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文本内容:
一元二次不等式的解法
一、学习目标
1.掌握一元二次不等式的解法步骤,能熟练地求出一元二次不等式的解集
2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系
二、例题第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式? 【解】一元二次不等式的一般式是 ax2+bx+ca>0或ax2+bx+c<0a>0 【评注】
1.一元二次不等式的一般式中,严格要求a>0,这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同
2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一,当a1<0时,将不等式乘-1就化成了“a>0” 例
2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么? 【点拨】用函数的观点来回答 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是设二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象是抛物线L,则不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线L在x轴上方,在x轴下方的点的横坐标x的集合;二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系,通常称为“三个二次问题”,我们要深刻理解、牢牢掌握,并灵活地应用它它是函数与方程思想的应用范例应用这“三个二次”的关系,不但能直接得到“二次不等式的解集表”,而且还能解决“二次问题”的难题 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表” 【解】一元二次不等式的解集表记忆图 分类△>0△=0△<0ax2+bx+c>0a>0的解集(-∞,x1)∪(x2+∞)(-∞,x0)∪(x0,+∞)Rax2+bx+c<0a>0的解集x1,x2 【评注】
1.不要死记书上的解集表,要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用
2.二次方程的解集求法属于“根序法”(数轴标根) 例
4、写出一元二次不等式的解法步骤 【解】一元二次不等式的解法步骤是
1.化为一般式ax2+bx+c>0a>0或ax2+bx+c<0a>0这步可简记为“使a>0”
2.计算△=b2-4ac,判别与求根解对应的二次方程ax2+bx+c=0,判别根的三种情况,△≥0时求出根
3.写出解集用区间或用大括号表示解集 例解不等式 x+2>3x2 解原不等式等价于 3x2-x-2<0 解方程3x2-x-2=0得二根,x2=1 ∴原不等式的解集为(,1)第二阶梯 例
1、解下列不等式
(1)2+3x-2x2<0;
(2)-x2+2x-3x>0;
(3)x2-4x+4>0 【解】
(1)原不等式等价于2x2-3x-20 由2x2-3x-2=0得,x2=
2. ∴原不等式的解集是
(2)原不等式等价于:x2-2x+30 由△=<0,知原不等式解集为
(3)△=,方程有等根, ∴原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠2} 【评注】
1.要严格按“解法步骤”求解
2.最后要用集合表示法表出解集如本倒的
(1)用区间表出解集;本例之
(3)用大括号表出解集,该题的解集也可用区间表为,但有的同学把第
(3)题的解集表为x≠2,这是错误的 例
2、解不等式1+x2-xx2+x+1>0 【探路】化为一元二次不等式来解 【解】 ∵y=x2+x+1的判别式△=12<0,a=1>0 ∴对一切x∈R恒有x2+x+1>0, ∴原不等式等价于 1+x2-x>0<0-1<x<2 ∴原不等式的解集为(-1,2) 例
3、设全集为R,已知A={},求 【探路】解不等式化简集合A 【解】 ,……
(1) 方程2x2-x-1=0的两根为 ∴不等式
①的解集为[,1], ∴A=[,1] ∴ 例
4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根,求实数m的取值范围 【探路】列出方程有两个负根的等价条件(不等式组),然后解不等式组 【解】已知方程有两个负根的等价条件是 ∴m的取值范围是(]∪[1,+∞) 【评注】
1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形,故△≥0,因此列成△>0是错误的又若只列成△≥0也是错误的,△≥0只能保证方程有实根,而不能保证有两个负根,所以还要联立x1x20x1+x20的条件
2.利用不等式讨论方程的根的情况,是不等式的重要应用第三阶梯 例
5、已知A=,B=
(1)若BA,求a的取值范围;
