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一元二次不等式解法【基础知识精讲】
1.一元二次不等式1一元二次不等式经过变形,可以化成如下标准形式
①ax2+bx+c>0a>0;
②ax2+bx+c<0a>
0.
2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表 二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式 y=ax2+bx+ca>0△=b2-4acax2+bx+c=0a>0ax2+bx+c>0a>0ax2+bx+c<0a>0图像与解△>0x1=x2=不等式解集为{x|x<x1或x>x2=不等式解集为{x|x1<x<x2=△=0x1=x2=x0=不等式解集{x|x≠x0x∈R}解集为△<0方程无解不等式解集为R一切实数解集为a<0的情况自己完成
3.一元n次不等式x-a1x-a2…x-an>0x-a1x-a2…x-an<0,其中a1<a2<…<an.把a1a2…an按大小顺序标在数轴上,则不等式的解的区间如图所示
4.分式不等式 bj互不相等把a1a2…an和b1b2,…,bm按照从小到大的顺序标在数轴上,该分式不等式的解的区间的情况与3中所述类似,分n+m为奇数或偶数在数轴上表示.综合可知,一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”,“数形结合”及“化归”的数学思想,一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值,一元二次不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围,因此解一元二次方程ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.【重点难点解析】本小节重点是一元二次不等式的解法,难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题例1 解下列关于x的不等式12x+3-x2>0;2xx+2-1≥x3-x;3x2-2x+3>0;4x2+6x+3>3;分析 解一元二次不等式一般步骤是
①化为标准形式;
②确定判别式△=b2-4ac的符号;
③若△≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根;若△<0,则对应二次方程无根;
④联系二次函数的图像得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集在两根之内或两根之外.解1原不等式可化为x2-2x-3<0x-3x+1<
0.∴ 不等式的解集为{x|-1<x<3}.2原不等式可化为2x2-x-2≥02x+1x-1≥
0.∴ 不等式的解集为{x|x≤-,或x≥1}.3原不等式可化为x-2>
0.∴ 不等式的解集为{x|x∈R且x≠}.4原不等式可化为x2+6x+15>
0.∵ △<0,方程x2+6x+15=0无实根,∴ 不等式的解集为R.评析 熟练掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系,再加上熟练地分解因式、配方技能,解一元二次不等式就能得心应手.例2 解不等式≥
2.解原不等式可化为-2≥0即为≥0,分子、分母必须同号,即可化为由于-2x2-x-1恒为负值,不等式除以-2x2-x-1得即x2+2x-3<0,即x+3x-1<
0.解之得-3<x<
1.原不等式的解集为{x|-3<x<1}.遇到分式不等式,一般应化为右边为零的形式,即化为≥0,然后转化为当分式不等式的分母恒为正或为负时,可以去分母,如>0x-1>0且例3 若函数fx=ax2+bx+ca>0对任意的实数t都有f2+t=f2-t,下列不等式成立的是 A.f1<f2<f4 B.f2<f1<f4C.f2<f4<f1 D.f4<f2<f1分析 由条件知x=2为对称轴,f2最小,f1=f3,函数在2,+∞上为增函数,故选B.评析 熟记结论对fx若恒有fa+x=fa-x成立,则函数的图像关于直线x=a对称.例4 已知不等式ax2+bx+2>0的解为-<x<,求a,b值.解方法一显然a<0,由x+x-<0,得6x2+x-1<0,变形得-12x2-2x+2>0,故a=-12b=-
2.方法二x=-与x=是ax2+bx+2=0的两根,故有解得评析 这里应注意韦达定理的应用.【难解巧解点拨】例1 若x2+qx+q>0的解集是{x|2<x<4},求实数p、q的值.分析 在本题中,已知不等式的解集,要求确定其系数,这和解不等式的问题已知系数求其解集正好是互为逆向的两类问题.这类问题可以用下面的方法来解.
①先作出一个解集符合要求的不等式;
②根据不等式同解的要求,确定其系数的数值.解不等式x-2x-4<0
①的解集为{x|2<x<4}.
