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复习高三数学技巧首先,不能忽视对课本知识的讲解以基础应万变是学习高中数学的精髓特别是高三第一轮复习时,的话可谓字字珠玑,它涵盖了课本的每个角落,它概括了高中数学中出现的几乎所有题型尤其是华附的,他们有着更加广阔的思路,这对我们每个高三学生来说都是一笔宝贵的财富我深有这样的体会每个新颖的题目,每种特别的解法一经点出,只要认真聆听,就会在心中留下深刻的印象将之迁移到其他场景时,那种喜悦简直是一种享受,甚至会为高三生活带来一丝富有激情的色彩曾有一句玩笑话课堂上讲的是金,课后提问时讲的是银,自己找来做的资料是铜铁的确,高三的每一节课都非常重要知识的梳理、思维的技巧、重点的内容、易错的细节,都是备课的精华有效率地听课,同时适当地做笔记,将为以后的复习储备资料做笔记时突出重点和自己容易忽视的环节,不要把写的、说的,一字不漏地抄下来,这样既浪费时间,又会在复习时无法有效利用笔记听课时如有不懂的地方,先记下来,等下课时才思考、提问,不要因在上课时思考而错过下面的内容所强调的进行错误归纳,是十分重要的对于数学,我会直接在试卷、练习上作记号、写下注意的问题,以后复习时可翻阅用笔记本将它们分类记下来,记的同时可进行记忆,考前可用来做最后的复习其次,要有足量的训练数学是一门思维性很强的学科,而在高中阶段,“算”又是一个重要的内容三角、立体几何、解析几何、概率统计、导数――这些都是要靠厚实的基本功才能取得的一定要设立错题本和积累本,在考前翻一翻会很有效,加深印象的同时也帮助较早进入状态考场上我们要从心理上暗示自己“我是最好的”,考完一科就扔掉一科,从心理上藐视对手但在实际上对每一科每道题都小心翼翼同时,要注意归纳总结,触类旁通数学方法不过就是那几十种,而对于同一类的题型往往又对应着固定的思想方法例如有关数列的题,无非就是裂项相消、倒序求和、错位做差、待定系数、递推法等,不管形式怎样变化多端,本质是不变的纵观近几年高考数学得分率较低的题,往往都是一些我们经常用的,课本中经常出现的基本方法,但也许大家不重视归纳总结,或是主观惧怕,没有取得理想的分数最后,要想数学有突破,得高分,就要注意自己思维的严密性与表达的逻辑性数学题往往是执果寻因,一层层揭开神秘的面纱,这使得惯性思维较严重的我们容易疏漏很多问题本人这次高考就是在分类讨论的环节上摔了大跟头,顾此失彼,心中之悔,久挥不去
二、要让学生领情选好题基础、贴近学生、突出重点一定要多做、先做、筛选、改编、重组等高考万变不离其宗,依纲扣本,其中的“宗”和“本”指的都是课本,很多高考题都源自课本中的定理或定理中的思想方法,或是例题、习题的重新组合等★重视基础不只是观念问题,是一定要落实在实际行动上不只旧教材中要重视基础,新课程中同样需要重视基础不只是在第一轮复习中重视基础,高考前冲刺阶段的复习更要重视基础1正确理解数学概念、公式和定理理解是记忆的前提,同时理解又是应用的关键,否则就会不知所云,或是张冠李戴下面举两个例子比如2006年广东省高考数学试题第20题A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合
①对任意,都有;
②存在常数,使得对任意的,都有.(Ⅰ)设,证明;Ⅱ设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;Ⅲ设,任取,令证明给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式.全省统计数据显示,该题平均得分为
0.18,即绝大多数试卷为空白卷当然作为整份试卷的压轴题,肯定具备一定难度,但分步设问的目的是让大部分考生能够解答第一问,拿到应该拿到的4分为什么绝大多数考生没有去拿第一问的4分呢?除了部分学生考试经验不足外,调查显示,很多考生根本看不懂题目的意思具体说来就是对“集合”没有彻底理解其实第一问要解决的问题是证明x是集合A的元素,即证明x同时满足集合A元素的两个条件只是证明过程中用到函数的单调性和分析法、配方法、放缩法等数学基础知识和方法第一问证明(Ⅰ)
