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第一章集合1.1集合与集合的表示方法集合的概念
(一)集合的有关概念⒈定义集合是数学中最原始的不定义的概念,只能给出描述性的说明某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集
2.表示方法集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母ABC…表示,而元素用小写的拉丁字母abc…表示
3.集合相等构成两个集合的元素完全一样
4.集合的分类
5.常用的数集及记法全体非负整数的集合简称非负整数集(或自然数集),记作N;非负整数集内排除0的集合称正整数集,记作N*或N+;全体整数的集合简称为整数集,记作Z; 全体有理数的集合简称有理数集,记作Q; 全体实数的集合简称实数集,记作R;
6.集合中元素的特征⑴确定性给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了如“地球上的四大洋”(太平洋大西洋,印度洋,北冰洋)“中国古代四大发明”(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数”,“平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.如:方程x+2x-12=0的解集表示为1-2而不是11-2⑶无序性即集合中的元素无顺序可以任意排列、调换如abc与cba是同一个集合练1判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由⑴大于3小于11的偶数; ⑵我国的小河流;⑶非负奇数; ⑷方程x2+1=0的解;⑸某校2011级新生; ⑹血压很高的人;
7.元素与集合的关系元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种⑴若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作aA;⑵若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作aA例如,我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A,4A,等等
(二)例题讲解例1.用“∈”或“”符号填空⑴8N;⑵0N;⑶-3Z;⑷Q;⑸设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国A,美国A,印度A,英国A例2.已知集合P的元素为若2∈P且-1P,求实数m的值练⑴给出下面四个关系:R
0.7Q0{0}0N其中正确的个数是:A.4个B.3个C.2个D.1个⑵下面有四个命题:
①若-aΝ则aΝ
②若aΝbΝ则a+b的最小值是2
③集合N中最小元素是1
④x2+4=4x的解集可表示为{22}其中正确命题的个数是)⑶由实数-aa2-5为元素组成的集合中最多有几个元素分别为什么⑷求集合{2aa2+a}中元素应满足的条件⑸若{t}求t的值.集合的表示方法
一、集合的表示方法⒈列举法把集合中的元素一一列举出来并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法如{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…;说明⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开;⑵一般不必考虑元素之间的顺序;⑶集合中的元素可以为数,点,代数式等;⑷列举法可表示有限集,也可以表示无限集当元素个数比较少时用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示⑸对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示为例1.用列举法表示下列集合1小于5的正奇数组成的集合;2能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合;3从51到100的所有整数的集合;4小于10的所有自然数组成的集合;5方程的所有实数根组成的集合;⒉描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征一般格式如{x|x-32},{xy|y=x2+1},{x|直角三角形},…;说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{xy|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如{整数},即代表整数集Z辨析这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}写法{实数集},{R}也是错误的例2.用描述法表示下列集合1由适合x2-x-20的所有解组成的集合;2由大于10小于20的所有整数组成的集合练习 1.用适当的方法表示集合大于0的所有奇数2.集合A={x|∈Z,x∈N},则它的元素是
3.已知集合A={x|-3x3,x∈Z},B={xy|y=x+1,x∈A},则集合A、B用列举法表示是 4.判断下列两组集合是否相等?
(1)A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};2A={自然数}与B={正整数}
3、图示法(维恩图)集合的表示除了上述两种方法以外,还有维恩图法,即画一条封闭的曲线用它的内部来表示一个集合,如下图所示典型例题【题型一】 元素与集合的关系1、设集合A={1,ab}B={aa2ab}且A=B,求实数a,b.2、已知集合A={a+2,(a+12,a2+3a+3}若1∈A求实数a的值【题型二】 元素的特征
1、⑴已知集合M={x∈N∣∈Z}求M ⑵已知集合C={∈Z∣x∈N}求C点拔要注意M与C的区别,集合M中的元素是自然数x,满足是整数,集合C中的元素是整数,满足条件是x∈N练习
一、选择题1.给出下列四个关系式
①∈R;
②πQ;
③0∈N;
④0其中正确的个数是 A.1B.2C.3D.42.方程组 的解组成的集合是A.{21}B.{-12}C.