①即为x2-6x+8<
0. 即-x2+6x-8>
0.这与题中要求的不等式x2+qx+p>0是同解且同向的二次不等式.∴其对应的系数成比例,且比值为正数即二次项系数之值同号.∴==>0 解得p=-2q=.说明 利用上法确定不等式系数时,必须注意
①将两不等式化为同向不等式
②同向二次不等式的二次项系数同号,否则就会产生错误.例2 设A={x|-2<x<-1或x>1},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},试求ab的值.分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析.解如图所示,设B={x|α≤x≤β}设想集合B所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当B“覆盖”住集合{x|-1≤x≤3},才能使A∩B={x|1<x≤3}∴“α≤-1且β≥1”,并且α≥-1及β=
3.∴α=-1β=
3.因此B={x|-1≤x≤3},根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根.∴a=--1+3=-2b=-1×3=-
3.说明 类似问题一定要借助数轴上的区间来考虑.同时要认真考查端点情况.例3 已知fx=x2+2a-2x+
4.1如果对一切x∈R,fx>0恒成立,求实数a的取值范围.2如果对x∈〔-3,1〕,fx>0成立,求实数a的取值范围.解fx的图像开口向上.1对一切实数x,fx>0,则△<0,即a-22-4<0,∴0<a<4;2当x∈〔-3,1〕时,fx>0,对称轴2-a可在区间内,也可在区间外,∴或或解得-<a<4评析 函数fx在给定区间上fx>0或fx<0fx在该区间上的最小或最大值大于或小于零.只有深刻理解了二次函数在给定区间上的最值意义,才能正确处理函数的局部性质与整体性质的关系.【课本难题解答】课本第22页 习题
1.5第8题
①解原不等式可化为3x-42x+5>0 ∴x<-或x>所以解集为{x|x<-或x>
②解原不等式可化为2x-155x+2<0或x=∴ -<x<或x= 即-<x≤所以解集为{x|-<x≤【命题趋势分析】一元一次不等式,一元二次不等式是最简单的不等式.历年高考中,都涉及到解不等式的题目,对解有理不等式、无理不等式,解指数和对数不等式,解绝对值不等式都进行了考查,而解这些类型的不等式最终都要转化成一元一次不等式组或一元二次不等式组来解.平时要求学生熟练掌握一元二次不等式组的解,并能灵活应用.【典型热点考题】例1 不等式>1解集是 .分析 解不等式一般将一边变为零再处理解将>1变形为-1>0,通分得0 即解x-4x+3>0解得x<-3或x>4∴应填x<-3或x>4注意 本题属>0型不等式,解此类问题一般是运用等价转化的思想将其转化为一元二次不等式来解或一元一次不等式组来解.例2 设全集为R,A={x|x2-5x-6>0},B={x||x-5|<a}a是常数,且11∈B,则 A.CRA∪B=R B.A∪CRB=R C.CRA∪CRB=R D.A∪B=R分析 本题考查二次不等式和绝对值不等式的解法,集合间的关系,先需分别解出集合A、B,再根据11∈B这一条件确定a值范围,最后在数轴上判断集合间并集结果解A={x|x2-5x-6>0}={x|x-6x+1>0}={x|x<-1或x>6}B={x|x-5|<a}={x|-a<x-5<a}={x|5-a<x<5+a}.∵11∈B ∴5+a>11 ∴a>6 从而5-a<-
1.由数轴图可看出,A∪B=R. ∴应选D.注意 1本题主要考查一元二次不等式,含绝对值不等式的解法,以及集合关系并集、补集.2作出数轴图,将抽象的字母和数字在数轴上表示出来,进行比较,由此判定出结果,是我们解此类问题常采用的方法.例3 不等式|x2-3x|>4的解集是 .解∵|x2-3x|>4∴x2-3x<-4或x2-3x>4即x2-3x+4<0或
①x2-3x-4>0
②由
①可化为x-2+<0,显然解为.由
②可化为x+1x-4>0,得解为x<-1或x>
4.∴应填{x|x<-1或x>4}.注意 1本题主要考查含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法.2将含有绝对值不等式转化为一元二次不等式来解,是解好本题的关键.例4 公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面中心,OA=
1.25米,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮,设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为
2.25米,如果不计其他因素,那么水池半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外 分析y=ax-12+
2.
25.由题意,点A的坐标为0,
1.25,把x=0y=
1.25代入方程解得a=-1,于是抛物线方程为y=-x-12+
2.
25.令y=0,得-x-12+
2.25=0,解得x1=
2.5,x2=-
0.5不合题意,舍去.所以水池半径至少要
2.5米,才能使水流不落到池外.说明 本例在已知解题数学模型抛物线的前提下,分析题设的一些数量关系,然后确定解题所需的具体的数学模型即抛物线方程.【同步达纲练习】
一、选择题
1.已知集合A={x|x2-2x-3<0,B={x||x|<a,若BA,则实数a的取值范围是 A.0<a≤1; B.a≤1; C.-1<a≤3; D.a<
1.
2.集合A={x|x2-3x-10≤0,x∈Z},B={x|2x2-x-6>0,x∈Z},则A∩B的子集的个数为 A.16; B.8; C.15; D.
7.