①对任意,所以;
②对任意的,,∵3,所以0,令=,,∴,所以.集合概念的教学中,重点是学会用集合的语言描述数学问题,不要过分强调集合间的交并补运算可以提供一些有助于概念理解的思考题,比如▲方程组的解集为集合表示方法(A){21}(B){12}(C){21}(D)21▲判断下列集合间的关系集合元素属性
①;
②;
③;
④{y=x2}▲设数集M=,N=,且M、N都是集合的子集,如果b-a把叫做集合的“长度“,那么集合M∩N的“长度”的最小值是集合运算ABCD▲集合P=,Q=,已知P∩Q只有一个子集,那么实数k的取值范围是集合关系A-1B-1]C1+D-+再比如数学问题中最常见的求最值问题,首先需要对概念“最值”真正理解M是fx的最大值,应满足三个条件
①M是常数;
②对任意,有;
③至少存在一个,使得中的“=”成立大家最容易忽视的是确认“=”试试下面两道题▲设函数的定义域为,有下列三个命题
①若存在常数,使得对任意,有,则是函数的最大值;
②若存在,使得对任意,且,有,则是函数的最大值;
③若存在,使得对任意,有,则是函数的最大值.这些命题中,真命题的个数是(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个分析
①是不正确的,因为中的“=”不一定成立;
②是正确的,当时,fx≤fx0中的“=”成立;
③也是正确的那么
②和
③的不同之处是什么?请学生举例说明▲已知正数x、y满足的最小值.解∵x+2y=1且x、y0,∴+=+·x+2y≥2EQ\R·2=4,判断以上解法是否正确?说明理由;若不正确,请给出正确解法.除了用均值不等式方法外,还有其它求解方法吗?学习数学概念,常通过类比法、联系法等加深理解,并在应用中加以引申推广,将理解深入内化2用好课本事实上历年来高考命题的一个不变的原则就是“取材于课本,但又不拘泥于课本”课本中每一个例题、习题的设置都有其目的和作用,体现着本节知识所应达到的能力要求虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容,也不会考查课本上的原题,但每次对高考试卷分析时不难发现,许多题目都能在课本上找到“根源”,不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合借助课本落实双基例如(2005年广东高考试卷第15题)化简并求函数的值域和最小正周期第一道解答题,12分的题全省平均得分只有
4.6分,得分率不到40%,很不能让人理解题目难吗?细想一下本题主要考查的知识点和公式全在课本上高一(下)课本第84页例题1化简cos++cos-,kZ高一(下)课本第39页例题5求证cos+sin=2sin+两道例题的组合即是一道高考题评卷中发现常见的错误有1不懂处理函数解析式中的参数k,cos+2x=cos[2k+2x+]=cos2x+其实高考试题中函数周期性的处理要比高一(下)课本旧教材第84页例题1更容易2运算中的符号出错,如cos-=cos[2k-2x+]=-cos2x+,正确结果应是cos2x+借助课本构建完整的知识体系例如对比“二项分布”和“几何分布”概念定义举例篮球投篮游戏分布列期望方差二项分布n次投篮,投中次数的分布满足二项分布=012---nP=k=npnp1-p几何分布投中即止,投篮次数的分布满足几何分布=12---n---P=k=1-pk-1p借助课本实现查漏补缺例如判断“已知一个数列的递推公式,可以写出这个数列的任何一项”是真命题吗?