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文本内容:
1.集合的含义及其表示
(一)集合元素的互异性
1.已知,则集合中元素x所应满足的条件为变式已知集合,若,则实数的值为_______
2.中三个元素可以构成一个三角形的三边长,那么此三角形可能是
①直角三角形
②锐角三角形
③钝角三角形
④等腰三角形
(二)集合的表示方法
1.用列举法表示下列集合
(1)__________________________变式已知abc为非零实数则的值组成的集合为___
(2)____变式1变式2
(3)集合用列举法表示集合B
(4)已知集合M=,则集合M中的元素为变式已知集合M=,则集合M中的元素为
2.用描述法表示下列集合
(1)直角坐标系中坐标轴上的点_______________________________变式直角坐标平面中
一、三象限角平分线上的点______________
(2)能被3整除的整数_______________________.
3.已知集合,,
(1)用列举法写出集合;
(2)研究集合之间的包含或属于关系
4.命题1;2;3;4表述正确的是.
5.使用和和数集符号来替代下列自然语言
(1)“255是正整数”
(2)“2的平方根不是有理数”
(3)“
3.1416是正有理数”
(4)“-1是整数”
(5)“不是实数”
6.用列举法表示下列集合
(1)不超过30的素数
(2)五边形的对角线
(3)左右对称的大写英文字母
(4)60的正约数
7.用描述法表示若平面上所有的点组成集合,
(1)平面上以为圆心,5为半径的圆上所有点的集合为_________
(2)说明下列集合的几何意义;
8.当满足什么条件时,集合是有限集?无限集?空集?
9.元素
0、空集、、三者的区别?
10.请用描述法写出一些集合,使它满足(i)集合为单元素集,即中只含有一个元素;(ii)集合只含有两个元素;(iii)集合为空集
11.试用集合概念分析命题先有鸡还是先有鸡蛋?解释表述问题时把有关集合的元素说清楚,大有好处先有鸡还是先有鸡蛋?让我们运用集合概念来分析它设地球上古往今来的鸡组成一个集合,孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢?这是关键问题设所有的鸡蛋组成集合,要确定的元素,就得立个标准,说定什么是鸡蛋,一种定义方法是鸡生的蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法是孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋如果选择前一种定义,问题的答案只能是先有鸡;选择后一种定义,答案当然是先有鸡蛋至于如何选择,不是数学的任务,那是生物学家的事
(三)空集的性质
1.若∅{x|x2≤a,a∈R},则实数a的取值范围是________
2.已知a是实数,若集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则a的值是_______.
03.下列三个集合中表示空集的是1{0};2{xy|y2=-x2x∈R,y∈R};3{x∈N|2x2+3x-2=0}.变式1若集合=_______变式2若集合,,则_____
(四)集合相等
1.已知集合A=,B=,若A=B,则_____
2.已知集合,集合,且,求实数和的值.
3.已知,则x的值为________
4.已知A={x,xy,lgxy},B={0,|x|,y},且A=B,试求x,y的值.
5.已知集合且,则
6.两个集合只要元素相同,就认为它们是相同的,从这个角度出发,试回答下列问题
(1)用列举法分别写出下列集合;
(2)请你判断两集合和集合是否相等?
2.集合方程问题
1.若集合
(1)若,求的值;
(2)若,求的值
2.若集合有且只有一个元素,则实数的取值集合为.
3.设,求.
4.已知集合,为实数.
(1)若A是空集,求的取值范围;
(2)若A是单元素集,求的值;
(3)若A中至多只有一个元素,求的取值范围.
5.已知集合,用列举法表示集合A为.变式若分式方程的分子和分母对调,结论如何?
3.子集、全集、补集
1.集合{},集合,若,的取值集合为______
2.设集合U={x,y|y=3x-1},A={x,y|=3},则A=.
3.M={x|2≤x≤5}N={x|a+1≤x≤2a1}.若MN,实数a的取值范围为.
