的部分过程，如果错误，说明错误原因并改正；如果正确，说明理由．
（1）由2x＞﹣4，得x＜﹣2；
（2）由16x﹣8＞32﹣24x，得2x﹣1＞4﹣3x；
（3）由﹣3x＞12，得x＜﹣4．18．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
（1）7+x＞3；
（2）x＜1；
（3）4+3x＞6﹣2x．19．解答下列各题
（1）x取何值时，代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值？
（2）当m为何值时，关于x的方程x﹣1=m的解不小于3？
（3）求不等式2x﹣3＜5的最大整数解．20．某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油
0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．21．小丽在学了这节内容后，总结出解一元一次不等式，就是利用不等式的性质把所要求的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式．你同意小丽的观点吗？请自编、自解一个一元一次不等式，再体会小丽的说法． 《第11章一元一次不等式》参考答案与试题解析
一、填空1．用“＞”或“＜”填空
（1）若a＞b，则a+c ＞ b+c；
（2）若m+2＜n+2，则m﹣4 ＜ n﹣4；
（3）若b＞﹣1，则b+1 ＞ 0；
（4）若a＜b，则﹣3a ＞ ﹣3b；
（5）若＞，则a ＞ b；
（6）若a＜b，则﹣2a+1 ＞ ﹣2b+1．【考点】不等式的性质．【分析】
（1）根据不等式的性质1，进而得出答案；
（2）根据不等式的性质1，进而得出答案；
（3）根据不等式的性质1，进而得出答案；
（4）根据不等式的性质2，进而得出答案；
（5）根据不等式的性质2，进而得出答案；
（6）根据不等式的性质2，进而得出答案．【解答】解
（1）若a＞b，则a+c＞b+c；
（2）若m+2＜n+2，则m﹣4＜n﹣4；
（3）若b＞﹣1，则b+1＞0；
（4）若a＜b，则﹣3a＞﹣3b；
（5）若＞，则a＞b；
（6）若a＜b，则﹣2a+1＞﹣2b+1．故答案为
（1）＞；
（2）＜；
（3）＞；
（4）＞；
（5）＞；
（6）＞．【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键． 2．判断下列各题的推导是否正确，并说明理由．
（1）因为
7.5＞
5.7，所以﹣
7.5＜﹣
5.7；
（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4；
（3）因为4a＞4b，所以a＞b；
（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2．【考点】不等式的性质．【分析】
（1）根据不等式的性质2，进而得出答案；
（2）根据不等式的性质1，进而得出答案；
（3）根据不等式的性质2，进而得出答案；
（4）根据不等式的性质1，进而得出答案．【解答】解
（1）因为
7.5＞
5.7，所以﹣
7.5＜﹣
5.7，正确，利用不等式两边同乘以一个负数不等号的方向改变；
（2）因为a+8＞4，所以a＞﹣4，正确，利用不等式两边同加上或减去同一个数不等号的方向不变；
（3）因为4a＞4b，所以a＞b；正确，利用不等式两边同除以一个数不等号的方向不变；
（4）因为﹣1＞﹣2，所以﹣a﹣1＞﹣a﹣2，正确，利用不等式两边同加上或减去同一个数不等号的方向不变．【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键． 3．写出使下列推理成立的条件．
（1）4m＞2m m＞0 ；
（2）如果a＞b，那么ac＜bc c＜0 ；
（3）如果a＞b，那么ac2＞bc2 c≠0 ；
（4）如果ax＜b，那么x＞ a＜0 ．【考点】不等式的性质．【分析】
（1）根据不等式的基本性质得出即可；
（2）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变）得出即可；
（3）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不发生变化）得出即可；
（4）根据不等式的基本性质（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变）得出即可．【解答】解
（1）当m＞0时，4m＞2m，故答案为m＞0；
（2）∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故答案为c＜0；
（3）当c≠0时，当a＞b时，ac2＞bc2，故答案为c≠0；
（4）当a＜0时，∵ax＜b，∴x＞，故答案为a＜0【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意不等式的基本性质是
①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；
②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；
③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变． 4．若a＞b，c＜0，用“＞”或“＜”填空
（1）a+3 ＞ b+1；
（2）﹣a ＜ ﹣b；
（3）ac2 ＞ bc2；
（4） ＞ ．【考点】不等式的性质．【分析】
（1）根据不等式的性质1，进而得出答案；
（2）根据不等式的性质2，进而得出答案；
（3）根据不等式的性质2，进而得出答案；
（4）根据不等式的性质2，进而得出答案．【解答】解
（1）a+3＞b+1；
（2）﹣a＜﹣b；
（3）ac2＞bc2；
（4）＞．故答案为
（1）＞，
（2）＜，
（3）＞，