请同学先独立思考,再组织他们讨论,肯定有不同答案机会来了,让同学打开高一上课本第113页旧教材阅读理解“递推公式”这一概念进而师生一起把“通项公式”和“递推公式”两个概念进行比较,并总结由“递推公式”求“通项公式”的方法这样以后在做相关内容的题目时就不会出错了回归课本训练▲如果关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是mn0,则关于x的不等式cx2-bx+a0的解集是AEQ\B\BC\{x\B\LC\|-x-BEQ\B\BC\{x\B\LC\|xCEQ\B\BC\{x\B\LC\|x或xDEQ\B\BC\{x\B\LC\|x-或x-▲已知ab0,则a2+的最小值是_________▲已知△ABC的三边长是a,b,c,且m为正数,求证+3落实必考点分析高考试题,我们不难发现诸如函数性质、数列通项公式、立几中的二面角、解几中圆锥曲线的离心率、随机变量概率、复数的概念和运算、二项式定理中的定项问题和赋值法等都是必考点例如▲2004年广东试题18右下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=FB=1.1求二面角C-DE-C1的正切值;2求直线EC1与FD1的成角的余弦值.解法一I过C作CG⊥DE,垂足为G,连结C1G.1分∵CC1⊥平面ABCD,∴CG是C1G在平面ABCD上的射影,由三垂线定理得DE⊥C1G.2分∴∠CGC1是二面角C-DE-C1的平面角.3分在△ADE中,AE=AD=3,∠DAE=900,∴∠ADE=450∠CDG=900-450=450.∴CG=CD·sin∠CDG=4×sin450=2.5分∴tan∠CGC1==EQ\F22=EQ\F2.6分II延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE
1、DF.有D1C1//E1E,D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形,所以E1D1//EC1.于是∠E1D1F为EC1与FD1所成的角或其补角.8分在Rt△BE1F中,E1F==.在Rt△D1DE1中,D1E1===.在Rt△D1DF中,FD1===.10分所以在△E1FD1中,由余弦定理得cos∠E1D1F==EQ\F14+24-262××=EQ\F14.12分解法二I以A为原点,以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则有D
030、D
1032、E
300、F
410、C1432,于是=3-30,=132,=-422.3分设向量n=xyz与平面C1DE垂直,则有EQ\B\RC\}\A\ARn⊥n⊥EQ\B\RC\}\A\AR3x-3y=0x+3y+2z=0x=y=-z,其中z0.取n0=-1-12,则n0是一个与平面C1DE垂直的向量.5分∵向量=002与平面CDE垂直,∴n0与所成的角为二面角C-DE-C1的平面角.7分∵cos=EQ\Fn0·|n0|||=EQ\F-1×0-1×0+2×2×=EQ\F3,∴tan=EQ\F2.9分II设EC1与FD1所成的角为,则cos=|EQ\F·|||||=|EQ\F1×-4+3×2+2×2×|=EQ\F14.12分“立体几何”部分的试题概括起来就是考查用两种方法解决四类问题如求二面角有四种常用方法,要求每一位学生务必切实掌握“立体几何”题属于基础题,基础题重通性通法,首先要保证结果正确,步骤完整,其次要注意层次清晰,表述规范换句话说,要确保基础题得满分▲如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是(***)(A)7(B)-7(C)21(D)-21解析“的展开式中各项系数之和为128”2n=128n=7;由通项公式Tr+1==,令7-=-3,解得r=6,此时T7=,故选C“二项式定理”部分的试题概括起来就是考查通项公式和赋值法应用二项式定理中的“系数”和“二项式系数”是易混点,运算中的符号问题是易错点另外根据选择题的特点,要熟练基础并有方法意识针对数学必考点的复习策略总结方法,熟悉步骤上好课让学生天天有收获办法是分层施教,使每个学生的潜能都得到充分发挥1作好课前准备组内团结合作,坚持集体备课活动,充分发挥集体智慧,资源最大限度地共享高考复习重在平时,积小胜为大胜,通过单元综合题组训练达到检查、巩固