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一、选择题每小题6分共60分
1.2004年辽宁1若cosθ0且sin2θ0则角θ的终边所在象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由sin2θ0得2sinθcosθ
0.又cosθ0∴sinθ
0.∴角θ的终边在第四象限.答案:D
2.要得到函数y=sin2x的图象可由函数y=cos2x的图象A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位解析:y=sin2x=cos-2x=cos[2x-].答案:D
3.已知函数y=Asinωx+在同一周期内当x=时取得最大值当x=时取得最小值-则该函数的解析式为A.y=2sin-B.y=sin3x+C.y=sin3x-D.y=sin-解析:A==ω==3易知第一个零点为-0则y=sin[3x+]即y=sin3x+.答案:B
4.设集合M={y|y=sinx}N={y|y=cosxtanx}则M、N的关系是A.NMB.MNC.M=ND.M∩N=解析:M={y|-1≤y≤1}N={y|-1y1}选A.答案:A
5.y=的值域是A.[-11]B.[-]C.[-1]D.[-1]解析:原式可化为sinx+ycosx=2ysinx+=2ytan=sinx+=∈[-11]解得y∈[-11].答案:A
6.在△ABC中tanA·tanB1则△ABC为A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:tanA+B=-tanC得=-tanC.∵tanA·tanB1∴tanA0tanB
0.1-tanA·tanB0∴-tanC
0.tanC0∴△ABC为锐角三角形.故选B.答案:B
7.方程cosx=lgx的实根个数为A.1个B.2个C.3个D.无数个解析:当x=10时lgx=1在同一坐标系中画出y=cosx和y=lgx的图象可知有3个交点选C.答案:C
8.的值是A.-3B.2C.-D.解析:原式=-3选A.答案:A
9.已知fsinx=sin3x则fcosx等于A.-cos3xB.cos3xC.sin3xD.-sin3x解析:fcosx=f[sin-x]=sin3-x=-cos3x选A.答案:A
10.函数fx=sin2x+5sin+x+3的最小值是A.-3B.-6C.D.-1解析:fx=2sinxcosx+sinx+cosx+
3.令t=sinx+cosxt∈[-]则y=t+2-.则当t=-时ymin=-1选D.答案:D二、填空题每小题4分共16分
11.已知角α的终边上一点P-1则sec2α+csc2α+cot2α=_________.解析:secα=cscα=-2cotα=-代入得.答案:
12.2005年春季上海11函数y=sinx+arcsinx的值域是____________.解析:该函数的定义域为[-11].∵y=sinx与y=arcsinx都是[-11]上的增函数∴当x=-1时ymin=sin-1+arcsin-1=--sin1当x=1时ymax=sin1+arcsin1=+sin1∴值域为[--sin1+sin1].答案:[--sin1+sin1]
13.△ABC中若sinA=cosB=则cosC=_______.解析:由cosB=得sinB==sinA.A是锐角cosA=cosC=cosπ-A-B=.答案:
14.若fx=asin3x+btanx+1且f3=5则f-3=_______.解析:令gx=asin3x+btanx则g-x=-gx.f3=g3+1=5g3=
4.f-3=g-3+1=-g3+1=-4+1=-
3.答案:-3三、解答题本大题共6小题共74分
15.12分2005年黄冈市调研题已知sin-cos=α∈πtanπ-β=求tanα-2β的值.解:∵sin-cos=∴1-sinα=.∴sinα=.又∵α∈π∴cosα=-=-.∴tanα=-.由条件知tanβ=-∴tan2β==-.∴tanα-2β==.
16.12分已知2cos2α-cos2β=1求sin22α+sin2β+2cos4α的值.解:由2cos2α-cos2β=1即2cos2α=1+cos2β得cos2α=cos2β.因此sin22α+sin2β+2cos4α=sin22α+sin2β+2·2=1+cos2α+sin2β=1+cos2β+sin2β=
2.
17.12分2004年浙江理17在△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且cosA=.1求sin2+cos2A的值;2若a=求bc的最大值.解:1sin2+cos2A=[1-cosB+C]+2cos2A-1=1+cosA+2cos2A-1=1++-1=-.2∵=cosA=∴bc=b2+c2-a2≥2bc-a
2.∴bc≤a
2.又∵a=∴bc≤.当且仅当b=c=时bc=.故bc的最大值是.
18.12分已知a1=an+1=ancosx-sinnx求a2、a3、a4推测an并证明.解:a2=a1cosx-sinx==a3=a2cosx-sin2x=a4=.可推测an=数学归纳法可证之.读者自己完成
19.12分设A、B、C是三角形的内角且lgsinA=0又sinB、sinC是关于x的方程4x2-2+1x+k=0的两个根求实数k的值.解:由lgsinA=0得sinA=1A=B+C=sinC=cosB.又∴由sinBcosB=[sinB+cosB2-1]得=[2-1]解得k=.
20.14分已知Fθ=cos2θ+cos2θ+α+cos2θ+β问是否存在满足0≤αβ≤π的α、β使得Fθ的值不随θ的变化而变化如果存在求出α、β的值;如果不存在请说明理由.解:Fθ=+[cos2θ+cos2θ+2α+cos2θ+2β]=+1+cos2α+cos2βcos2θ-sin2α+sin2βsin2θ.Fθ的值不随θ变化的充要条件是得cos2α+12+sin22α=1cos2α=-.同理cos2β=-.又0≤αβ≤π故存在α、β满足条件其值分别为α=β=.。