（4）＞．【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的性质是解题关键． 5．若是一元一次不等式，则m= 1 ．【考点】一元一次不等式的定义．【分析】根据一元一次不等式的定义，2m﹣1=1，求解即可．【解答】解根据题意2m﹣1=1，解得m=1．故答案为m=1．【点评】本题考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件． 6．不等式x﹣1≥﹣3的解集为 x≥﹣2 ，其中不等式的负整数解为 ﹣2，﹣1 ．【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】首先移项，然后合并同类项即可解不等式，然后确定不等式的负整数解即可．【解答】解移项，得x≥﹣3+1，即x≥﹣2．则负整数解是﹣2，﹣1．故答案是x≥﹣2；﹣2，﹣1．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式是关键． 7．不等式3（x+1）≥5x﹣3的正整数解是 1，2，3 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题．【分析】先求出不等式的解集，然后求其正整数解．【解答】解∵不等式3（x+1）≥5x﹣3的解集是x≤3，∴正整数解是1，2，3．【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 8．若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，则k的范围是 k＜﹣ ．【考点】解一元一次不等式．【专题】计算题．【分析】本题中不等式的解的不等号与原不等式的不等号正好相反，所以，2k+1＜0，据此即可求得k的取值范围．【解答】解∵不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，∴2k+1＜0，∴k＜﹣．【点评】本题考查的是不等式两边同除以一个负数时不等号的方向改变． 9．解不等式2（x+1）﹣3（x+2）＜0；并把解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【分析】去括号整理后，应把含x的项移到不等号的左边，移项及合并后两边都除以不等号的系数即可．【解答】解去括号得，2x+2﹣3x﹣6＜0，移项及合并得，﹣x＜4，系数化为1，得x＞﹣4．解集在数轴上表示为【点评】本题需注意的知识点是在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下该怎么除还怎么除．
二、选择10．下列不等式变形正确的是（ ）A．由4x﹣1＞2，得4x＞1B．由5x＞3，得x＞C．由＞0，得y＞2D．由﹣2x＜4，得x＞﹣2【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质2，可判断B、C，根据不等式的性质3，可判断D．【解答】解A4x﹣1＞2，4x＞3，故A错误；B5x＞3，x＞，故B错误；C，y＞0，故C错误；D﹣2x＜4，x＞﹣2，故D正确；故选D．【点评】本题考查了不等式的性质，注意不等式的性质3，两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 11．若a＜b＜0，则下列式子
①a+1＜b+2；
②＞1；
③a+b＜ab；
④＜中，正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的基本性质判断．【解答】解∵a＜b∴a+1＜b+1＜b+2因而
①一定成立；a＜b＜0即a，b同号．并且|a|＞|b|因而
②＞1一定成立；
④＜一定不成立；∵a＜b＜0即a，b都是负数．∴ab＞0a+b＜0∴
③a+b＜ab一定成立．正确的有
①②③共有3个式子成立．故选C．【点评】本题比较简单的作法是用特殊值法，如令a=﹣3b=﹣2代入各式看是否成立． 12．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（ ）A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．a＜0【考点】解一元一次不等式．【专题】常规题型．【分析】根据不等式的性质2，不等式的两边同时除以一个正数，不等号的方向不改变，即a＞0．【解答】解∵不等式ax＞b的解集是x＞，∴a＞0，故选C．【点评】本题考查了利用不等式的基本性质解不等式的能力，要熟练掌握．
三、解答13．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式，并说出每次变形的依据．
（1）x+3＜﹣2；
（2）x＞﹣1；
（3）7x＞6x﹣4；
（4）﹣x﹣1＜0．【考点】不等式的性质．【分析】
（1）先移项，再合并即可；
（2）不等式的两边都乘以3即可；
（3）先移项，再合并即可；
（4）先移项，再不等式的两边都乘以﹣1即可．【解答】解
（1）∵x+3＜﹣2，∴x＜﹣2﹣3（不等式的基本性质1），∴x＜﹣5（合并同类项）；
（2）∵x＞﹣1，∴x＞﹣3（不等式的基本性质2）；
（3）∵7x＞6x﹣4，∴7x﹣6x＞﹣4（不等式的基本性质1），x＞﹣4（合并同类项）；
（4）﹣x﹣1＜0，﹣x＜1（不等式的基本性质1），x＞﹣1（不等式的基本性质3）．【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意不等式的基本性质是
①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；
②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；
③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变． 14．
（1）甲在不等式﹣10＜0的两边都乘﹣1，竟得到10＜0！为什么？
（2）乙在不等式2x＞5x两边同除以x，竟得到2＞5！又是为什么？
（3）你能利用不等式的性质将不等式“a＞b”变形为“b＜a”吗？试试看．【考点】不等式的性质．【分析】
（1）根据不等式的基本性质3判断即可；
（2）根据已知求出x是负数，根据不等式的基本性质3判断即可；
（3）移项，再两边都除以﹣1即可．【解答】解
（1）不对，不等式的两边都乘以﹣1，不等式的符号要改变，即10＞0；
（2）2x＞5x∴2x﹣5x＞0，﹣3x＞0，∴x＜0，即不等式的两边都除以一个负数x，不等式的符号要改变，即2＜5；
（3）能，如∵a＞b，∴﹣b＞﹣a，∴b＜a．【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意不等式的基本性质是
①不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等式的符号不改变；
②不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不改变；