和提高如函数及其性质对比题组▲定义域和有意义已知函数fx=lg在-1上有意义,求实数a的取值范围变式训练已知函数fx=lg的定义域是-1,求实数a的取值范围▲值域和函数值的变化范围如果函数y=3x2-2a+6x+a+3的值域是[0+,求实数a的取值范围变式训练如果函数y=3x2-2a+6x+a+3的值恒为非负数,求实数a的取值范围▲增函数与单调性已知函数y=4x2-ax+5在区间[-2+上是增函数,求实数m的取值范围变式训练已知函数y=4x2-ax+5在区间[-20]上是单调函数,求实数a的取值范围▲特殊与一般已知fx=a-是奇函数,求a的值变式训练已知fx=a-,求a的值,使函数y=fx的图象关于原点对称▲主元和次元已知函数y=x2+ax+1在区间x
[02]时fx0恒成立,求实数a的取值范围变式训练已知函数y=x2+ax+1,当a
[02]时,fx0恒成立,求实数x的取值范围▲左移和右移已知函数fx是偶函数,则函数fx+2的对称轴是______变式训练已知函数fx+2是偶函数,则函数fx的对称轴是______▲有解和恒成立函数fx=x2+2x,若fxa在
[13]上有解,求实数a的取值范围变式训练函数fx=x2+2x,若fxa在
[13]上恒成立,求实数a的取值范围▲定义域与值域已知函数fx=lgax2+2x+1的定义域是R,求实数a的取值范围变式训练已知函数fx=lgax2+2x+1的值域是R,求实数a的取值范围▲对称性与周期性函数fx满足f1+x=f1-x,则函数fx的图象关于________对称变式训练函数fx满足fx+1=fx-1,则函数fx的周期是______再如数列部分我们讨论决定选组5个方法题组题组1数列通项题组2数列求和题组3递推数列题组4数列性质题组5数列应用2组织踏实有效训练自始至终重视选择题、填空题和解答题前4题的定时训练,并加强解题方法指导,提高得分率复习第一阶段每周两次定时训练分专题和综合组题选好考点一份考卷14道选择填空题的考点分布是集合与简易逻辑1题;导数函数2题;不等式1题;三角函数1题;数列归纳法1题;排列组合二项式定理概率统计2题;复数1题;平面向量1题;立体几何2题;解析几何2题注意新教材中的算法内容指导解题方法总的说来,选择题属于小题,解题的基本原则是“小题不能大做”即要充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断,有方法意识解填空题常用的方法有直接法、图解法、特殊化法等审清题目,避免答非所问;运算要正确,表达要规范;注意防止增根或失根是关键经常规范训练取材于高考试题、模拟试题,可以是专题,也可以是综合,定时训练,统计分析,及时讲评解答基础题重通性通法,确保结果正确,步骤完整;解答综合题重层次清晰,确保逻辑推理严谨,数学思想方法使用恰当平时严格规范,习惯成自然,考场上灵活应变,稳拿分,不丢分,多得分重中之重是培养运算能力▲有一个各条棱长均为α的正四棱锥现用一张正方形的包装纸将其完全包住不能裁剪可以折叠那么包装纸的最小边长为A1+aBaCaD+a分析思路是把立体问题转化为平面问题,即把侧面展开,补形,并判断是正方形,再计算最小边长运算中用到余弦定理、配方法等,对运算能力要求较高3练在讲之前,讲在关键处“练在讲之前,讲在关键处”的具体实施可以分成“练---校---改---讲---悟---刍”等6个环节进行练,指的是学生独立面对数学问题进行思考、解答在这一环节中,不但要发挥学生解题的主体作用,也要注意发挥教师在题目的优化组合中的主导作用理想的训练题组合应体现以下四个特点
①基础训练与综合训练相结合只重视基础训练,就会割裂了知识间的联系,不利于学生提高分析问题,解决问题的能力,与素质教育背道而驰;只重视综合训练,会使学生片面追求解题的特殊技巧而忽视了教学中的通性通法,使数学能力成为毫无根基的“空中楼阁”