(21)D.{
(21)}
3.把集合{-3≤x≤3x∈N}用列举法表示,正确的是 A.{321}B.{3210}C.{-2-1012}D.{-3-2-10123}
4.下列说法正确的是A.{0}是空集 B. {x∈Q∣∈Z}是有限集C.{x∈Q∣x2+x+2=0}是空集D.{21}与{12}是不同的集合
二、填空题
5、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个;
6、以实数a2,2-a.4为元素组成一个集合A,A中含有2个元素,则的a值为.7、集合M={y∈Z∣y=x∈Z}用列举法表示是M= 8、已知集合A={2aa2-a},则a的取值范围是
三、解答题9、设A={x∣x2+b+2x+b+1=0b∈R}求A的所有元素之和
10.已知集合A={a2b-1a+2b}B={x∣x3-11x2+30x=0}若A=B,求ab的值
1.2集合之间的关系与运算集合之间的关系比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系
(1),;
(2),;
(3),观察可得________________________________________________________________⒈子集对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)记作;读作A包含于B,或B包含A用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为需要注意的几点⒉真子集若集合,但存在元素,则称集合A是集合B的真子集记作AB(或BA)读作A真包含于B(或B真包含A)3.空集不含有任何元素的集合称为空集记作用适当的符号填空;0;{};{}4.集合相等如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,同时集合B中的每一个元素又都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B
5.真子集的个数【例题】列举集合的所有子集解含有0个元素的子集有;含有1个元素的子集有,,;含有2个元素的子集有,,;含有3个元素的子集有共有子集的个数是8个结论一般地,一个集合元素若为n个,则其子集数为个,其真子集数为个,非空子集数为,非空真子集数为个特别地,空集的子集个数为1,真子集个数为
06.几个重要的结论1当集合A不是集合B的子集时,记作A⊈B或B⊉A;2任何一个集合都是它本身的子集,记作;3空集是任何集合的子集,记作;4空集是任何非空集合的真子集;5对于集合A,B,C,如果,且,那么6A是B的子集,不能理解为集合A是集合B中的部分元素组成的集合说明⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系,集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系;⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位练习填空⑴2N;N;A;⑵已知集合A={x|x-3x+2=0},B={12},C={x|x8x∈N},则AB;AC;{2}C;2C
(二)例题讲解【题型1】集合的子集问题
1、写出集合{abc}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集
2、已知集合M满足{23}M{12345}求满足条件的集合M
3、已知集合A={x|x2-2x-3=0}B={x|ax=1}若BA,则实数a的值构成的集合是( )A.{-10}B.{-10}C.{-1}D.{0}
4.设集合A={2,8,a}B={2a2-3a+4}且BA,求a的值
5.已知集合且,求实数m的取值范围()练习
1、判断下列集合的关系.1N_____Z;2N_____Q;3R_____Z;4R_____Q;5A={x|x-12=0},B={y|y2-3y+2=0};6A={13},B={x|x2-3x+2=0};7A={-11},B={x|x2-1=0};
(8)A={x|x是两条边相等的三角形},B={x|x是等腰三角形}
2、设A={0,1},B={x|xA},问A与B什么关系?
3、判断下列说法是否正确?