4.若,B={x|x2-4x=0},C={x|x2-8x+16=0},若UC求实数a的取值范围
5.或,,当时,实数的取值范围为_____
6.已知集合,,满足,则实数的取值范围为____变式已知集合,集合
(1)若,求实数a的取值范围
(2)若,求实数a的取值范围
(3)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由
7.已知集合,,若,实数的取值范围为____________
8.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},,则.
9.设,集合,若,=________
10.已知全集,若,则a的值为____________
11.若集合.分别求出当全集为下列集合时的.1;2;
3.
12.若集合,,且,则实数的值为_______
13.已知集合,,是否存在集合C,使C中的每个元素加上2就变成了A的一个子集,且C中的每个元素减去2就变成了B的一个子集?若存在,求出集合C;若不存在,说明理由
14.,,,则____
15.写出满足条件{a}M{a,b,c,d}的集合M
16.已知A={0,2,4},UA={-1,1},UB={-1,0,2},求B=
17.设集合则满足且的集合的个数为____________
5618.已知集合同时满足,求实数的值.解两式相减,得
19.已知集合,分别根据下列条件,求实数的取值范围.
(1);
(2)
(1);
(2)
20.,,
(1)若,求的取值范围;
(2)若,求的取值范围;
(3)若,求的取值范围.
(4)若,求的取值范围
21.有限集中有一个特殊的集合,约定“空集是任何集合的子集”,为什么要作出这样的约定?任何一个约定式定义,它必须遵循
①规定的必要性;
②规定的合理性
(1)必要性从子集的定义可知,子集定义中所涉及的集合不包括空集为了完善子集定义,约定空集是任何集合的子集是必要的;
(2)合理性由子集的定义显然有任何一个集合是它本身的子集,但是,上述这个结论中的“任何一个集合”,也是不包括空集的,只有规定了“空集是任何集合的子集”,才真正使上述结论对每一个集合(包括空集)都成立,这就是约定的合理性
22.请问是否存在这样的集合,它的某一个元素同时又是它的子集?若存在,请举例;若不存在,请说明理由等等;【拓展思考】请你给出一个集合,使它的两个元素同时也是它的子集,符合条件的集合,可以只含有这两个元素吗?;可以,集合
23.元素和相等的子集(i)设集合是否存在两个无共同元素的子集,两子集元素之和相等?(ii)在这9个数字中任取6个不同的数组成集合,请问符合条件
(1)的子集是否存在,由此你可以得到什么一般性的结论?【拓展思考】若将集合的元素个数变为7~9种的任一个,结论如何?
24.与其子集元素个数一样多的集合是否存在这样的集合,它所含的元素的个数与它的某个真子集所含元素的个数一样多?【拓展思考】请你写出几个符合条件的无限集
25.约数集的个数设非空集合,且满足条件“如果,那么”(i)请你写出一个只含有一个元素的集合;(ii)只含有三个元素的集合只有是否唯一?若不唯一,请写出两个不同的集合?(iii)满足题设的集合共有几个?(iV)对非空集合,若使集合所含元素的个数不超过四个,那么题设条件可以改为_______________________
4.交集、并集运算
1.已知,则_________变式1若集合,则M∩P=:
2.设集合或
(1)若,则实数的取值范围为____________
(2)若,则实数的取值范围为____________
3.已知集合=则=
4.已知集合,,全集
(1)若求实数a的取值范围
(2)若,求实数a的取值范围
5.集合,,满足,实数的值为
6.已知全集,若非空集合,则实数的取值范围是_________
7.若集合或,,且,,则___________,___________
8.已知集合,且,则实数的取值范围是
9.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使AA∩B成立的所有a值的集合是
10.已知A={a1,a2,a3,a4},B={},其中a1a2a3a4,a1,a2,a3,a4∈N,若A∩B={a1,a4},a1+a4=10,且A∪B所有元素和为124,则集合A=B=
11.设集合,则的元素个数为____________
12.设集合,
(1)若,求实数a的值
(2)求.