(2)若A∩B是单元素集合,求a取值范围 【探路】先解不等式化简集合A和B,再利用数轴表示两个集合的关系,求a的取值 【解】解不等式得A=[1,2];而B={≤0}
(1)若BA,如图1,得a的取值范围是1≤a<2
(2)若A∩B是单元素集合,如图2,A∩B只能是集合{1} ∴a的取值范围是a≤1 【评注】 集合B的最简表示只能是B={},这是因为不知道a与1的大小,不能表示为最简洁的区间;此外,当a=1时,集合B是单元素集合,即B={1},也不该表示为区间 例
6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a2<0a∈R 【探路】先求出不等式相应的二次方程的根,然后注意分类讨论,比较两根的大小,求出不等式的解集 【解】 解方程2x2-5ax-3a2=0,得 当a>0时,<3a,原不等式的解集是(,3a); 当a<0时,>3a,原不等式的解集是(3a,); 当a=0时,=3a=0,原不等式的解集是 【评注】解含字母系数的二次不等式,在求出相应方程的二根后,应注意对字母分类讨论两根的大小,进而确定相应的解集 例7已知(且b>0)的解集为{x|-1≤x≤2},求实数a,b的值 【探路】将不等式|ax+3|≤b化为二次不等式,利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值 【解】 ∴关于x的二次不等式(a2>0的解集为[-1,2] ∴-1和2是方程的二根 ∴ 解得;或 ∵b>0,舍去后一组解 ∴a=-6b=9 【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题
三、练习题A组
1.不等式|xx+1|>xx+1的解集是( ) (A)(-∞,-1)∪(-1,+∞) (B)(-1,+∞) (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(-1,0)
2.不等式42x2+ax<a2(常数a<0)的解集是( ) (A) (B) (C) (D)
3.不等式<0的解集是( ) (A)(0,3) (B)(-3,0)(C)(-3,3)(D)R
4.若关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为,那么( ) (A)a<0,且b2-4ac>0 (B)a<0,且b2-4ac≤0 (C)a>0,且b2-4ac≤0 (D)a>0,且b2-4ac>0
5.有三个关于x的方程,已知其中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围为( ) (A)-4≤a≤4 (B)-2<a<4 (C)a<0 (D)a≤-2,或a≥4
6.不等式4≤x2-3x<18的整数解集是
7.若方程组有两组解,则实数m的取值集合是
8.集合A=,B=,则A∩B=
9.若的解集是{x|2<x<4},则p,q的值分别是p= ,q=
10.对任何实数x,函数的值恒为负数,则p的取值范围是 【答案】
1.D
2.B
3.C
4.C
5.D
6.{-2,-1,4,5}
7.()
8.(2,4)
9.
10.-4<p≤0 B组 1.解不等式 1(x+1)x+2>0; 22xx-<0; 314-4x2≥x; 40<x2-x-2<
4.
2.解不等式组 xx2+1≥x+1x2-x+1 1-2x>3x-
9.
3.解不等式
(1)<0
(2)>1 4.解不等式(x+a)x+b>0 a<b 5.X为何值时,抛物线y=-x2+5x-5上的点位于直线y=1的上方 6.已知U=R且A={x|x2-90}B={x|x2-3x+2≥0}求
(1)A∩B;
(2)A∪B
(3)Cu(A∩B)
(4)(CuA)∪(CuB) 7.不等式(a2-1)x2-a-1x-10的解集为R,求a的取值范围 8.解不等式x
9.已知全集U=R,A={x|x2-x-60}B={x|x2+2x-80}C={x|x2-4ax+3a0}若A∩BC,求实数a的取值范围 10.已知A={x||x-a≤1}B={x|≥0}且A∩B=求a的取值范围 答案 1.
(1){x|x-2或x-1}; 2{x|0XSPAN}; 3{x|-2≤x≤}; 4{x|-2X-1SPAN或2x3}
2.{x|1x}
3.1{x|-X〈SPAN〉;2{x| x}
4.{x|x-b或x-a}.
5.{x|2X3}SPAN
6.易得A=(-3,3),B=(-∞,1)∪[2,+∞],则
(1)A∩B={x|-33}
(2)A∪B=R
(3)CuAB={x|x≤–3或1X2或X≥3}.
(4)CuA∪CuB={x|x≤–3或1X2或X≥3}SPAN 7.当a2-1=0时a=1有x∈R. 当a2-1≠0时,△=(a-1)2+4a2-1=5a2-2a-30 a2-10 即—A1时有X∈R.SPAN 综上所述-A≤1SPAN 8.x化为0,化为或即x1或-1X0SPAN所以解集为{x|-1X1}
9.A=-23B=-∞-4 2+∞A∩B=23C={x|x-ax-3a0} 当a0时c=3aaA∩B∈C不可能成立 当a0时,c=a3a由A∩B∈C得 即1≤a≤
2.
10.A=[a-1a+1] B=
[01]∪3+∞ a+10或即a-
1.。