(1)NZQR;
(2)AA;
(3){圆内接梯形}{等腰梯形};
(4)NZ;
(5){};
(6){}解答题
1.已知集合,≥,且满足,求实数的取值范围
2.已知三个元素集合A={xxyx-y}B={0∣x∣y}且A=B,求x与y的值集合的运算考察下列集合,说出集合C与集合A,B之间的关系
(1),;
(2),;
1.并集一般地,集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作A∪B,读作A并B;即A∪B={x|x∈A或x∈B}Venn图表示讨论A∪B与集合A、B有什么特殊的关系?A∪A=A∪Ф=A∪BB∪AA∪B=AA∪B=B.巩固练习(口答)
①.A={3568},B={4578},则A∪B=;
②.设A={锐角三角形},B={钝角三角形},则A∪B=;
③.A={x|x3},B={x|x6},则A∪B=
2.交集一般地,由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合,叫作集合A、B的交集(intersectionset),记作A∩B读作A交B即A∩B={x|x∈A,且x∈B}Venn图表示常见的五种交集的情况说明当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集讨论A∩B与A、B、B∩A的关系?A∩A=A∩=A∩BB∩AA∩B=AA∩B=B巩固练习(口答)
①A={3568},B={4578},则A∩B=;
②A={等腰三角形},B={直角三角形},则A∩B=;
③A={x|x3},B={x|x6},则A∩B=
3.一些特殊结论⑴若A则A∩B=A;⑵若B则AB=A;⑶若A,B两集合中,B=,则A∩=A=A【题型一】 并集与交集的运算【例1】设A={x|-1x2}B={x|1x3}求A∪B解A∪B={x|-1x2}∪{x|1x3}={x|-1x3}.【例2】设A={x|x-2},B={x|x3}求A∩B解在数轴上作出A、B对应部分如图A∩B={x|x-2}∩{x|x3}={x|-2x3}【例3】已知集合A={y|y=x2-2x-3x∈R}B={y|y=-x2+2x+13x∈R}求A∩B、A∪B【题型二】 并集、交集的应用例设集合A={∣a+1∣35}B={2a+1a2+2aa2+2a-1},当A∩B={2,3}时,求A∪B解∵∣a+1∣=2∴a=1或-3当a=1时,集合B的元素a2+2a=3,2a+1=3,由集合的元素应具有互异性的要求可知a≠
1.当a=-3时,集合B={-5,2,3}∴A∪B={-5,2,3,5}练.已知{34,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3}则m= 练习
1.设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},则A∩B= {x|x是等腰直角三角形}2设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则A∪B= 3设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},则A∪B=
4.已知集合M={x|x-20}N={x|x+20}则M∩N等于 4设A={不大于20的质数},B={x|x=2n+1n∈N*},用列举法写出集合A∩B=
6.已知集合M={x|y=x2-1}N={y|y=x2-1}那么M∩N等于( ) A. B.N C.M D.R
7、若集合A={1,3,x}B={1x2}A∪B={1,3,x}则满足条件的实数x的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个
8.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是
9.已知集合A={x|-1≤x≤2}B={x|2a<x<a+3}且满足A∩B=,则实数a的聚取值啊范围是集合的基本运算㈡思考1.U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学},则U、A、B有何关系?集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合
(一).全集、补集概念及性质⒈全集的定义一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集记作U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念⒉补集的定义对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合,叫作集合A相对于全集U的补集记作,读作A在U中的补集,即Venn图表示(阴影部分即为A在全集U中的补集)说明补集的概念必须要有全集的限制讨论集合A与之间有什么关系?→借助Venn图分析巩固练习(口答)
①.U={234},A={43},B=φ,则=,=;
②.设U={x|x8,且x∈N},A={x|x-2x-4x-5=0},则=;
③.设U={三角形},A={锐角三角形},则=【题型1】求补集【例1】.设全集,求,.【例2】设全集,求,,(结论)【例3】设全集U为R,,若,求(答案)【例4】设全集U={x|-1≤x≤3}A={x|-1<x<3}B={x|x2-2x-3=0}求,并且判断和集合B的关系【题型1】集合的混合运算已知全集为R,集合P={x|x=a2+4a+1a∈R}Q={y|y=-b2+2b+3b∈R}求P∩Q和P∩集合中元素的个数 在研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集,用cardA表示集合A中元素的个数例如集合A={abc}中有三个元素,我们记作cardA=
3.结论:已知两个有限集合A,B,有cardA∪B=cardA+cardB-cardA∩B.例1学校先举办了一次田径运动会,某班有8名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛,两次运动会都参赛的有3人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛?解设A={田径运动会参赛的学生},B={球类运动会参赛的学生}, A∩B={两次运动会都参赛的学生}A∪B={所有参赛的学生} 因此cardA∪B=cardA+cardB-cardA∩B=8+12-3=
17.答两次运动会中,这个班共有17名同学参赛. 1.在某校高一5班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小组的有25人,既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人,既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人,则这个班的学生总人数是 A.70 B.55 C.50 D.无法确定
2.给出下列命题给出下列命题
①若cardA=cardB,则A=B;
②若cardA=cardB,则cardA∩B=cardA∪B
③若A∩B=Φ则cardA∪B-cardA=cardB
④若A=Φ,则cardA∩B=cardA
⑤若AB,则cardA∩B=cardA,其中正确的命题的序号是
③④3927A表示{3,9,27}表示任意一个集合ABA表示(阴影部分即为A与B的交集)ABABBAABBA-1123-23。