13.如图,U是全集,M、P、S是U的3个子集,则阴影部分所表示的集合是
14.若全集都为二次函数,,,则不等式的解集可用表示为______________
15.已知集合,,则____
16.若集合,,,且,则满足条件的整数对的个数为____变式已知集合A=且只有5个整数解,则的取值范围是___________.≤
17.设A{2-1a2-a+1},B{b7a+1},M{-17},A∩BM.
(1)设全集,求;
(2)若求a和b的值.
18.集合,,如果,则
19.集合,,若时的取值范围是,则=___
20.已知全集U=R,则正确表示集合M={-101}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩Venn图是________.
21.已知集合M={012},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=________.
22.2009年高考江西卷改编已知全集U=A∪B中有m个元素,∁UA∪∁UB中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为________.
23.已知函数fx=的定义域为集合A,函数gx=lg-x2+2x+m的定义域为集合B.
(1)当m=3时,求A∩∁RB;
(2)若A∩B={x|-1x4},求实数m的值.
24.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}.
(1)若A=∅,求实数a的取值范围;
(2)若A是单元素集,求a的值及集合A;
(3)求集合M={a∈R|A≠∅}.
25.设集合
(1)若,求实数的值;
(2)若,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围解
(1);
(2)
(3)或或或
26.集合若则的子集个数最多为_________
1627.则
28.已知则
29.设方程的全体解组成集合,方程的全体解组成集合,则分别如何用集合表示?则
30.设,,若直线交于点,则;若,则;还有其它情况吗?
31.方程的解集为,方程的解集为则是方程的解集所以对于右端为零的方程,如果能将其左端分解为几个因式的乘积,就能使求解的问题简化,这也是数学里常常把方程化成一端为零的形式的原因
32.如果集合各有12个元素,它们的并集有20个元素,那么,这两个集合有多少个共同的元素?
33.如果集合中有3个元素,集合中有2个元素,试问
(1)中最多有几个元素?最少有几个元素?
(2)中最多有几个元素?最少有几个元素?
34.设方程组的解集为方程与的解集分别是和,则例若全集都为二次函数,,,则不等式的解集可用表示为______________
35.设全集非空集合,若含的一个集合运算表达式运算结果为空集,则这个表达式可以是__________.已知集合,,则▲.
5.简单的数论问题
1.设均为整数,把形如的一切数构成的集合记作M,设,试判断是否属于集合M,并说明理由.
2.已知集合,求证1;23偶数不属于A.
3.以某些整数为元素的集合具有下列性质
①中的元素有正数,有负数;
②中的元素有奇数,有偶数;
③;
④若,,则.试判断实数0和2与集合的关系.
4.设集合A=,B=,C=,若,则(填集合A或B或C)变式1:若,则(填集合A或B或C)变式2:已知A=,若,则下列元素属于集合A的为(填序号)
①;
②;
③④变式3:,集合A=,点,求a与b的值
5.已知m∈A,n∈B,且集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又C={x|x=4a+1,a∈Z},判断m+n属于哪一个集合?
6.已知集合A={x|x=a+,a∈Z},B={x|x=-,b∈Z},C={x|x=+,c∈Z},则A、B、C之间的关系是________.
