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习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表
01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表0123000102P0黑2红2白=
03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.【解】如图题3图说明也可先求出密度函数，再求概率
4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求
（1）常数A；
（2）随机变量（X，Y）的分布函数；
（3）P{0≤X1，0≤Y2}.【解】
（1）由得A=12
（2）由定义，有
35.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=
（1）确定常数k；
（2）求P{X＜1，Y＜3}；
（3）求P{X
1.5}；
（4）求P{X+Y≤4}.【解】
（1）由性质有故
（2）34题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，
0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=求
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）P{Y≤X}.题6图【解】
（1）因X在（0，
0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为而所以
27.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求（X，Y）的联合分布密度.【解】
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】题8图题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=
（1）试确定常数c；
（2）求边缘概率密度.【解】
（1）得.
211.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.题11图【解】所以
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.
（1）求X与Y的联合概率分布；
（2）X与Y是否相互独立？【解】
（1）X与Y的联合分布律如下表3451203002因故X与Y不独立
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
2580.
40.
80.
150.
300.
350.
050.
120.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2）X与Y是否相互独立？【解】
（1）X和Y的边缘分布如下表258P{Y=yi}
0.
40.
150.
300.
350.
80.
80.
050.
120.
030.
20.
20.
420.382因故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】
（1）因故题14图2方程有实根的条件是故X2≥Y，从而方程有实根的概率为
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图Z的分布函数1当z≤0时，
（2）当0z1时，（这时当x=1000时y=）如图a题15图3当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）即故
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xii=1234，则Xi~N（160，202），从而
17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=，i=0，1，2，….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以于是
18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.方法二设μ1μ2…μn;μ1′μ2′…，μn′均服从两点分布（参数为p），则X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′所以，X+Y服从参数为（2np的二项分布.
19.设随机变量（X，Y）的分布律为
012345012300.
010.
030.
050.
070.
090.
010.
020.
040.
050.
060.
080.
010.
030.
050.
050.
050.
060.
010.
020.
040.
060.
060.051求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；
（2）求V=max（X，Y）的分布律；
（3）求U=min（X，Y）的分布律；
（4）求W=X+Y的分布律.【解】
（1）
（2）所以V的分布律为V=maxXY012345P
00.
040.
160.
280.
240.283于是U=minXY0123P
0.
280.
300.
250.174类似上述过程，有W=X+Y012345678P
00.
020.
060.
130.
190.
240.
190.
120.
0520.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.
（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；
（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为
（1）
221.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图【解】区域D的面积为（XY）的联合密度函数为（X，Y）关于X的边缘密度函数为所以
22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.y1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因故从而而X与Y独立，故从而即又即从而同理又故.同理从而故
123.设某班车起点站上客人数X服从参数为λλ0的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0p1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】
1.
224.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~，而Y的概率密度为fy，求随机变量U=X+Y的概率密度gu.【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为由于X和Y独立，可见由此，得U的概率密度为
25.
25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间
[03]上的均匀分布，求P{max{XY}≤1}.解因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有因为X，Y相互独立，所以推得.
26.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为101101a
00.
20.1b
0.
200.1c其中abc为常数，且X的数学期望EX=
0.2P{Y≤0|X≤0}=
0.5，记Z=X+Y.求
（1）abc的值；
（2）Z的概率分布；
（3）P{X=Z}.解1由概率分布的性质知，a+b+c+
0.6=1即a+b+c=
0.
4.由，可得.再由得.解以上关于a，b，c的三个方程得.2Z的可能取值为2，1，0，1，2，，，，，，即Z的概率分布为Z21012P
0.
20.
10.
30.
30.
13.XYXYYXXYXYXYXYYXXY。
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