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高考数学数列的概念和运算测试试题及答案时间90分钟满分100分题型示例写出下面数列{an}的前5项:1a1=5an=an-1+3n≥2;2a1=1an=an-1+n≥2;3a1=1a2=1an=an-1+an-2n≥
3.分析运用递推公式的定义解题.解158111417;212;
311235.点评递推公式揭示一个数列相邻的两项或n项之间的关系,解题时应注意充分挖掘和发现这种关系的特征.
一、选择题7×4′=28′1.下列说法正确的是A.数列{an}是等比数列的充要条件是an+1=anqn∈NB.数列a、b、c是等比数列的充要条件是b2=ac且abc≠0C.等比数列{an},当q1时,是递增数列D.任何两个实数都有等比中项2.已知等差数列{an}的公差为2若a1a3a4成等比数列,则a2等于A.-4B.-6C.-8D.-103.△ABC的三边a、b、c成等比数列,确定公比的取值范围是A.0,B.,+∞C.,D.[1,]4.已知a1a2a3a4a5a6a7a8为各项都大于零的数列,命题
①a1a2a3a4a5a6a7a8不是等比数列;命题
②a1+a8a4+a5则命题
②是命题
①的A.充分且必要条件B.即不充分也不必要条件C.必要但不充分条件D.充分但不必要条件5.等差数列{an}中公差d0n≥2时前n项和为Sn则有A.Sn≥na1B.Sn≤nanC.nanSnna1D.na1Snnan6.一个小球从100m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,设它第n次着地时,共经过了anm,n≥2,则有A.an=an-1+B.an=an-1+C.an=an-1+D.an=an-1+7.在等差数列{an}中an≠0an+1-a+an-1=0n≥2若S2n-1=38则n的值是A.38B.10C.20D.9
二、填空题4×3′=12′8.若x≠y,两个数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y分别成等差数列,那么=.9.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,若.10.设Sn为数列{an}的前n项和,“若Sn=an2+bn+c则{an}为等差数列”是真命题,记该命题的逆命题为P,否命题为Q,逆否命题为R,则P、Q、R中是真命题的有个.11.数列{an}的前n项和Sn=n2+n则a5+a6+a7+a
8.n∈N
三、解答题5×10′=50′12.设函数fx=log2x-logx20x1数列{an}满足f2an=2nn∈N.1求数列{an}的通项公式;2判定数列的单调性.13.在和n+1之间插入n个正数,使这n+2个数依次成等比数列,求所插入的n个数之积.14.已知一个项数为偶数,首项为1的等比数列,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个等比数列的公比q及项数n.15.数列{an}的前n项和记为Sn已知a1=1an+1=Snn=123….证明1数列{}是等比数列;2Sn+1=4an.16.某工厂年度初借款A元,从该年度末开始,每年偿还一定金额x元,恰在n年内还清包括借款的利息,借款的年利率为r,求每年偿还的金额.
四、思考与讨论10′17.对任意函数fxx∈D,可按图所示构造一个数列发生器,其工作原理如下
①输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=fx0;
②若x1D,则数列发生器结束工作;若x1∈D,则将x1反馈回输入端,再输出x2=fx1,并依此规律继续下去.现定义fx=.1若输入x0=,则由数列发生器产生数列{xn},请写出数列{xn}的所有项n∈N;2若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入的初始数据x0的值;3若输入x0时,产生的无穷数列{xn}满足对任意正整数n,均有xnxn+1,求x0的取值范围.参考答案1.Ban=0时,A、D均可排除,当a10,q1时{an}递减,排除C.2.B∵a1a3a4成等比数列∴a=a1·a4∴a2+22=a2-2a2+4∴a2=-
6.3.C设三边为a,aqaq2,若0q1,则aq+aq2a.∴q1,若q1,则a+aqaq2,此时1q,若q=1,符合,∴q∈(,).4.D假设数列为等比数列公比为q则a1+a8-a4+a5=a11-q31-q4≥0故
②①;假设数列为等差数列,则a1+a8=a4+a5故
①②选D.5.C∵d0∴a1a2a3…an∴na1Snnan.6.Ban=100+50×2+25×2+…+100×n-1×2n≥2=100+2×=300-200×,∴an-an-1=200-=,即an=an-1+.7.B∵{an}为等差数列∴an+1-a+an-1=2an-a=
0.又an≠0∴an=
2.故等差数列每项均为2则S2n-1=38=19×
2.即2n-1=19n=
10.故选B.8.d1=9..10.3逆命题“若{an}为等差数列,则Sn=an2+bn+c”为真命题,由四种命题原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价,有P、Q、R都为真命题.11.52a5+a6+a7+a8=S8-S4=72-20=52.12.解1由已知得fx=log2x-∴f2an=log22an-=log22an-2=an-=2na-2nan-1=0解之得an=n±因为0x1所以02an1an0故an=n-n∈N*;2因为1而an0n∈N所以an+1an故{an}是单调递增数列.点评运用函数与数列的关系解题,是高考中常考的一个知识点,要认真体会.13.解n+1=qn+1qn+1=nn+
1.设n个数之积为p则p=nq·q2·q3·…·qn,∴p=nq1+2+…+n=n·.14.解a2+a4+…+a2n=170
①a1+a3+…+a2n-1=85
②①÷
②得q=2,Sn==255,∴2n=256,n=
8.15.分析
(1)将已知递推关系式中an+1用Sn+1-Sn表示,将其化为只含有和的关系式求解.2由
(1)和已知结合,通过构造法即可得证.证明
(1)∵an+1=Sn+1-Snan+1=Sn∴n+2Sn=nSn+1-Sn整理得:nSn+1=2n+1Sn所以是以2为公比的等比数列.2由1知=4·n≥
2.于是Sn+1=4n+1·=4ann≥
2.又a2=3S1=3故S2=a1+a2=
4.因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an.点评本题求证结论含有Sn一般先用an+1=Sn+1-Sn公式把题中所给的关系式化为Sn的递推关系,这是本题一个灵活之处,考查了同学们的灵活运用所学知识的能力,而第二问又考查了分析问题的推理能力.16.解第一年年末欠款为A1+r-x,第二年年末欠款为[A1+r-x]1+r-x=A1+r2-x[1+r+1],…第n年年末欠款A1+rn-x[(1+r)n-1+1+rn-2+…+1+r+1],由题意得A1+rn-x[1+rn-1+1+rn-2+…+1+r+1]=0,∴A1+rn=x·,∴x=.17.解1∵fx的定义域D=-∞-1∪-1+∞.当x0=时,x1=fx0=f=∈D.同理求得x2=fx1=∈D,x3=fx2=-1D.∴数列{xn}只有三项:,,-
1.2由fx=x,即=x∴x2-3x+2=0,得x=1或x=
2.∴当x0=1或x0=2时,xn+1==xn.因此,当x0=1时,xn=1;当x0=2时,xn=2n∈N.3解不等式x得x-1或1x
2.∵对任意正整数n均有xnxn+1,∴要使x1x2,则x1-1或1x12.对于函数fx==4-若x1-1,则x2=fx14;x3=fx24x2,应排除.若1x12,则x2=fx1x1,且1x22.依此类推,可得数列{xn}的所有项均满足xn+1xn,由1x12,即12得x0∈12即为所求x0的取值范围.。