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中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷数学科学学院《高等代数》课程试题A卷共2页第1页考试说明本课程为闭卷考试,可携带文具,满分为100分.题号一二三四五六七八总分得分一.判断题每题2分共10分
1.线性空间V=+则dim+dim=dimV.
2.特征向量的和仍是特征向量.
3.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的.
4.一个线性变换的不变子空间之和仍是它的不变子空间.
5.全体阶上三角矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间.二20分已知.求的特征值和特征向量并求一正交阵使成对角形.三20分设是数域上形如的循环矩阵的集合,1证明:是线性空间的子空间.
(2)证明:有.
(3)求的维数和一组基.四10分设为3阶复数矩阵与等价.,求的若当标准形.授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共2页第2页五10分证明设为n级矩阵是矩阵的最小多项式则多项式以为根的充要条件是|.六10分设V是数域上的n维线性空间是上的线性变换,且.证明:的值域与核都是的不变子空间.七10分设阶矩阵求的最小多项式.八10分设是数域上线性空间上的线性变换多项式互素且满足零变换求证中国海洋大学XXXX-XXXX学年第X学期期末考试试卷学院《XXXXXXXX》课程试题A卷共页第页中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题A卷答案一.判断题
1.×
2.×
3.×
4.√
5.√二.解=,,所以特征值为0,4(3重).将特征值代入,求解线性方程组,得4个线性无关的特征向量(答案可以不唯一),再正交单位化,得4个单位正交向量,,,.所以正交阵而.三.证1验证即可.2令,为循环阵,,为阶单位阵则在上线性无关.且,令有.,必上次多项式,使,反之亦真.3由上可知是的一组基,且.四.解A的行列式因子为.所以,不变因子为,初等因子为,因而A的Jordan标准形为五.证设或.所以因而.因为为最小多项式,所以..六.证在的核中任取一向量,则所以在下的像是零,即.即证明了是的不变子空间.在的值域中任取一向量,则.因此,也是的不变子空间.综上,的值域与核都是的不变子空间.七.解当时,由于,当时,由于,八.证先证,显然,互素,使得(单位变换)设再证是直和优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号优选专业年级XXXXXXX学号姓名授课教师座号。