6.新定义集合问题
1.给定集合A、B,定义一种新运算A*B=,又已知A={0,1,2},B={1,2,3},用列举法写出
2.设A是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么是A的一个“孤立元”,给定,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有个
3.整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k丨n∈Z},k=
01234.给出如下四个结论
①2011∈
[1];
②-3∈
[3];
③Z=
[0]∪
[1]∪
[2]∪
[3]∪
[4];
④“整数a,b属于同一“类”,则“a-b∈
[0]”其中正确结论的序号是________________(填写所有满足条件的序号)
4.设集合,.记为同时满足下列条件的集合的个数
①;
②若,则;
③若,则,=_______
5.设a,b,c为实数,f(x)=(x+a).记集合S=若,分别为集合元素S,T的元素个数,则下列结论不可能的是______________(填满足条件的字母)A.=1且=0B.C.=2且=2D.=2且=
36.如图所示的韦恩图中,是非空集合,定义集合为阴影部分表示的集合,即=.若,则_______
7.集合,其中我们把集合记作,若集合中的最大元素是,则的取值范围是.
8.(2010四川)设S为复数集C的非空子集.若对任意,都有,则称S为封闭集下列命题
①集合S={a+b|为整数}为封闭集;
②若S为封闭集,则一定有;
③封闭集一定是无限集;
④若S为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是(写出所有真命题的序号)
9.已知点集,点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为,若点在点集所表示的平面区域内(不在边界上),则的面积的最大值为_____
10.设集合,,则集合(用列举法表示)变设集合,,则集合变对任意两个集合和定义设则
11.集合的“差”运算设是两个非空集合,定义与的差集(i)设集合,请你分别用列举法和描述法写出一个集合,使得,试问满足条件的集合共有多少个?(ii)请写出两组集合,使得;(iii)从(ii)中选出一组,计算,在此基础上,请你写出有关集合的其他表达式,使其结果与集合相等
12.市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向,抽样调查了500个市民,调查结果显示订阅日报的有334人,订阅晚报的有297人,其中两样都订的有150人.
(1)只订日报不订晚报的有多少人?
(2)只订晚报不订日报的有多少人?
(3)至少订一种报纸的有多少人?
(4)有多少人不订报纸?
13.某文化补习学校在学期末统计了参加补习的198名学生的成绩,统计结果表明,179人语文及格,153人数学及格,其中两门都及格的有130人.
(1)这个统计数字是否正确?请说明理由;
(2)经查实,却有7人两门都不及格,而原来统计中语文和数学的及格人数是对的,那么,到底有多少人两门都及格?
14.某社区学院一个月30天课程安排情形如下有15天有数学课,有14天有语文课,有14天有英语课.有数学又有语文的有7天,有数学又有英语的有6天,有语文又有英语的有6天,三门课都有的有3天.那么,有几天不上课?有几天只上一门课?有几天只上两门课?
7.集合中一类动态问题的研究
1.某中学高一
(1)班有45人,其中参加数学兴趣小组有28人,参加化学兴趣小组有21人,若数学化学都参加的有x人,则x的取值范围是
2.
2.
3.对于集合,定义为其长度,已知数集,都是集合的子集
(1)若且,求集合的长度;
(2)求集合长度的最小值
8.集合计数问题研究
1.集合,集合是S的子集,且满足,且,那么满足条件的子集的个数为_____________
832.记集合P={0,2,4,6,8},Q={m|m=100a110a2a3,且a1,a2,a3P},将集合Q中所有元素排成一个递增的数列,则此数列的第68项是_______.
4643.(13年南通学科基地密卷)设为给定的正整数,数集的两个子集构成一个有序对
(1)记为满足的有序对的个数,求;
(2)记为所有满足集合是集合的真子集的有序对的个数,求变式设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足A不是B的子集,且B也不是A的子集.
(1)若M=,直接写出所有不同的有序集合对AB的个数;
(2)若M=,求所有不同的有序集合对AB的个数.解
(1)110;………………………………………………………………3分
(2)集合有个子集,不同的有序集合对AB有个.若,并设中含有个元素,则满足的有序集合对AB有个.…………………6分同理,满足的有序集合对AB有个.…………………8分满足条件的有序集合对AB的个数为.…10分
4.13年南通学科基地密卷)设为集合的子集,其中为正整数,记为满足的有序子集组的个数.
(1)求的值;
(2)求的表达式。