③不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变． 15．一辆12个座位的汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x个人，车上仍有空位，可以得到怎样的不等式？并判断x的取值范围．【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【分析】根据题意可得车上的原有人数+上来x个人＜12，再解不等式即可．【解答】解由题意得4+x＜12，解得x＜8．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式． 16．比较两个数的大小可以通过它们的差来判断．例如要比较a和b的大小，那么当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b=0时，一定有a=b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反之也成立．因此，我们常常将要比较的两个数先作差计算，再根据差的符号来判断这两个数的大小．根据上述结论，试比较x4+2x2+2与x4+x2+2x的大小关系．【考点】不等式的性质．【分析】先作差（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x），然后根据差的符号来判断这两个数的大小．【解答】解∵（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x），=x4+2x2+2﹣x4﹣x2﹣2x=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1．在实数范围内，无论x取何值，（x﹣1）2+1＞0总成立，∴∵（x4+2x2+2）﹣（x4+x2+2x）＞0，∴x4+2x2+2＞x4+x2+2x．【点评】本题考查了不等式的性质．
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 17．下面是解不等式的部分过程，如果错误，说明错误原因并改正；如果正确，说明理由．
（1）由2x＞﹣4，得x＜﹣2；
（2）由16x﹣8＞32﹣24x，得2x﹣1＞4﹣3x；
（3）由﹣3x＞12，得x＜﹣4．【考点】不等式的性质．【专题】计算题．【分析】
（1）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变进行判断；
（2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变进行判断；
（3）根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行判断．【解答】解
（1）错误．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以由2x＞﹣4，得x＞﹣2；
（2）正确．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，所以把16x﹣8＞32﹣24x两边都除以8得到2x﹣1＞4﹣3x；
（3）正确．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，所以﹣3x＞12两边都除以﹣3，得到x＜﹣4．【点评】本题考查了不等式的基本性质不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 18．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来
（1）7+x＞3；
（2）x＜1；
（3）4+3x＞6﹣2x．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【分析】
（1）通过移项可以求得x的取值范围；
（2）化未知数系数为1来求x的取值范围；
（3）通过移项、合并同类项，化系数为1来求x的取值范围【解答】解
（1）移项，得x＞﹣4．表示在数轴上为；
（2）不等式的两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变，即x＞﹣2，表示在数轴上是；
（3）移项、合并同类项，得5x＞2，化系数为1，得x＞
2.5．表示在数轴上为【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．不等式的解集在数轴上表示的方法把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 19．解答下列各题
（1）x取何值时，代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值？
（2）当m为何值时，关于x的方程x﹣1=m的解不小于3？
（3）求不等式2x﹣3＜5的最大整数解．【考点】解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解．【分析】
（1）先根据代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；
（2）先把m当作已知条件求出x的值，再根据x的值不小于3得出关于m的不等式，求出m的值即可；
（3）先求出不等式的解集，再得出x的最大整数解即可．【解答】解
（1）∵代数式3x+2的值不大于代数式4x+3的值，∴3x+2≤4x+3，解得x≥﹣1．
（2）解方程得，x=2m+2，∵方程的解不小于3，∴2m+2≥3，即2m≥1，解得m≥；
（3）移项得，2x＜5+3，合并同类项得，2x＜8，x的系数化为1得，x＜4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 20．某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油
0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．【考点】一元一次不等式的应用．【分析】读出题意，根据关系式，剩余油量=总油量﹣耗油量，列出关系式解答即可．【解答】解设估计行驶x千米后油箱中的油少于20L．依题意，得60﹣
0.08x＜20，解得，x＞500．答估计行驶500千米后油箱中的油少于20L．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解． 21．小丽在学了这节内容后，总结出解一元一次不等式，就是利用不等式的性质把所要求的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式．你同意小丽的观点吗？请自编、自解一个一元一次不等式，再体会小丽的说法．【考点】解一元一次不等式．【分析】根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤
①去分母；
②去括号；
③移项；
④合并同类项；
⑤化系数为1．【解答】解同意小丽的观点．如2x≥x+2，移项得2x﹣x≥2，解得x≥2．【点评】考查了解一元一次不等式，在解一元一次不等式的步骤中，只有
①去分母和
⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 。
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