②“数感”训练与“数理”训练相结合“数感”,从语文教学中的“语感”一词引申而来,指的是数学学习中的直觉和灵感;“数理”与“数感”相对,指的是数学学习中的理性思考数学教学不应仅有“数理训练”,还应有适当的“数感”训练因为“数感”训练有助于培养思维的敏捷性和灵活性,能大大提高学生对数学问题的整体把握学生的“数感”主要表现为对问题结论、解题思路、添加辅助元等的直觉感知上学生的“数感”是可以通过训练培养出来的,“速度训练”是培养学生的“数感”的常用而有效的方法
③常规训练和应变训练相结合数学能力的高低,不仅体现在解决常规性题目上,更体现于独立解决一些新颖的、末给出解题模式的题目上,在日常教学中,我们可以运用一些应用性、探索性的题目为学生创设数学的问题情境,引发学生的思维,提高他们的应变能力
④进度训练和反刍训练相结合知识链中的某一环节出现断裂都会严重影响其它内容的学习因此,循环复习,反刍巩固在学生的认知过程中是十分重要和必要的校,指的是校对(不是讲评)缺了校,练是徒劳无益的;缺了校,改与悟就更加无从入手,学生将很难提高有的虽然知道校的重要性,但只采用事必躬亲的单一方式,常常落得失望校应是自校、互校、师校的有机统一,三者是相互依存,相得益彰的,在教学中应以自校为主
①自校——寻根溯源教学实践证明,反馈越快,学生越关注题目解答过程的正误,对知识的掌握和能力的形成就越有效;反馈越慢,学生越是只关注分数的高低,而对解题本身越淡漠因此,对于日常的解题训练,为使学生尽快找出自己出错的根源,自校是一种理想的选择
②互校——加速反馈对于综合性较强的题目,往往关卡重重、步步设伏,学生一不小心就会出现这样或那样的错误我们大可以让学生们互校,就让他们在互相督促、互相竞争的气氛下感受到解题的无穷乐趣吧
③师校——规范解题当学生对解答习题感到不得要领时例如平面几何和立体几何的入门之初,师校是必不可少的这时的师校就如同盲人的那根拐杖,使学生的解题逐步由无序走向规范改,指的是学生对做错的题目或方法不当的解题过程进行改正学生的“改”和教师的“讲”次序可以调整是“先改后讲”还是“先讲后改”可以视具体的教学情况来定一般而言,在学习时间较充裕的条件下,“先改后讲”让学生根据习题训练的反馈信息,对错误进行剖析、更正,加深了对知识的理解,充分发挥了学生的主体作用,教学效果会更显著如果在学习时间不太充裕的情况下采用“先讲后改”,则要特别注意的评讲不能变成越俎代疱,要给学生以辩证思维的时间,以免造成学生对的依赖性讲,指的是对学生的解题进行评讲“讲”带动了“改”和“悟”,起到承上启下的作用恰到好处的讲,会起到良好的导向作用,能诱发学生的悟讲应是多种思维的优化组合,互为补充,即逻辑思维和形象思维并重,集中思维与发散思维并重,理性思维和直觉思维并重,认知与情感并重悟,包括渐悟和顿悟,是前四个步骤和谐发展的必然结果实现悟的途径主要是解题后的反思回顾和发散想象,这是学生应当养成的学习习惯就数学本身而言,解题是没有固定模式的而对某类型的题目,的确又存在着一定的模式刍,是悟后的巩固刍的方式主要有专题式反刍和渗透式反刍两种“练在讲之前,讲在关键处”的课堂教学方法,是充分相信学生,全面依靠学生,可大大提高学生学习的积极性,充分发挥他们的主体作用关键方法降幂、消元、配方、换元、待定系数数学思想归纳法、函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论习惯认真细致,平时多练,错题清算检验易错点心中有数,中间步骤检验分层推进即培优补差,分工负责,落实到具体学生尖子生的培养,主要通过专题训练提高综合能力,并积累实战经验,通过提供阅读材料近期杂志扩大知识面,感受新观点可适当给一些竞赛题供参考对学习有困难的学生先抓基础、重点和规范,稳步推进,树立信心阶段性的实施查漏补缺题组训练,有错必改学习过程中出现的任何错误,都必须查出原因并加以改正补上一个知识点,等于盘活一个知识网,改正一个小错误,等于成就一个大成功人人有错题、易错点登记本,要把每次训练中出现的各种错误一一列给学生,试卷的讲评需师生共同完成,有时组织指导学生走上讲台现身说法更有教育意义一般6~8周组织一次查漏补缺测试,把最近训练中同学出错较多的知识点或试题再次呈现例如=A35%A1BC0D不存在误选B的占58%1审题不清,误认分母是x2-4x+3,∴===;2不会分解因式x3-4x+3=x3-x-3x+3=x-1x2+x-3