3.不等式≥0的解集是 A.{x|-1≤x≤3} B.{x|x≤-1,或x>3}C.{x|x≤-1,或x≥3} D.{x|-1≤x<3}
4.若对于任何实数,二次函数y=ax2-x+c的值恒为负,那么a、c应满足 A.a>0且ac≤ B.a<0且ac<C.a<0且ac> D.a<0且ac<
05.考察下列集合1{x||x-1|<1;2{x|x2-3x+2≤0};3{x|≤0};4{x|≥0},其中是集合A={x|1<x≤2的子集的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.在下列各不等式组中,解集为空集的是 A.x2+x+1≤; B.|x-1|+|x-2|≤1;C.其中0<a<1; D.x2-a+x+1≤0其中a>
0.
二、填空题
1.使函数y=+有意义的x的取值范围是 .
2.不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-<x<则a+b= .
3.不等式≤1的解集是 .
4.不等式-4≤x2-3x<18的整数解为 .
5.已知关于x的方程ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>2}.则不等式ax2-bx+c>0的解集为 .
三、解答题
1.求不等式x2-2x+2m-m2>0的解集.
2.求m,使不等式||<3恒成立.
3.关于x的不等式它的解集为{x|x1≤x≤x2}且1≤|x1-x2|≤3,m-2x2-mx-1≥0,求实数m的取值范围.
4.已知a>1解关于x的不等式组
5.解不等式【素质优化训练】
1.解关于x的不等式x2-x-a2+a>
02.已知函数y=k2+4k-5x2+41-kx+3的图像都在x轴上方,求实数k的取值范围.
3.已知A={x|x2-3x+2≤0}B={x|x2-a+1x+a≤0}.1若AB,求a的取值范围;2若BA,求a的取值范围;3若A∩B为仅含有一个元素的集合,求a的值.【生活实际运用】
1.如下图,铁路线上AB段长100千米,工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处向C修一条公路,已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3∶
5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少,D点应选在何处
2.要在墙上开一个上半部为半圆形,下部为矩形的窗户如下图所示,在窗框为定长的条件下,要使窗户能够透过最多的光线,窗户应设计成怎样的尺寸参考答案【同步达纲练习】
一、
1.B
2.A
3.D
4.C
5.A
6.C
二、
1.{x|-3<x≤-1}
2.a+b=-14
3.{x|x≤-1或x>0}
4.{-2,-1,0,1,2,3,4,5}
5.{x|-2<x<1}
三、
1.当m>1时,解集为{x|x<2-m或x>m};当m=1时,解集为{xR|x≠1};当m<1时,解集为{x|x<m,或x>2-m.
2.m{m|-5<m<
1.
3.m{m|≤m≤}.
4.{x|x>a}.
5.{x|x<-4或-1<x<1或x>4}.【素质优化训练】
1.解∵方程x2-x-a2+a=0的两个根为a和1-a,∴当a≥1-a,即a≥时,不等式的解集为{x|x<1-a或x>a;当a<1-a,即a<时,不等式的解集为{x|x<a或x>1-a}
2.解1当k2+4k-5=0时,k=-5或k=
1.若k=-5,则y=24x+3的图像不可能都在x轴上方,故k≠-
5.若k=1,则y=3的图像都在x轴上方.2若k2+4k-5≠0,则所给函数为二次函数,应有{k2+4k-5>0 △<0,即{k+5k-1>0 k-1k-19<0 解得 1<k<19 由
1、2得1≤k<
19.
3.解A={x|1≤x≤2},B={x|x-1x-a≤0}1若AB图甲,应有a>
2. 2若BA图乙,必有1≤a≤
2. 3若A∩B为仅含一个元素的集合图丙,必有a≤
1.【生活实际运用】
1.讲解 据题设知,单位距离的公路运费大于铁路运费,又知|BD|+|DC|≤|BA|+|AC|,因此只有点D选在线段BA上某一适当位置,才能使总运费最省.若设D点距A点x千米,从B到C的总动费为y建立y与x的函数,则通过函数y=fx的最小值,可确定点D的位置.设|DA|=x千米,铁路吨千米运费3a,公路吨千米运费5a,从B到C的总费用为y,则依题意,得y=3a100-x+5a,x0,100,即=5-3x.令t=则有t+3x=
5.平方、整理,得16x2-6tx+10000-t2=
0.
①由
①36t2-4×1610000-t2≥0,得|t|≥
80.∵t>0,∴t≥
80.将t=80代入方程
①,得x=15,这时t最小,y也最小.即当D点选在距A点15千米处时,总运费最省.
2.当窗户中的半圆的直径为,矩形的高为,窗户透过的光最多.好看的电影,最新电视剧,最新电影F7QhPIzHi2Rc。