①一般高次因式的分解多是先分组,提取公因式,再分解;
②也可先观察系数特点,判断是否有因式x-1或x+1等,再用多项式除法分解因式大家试分解x3-3x2+3x-1;x4-4x+3;
③补充罗比塔洛必达法则求解法如果当时,且,而在a点的某个区域内f/x和g/x都存在,且g/x≠0,又存在,那么=这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则===1训练题=****如上三种方法都可以得到正确结果通过易错题组训练,解决“常见病”和“多发病”问题如易错题组已知集合A=,B=,A∪B=A,则实数p的取值范围是____________p≤3注意B=2已知直线x=是函数fx=sinx+其中-66图象的一条对称轴,则=______=-510漏03在等比数列{an}中,a
5、a9是方程7x2-18x+7=0的两个实数根,则a7=________a7=1多-14已知E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,AB与PC所成的角为600,则EF=________或7漏∠EDF=1200,EF=75已知3sin2+2sin2=2sin,则sin2+sin2的取值范围是_________[0,]隐含条件0≤sin≤6函数y=log5x2-ax+4的值域是R,则a的取值范围是________--4]∪[4+误认为△0-4,47若双曲线x2-y2=1左支上一点Pab到直线y=x的距离为,则a+b=_________-±,双曲线x2-y2=1左支上一点Pab应满足a0且|a||b|,∴a+b08设向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为600,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是________-7,-EQ\F2∪-EQ\F2,-非零向量a与b夹角为钝角a·b0且a≠b其中09数列{an}的前n项和为Sn=10n-n2,则数列{|an|}的前n项和Tn=________Tn=不分段或不会分段10已知abR*,且a+2b=1,则+的最小值是________3+24,检验等号成立11若曲线y=与直线y=x-b只有一个公共点,则实数b的取值范围是________-1b≤1或b=-不会数形结合12已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1容器,在棱AB、BB
1、B1D的中点处各有一个小孔E、F、G,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积是________沿E、G、B1去截沿E、F、G去截特别提醒1正确求导数;求切线方程时注意定点是否在曲线上2三角函数的符号判定和有界性隐含条件3使用均值不等式应验证等号是否成立4注意讨论等比数列中的0和15验证分布列中的各项和是否等于16向量平行包含同向和反向两种7分清解析几何中的易混淆概念如“短轴是2b”8薄弱知识点有指数对数,三角,不等式,平面几何等▲在等比数列中,a9+a10=aa≠0a19+a20=b,则a99+a100等于****解析设等比数列的公比为q,则q10=,又a99+a100=a9+a10q90=a·9=▲已知奇函数y=fx满足fx+1=fx-1,且当x[-10)时fx=3x+,则f=****-1解析判断的大小是关键f=f=f2-=flog3=-f-log3=-flog3=-+=-1一些偏方解题力求一步到位,尤其要注意第一问的准确性有些地方没有把握请主动验证,如1方程、不等式的解可以检验;2三角化简可以检验;3数列通项或求和可以检验;4分布列可以检验;5法向量可以检验;6直线、曲线方程可以检验通项公式、概率等是相关内容的核心ABCDFEA1B1C1D1运算理解归纳。