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选修2—1椭圆及其标准方程(学案)(第1课时)1.两个同学合作,画出课本第38页探索中的图形,并思考在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是.
2.椭圆的定义:平面内与两个定点F
1、F2的距离的等于常数的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F
1、F2叫做,两定点的距离叫做;定义中提到的“常数”常用表示,焦距常用.椭圆定义的数学表达式
①当时,点P的轨迹是线段;
②当时,点P的轨迹不存在.
3.椭圆的标准方程椭圆焦点的位置椭圆方程焦点坐标焦点在x轴上焦点在y轴上其中
①焦距为2c,则a,b,c关系为;
②由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆标准方程的形式的方法是;当椭圆是标准方程但焦点位置不确定时可应用分类讨论法解答也可设其方程为或.【基础练习】1.已知F1(-1,0),F2(1,0),满足|PF1|+|PF2|=2的点P的轨迹为;若|PF1|+|PF2|=2时,点P的轨迹为.2.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6,那么点到另一个焦点的距离是 .3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1),焦点在轴上: .(2),焦点在轴上: .(3): .4.若方程表示焦点在y轴上的椭圆则.5.F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为.【典型例题】例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是,,并且经过点,求它的标准方程.变式练习
1.两个焦点坐标分别是(0,-3),(0,3),且经过点(0,5),则椭圆的方程为.
2.焦距为4,且经过点P(3,-2)的椭圆的标准方程为.例2求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).
(2)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,-10),P到离它较近的一个焦点的距离等于
2.变式练习
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)椭圆经过两点P(,0),Q0;
(2)平面内有两个定点的距离是8,写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程.例3点P是椭圆上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.变式练习已知经过椭圆的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A、B两点,F1是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长;
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗为什么?1.判定下列椭圆的焦点在?轴,并指明a
2、b2,写出焦点坐标,,2.已知椭圆方程,则这个椭圆的焦距为.(A)2(B)3(C)(D)3.下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是().()()()()4.a=6c=1的椭圆的标准方程是.(A)(B)(C)(D)以上答案都不对5.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是.
6.已知△ABC中,B(-3,0),C(3,0),AB、BC、AC成等差数列.则顶点A的轨迹方程为.7.和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点且经过的椭圆的标准方程是.8.设P是椭圆+=1上一点P到两焦点F
1、F2的距离之差为2则△PF1F2形状为三角形.9.化简10.已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|
(1)求此椭圆方程;
(2)若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△F1F2P的面积.1.(2009北京)椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则;的大小为.2.(2009年上海卷)已知、是椭圆(>>0)的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为9,则=____________.选修2—1椭圆及其标准方程(教案)(第1课时)【教学目标】1.掌握椭圆的定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程会求椭圆的标准方程;能运用椭圆的定义、标准方程处理一些简单的实际问题
2.培养学生的学习兴趣与探究精神,根据方程形式和图形特征等进行类比猜想,培养学生的直觉思维与合情推理的能力.【重点】 椭圆的标准方程;坐标法的基本思想.【难点】椭圆的标准方程的推导与化简;坐标法的应用.【预习提纲】(根据以下提纲,预习教材第38页~第40页)1.两个同学合作,画出课本第38页探索中的图形,并思考在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是动点到两定点的距离之和是常数.2.椭圆的定义平面内与两个定点F
1、F2的距离的和等于常数大于的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F
1、F2叫做椭圆的焦点,两定点的距离叫做椭圆的焦距;定义中提到的“常数”常用表示,焦距常用表示.椭圆定义的数学表达式为.
①当时,点P的轨迹是线段;
②当时,点P的轨迹不存在.
3.椭圆的标准方程椭圆焦点的位置椭圆方程焦点坐标焦点在x轴上()、焦点在y轴上、其中
①焦距为2c,则a,b,c关系为;
②由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆标准方程的形式的方法是根据方程中分母的大小;当椭圆是标准方程但焦点位置不确定时可应用分类讨论法解答也可设其方程为或.【基础练习】
1.已知F1(-1,0),F2(1,0),满足|PF1|+|PF2|=2的点P的轨迹为椭圆;若|PF1|+|PF2|=2时,点P的轨迹为线段.2.如果椭圆上一点到焦点的距离等于6,那么点到另一个焦点的距离是14.3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1),焦点在轴上;.(2),焦点在轴上;.(3)..4.若方程表示焦点在y轴上的椭圆则.5.F1F2是椭圆的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为
16.【典型例题】例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是,,并且经过点,求它的标准方程.【审题要津】由椭圆的定义知椭圆上的任意一点到椭圆的两焦点的距离之和等于据此可以求出又由焦点坐标可知继而根据的关系求出就可以写出它的标准方程.解因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.由椭圆的定义知+ ,. 又,.所以,所求标准方程为.另法∵∴可设所求方程为,然后将点()的坐标代入可求出,从而求出椭圆方程.【方法总结】由学生的思考与练习,总结有两种求法其一由定义求出长轴与短轴长,根据条件写出方程;其二是由已知焦距,求出长轴与短轴的关系,设出椭圆方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的办法得出方程变式练习1.两个焦点坐标分别是(0,-3),(0,3),且经过点(0,5),则椭圆的方程为.2.焦距为4,焦点在轴上,且经过点P(3,-2)的椭圆的标准方程为.例2求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)焦点在轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).
(2)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,-10),P到离它较近的一个焦点的距离等于2.【审题要津】椭圆的标准方程中有两个参数,故有两个独立的条件就可以求出椭圆的方程.本例运用待定系数法即可求出.解1因为椭圆的焦点在轴上,所以可设它的标准方程为∵椭圆经过点2,0和0,1∴故所求椭圆的标准方程为(2)∵椭圆的焦点在轴上,所以可设它的标准方程为∵P(0,-10)在椭圆上,到它较近的一焦点的距离等于2,∴.∴.∴所求椭圆的标准方程是.将点P(0,-10)的坐标代人,得 ,∴,.因此,所求椭圆的标准方程是.【方法总结】当已知(1)椭圆上的两点;(2)之一与椭圆上一点时,都可以用待定系数法去求椭圆的标准方程.变式练习写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1)椭圆经过两点P(,0),Q0;
(2)平面内有两个定点的距离是8,写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程.(答案(1);(2).)例3点P是椭圆上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.【审题要津】由于已知了∠P的大小,故可用去求△F1PF2的面积,又由椭圆的定义知,再结合余弦定理即可求出.解由椭圆的方程知,∴,∴.又由椭圆的定义知,在△F1PF2中,由余弦定理得,,,∴∴==.【方法总结】由椭圆的定义可以知道,所以,在涉及到△F1PF2的面积问题中,常将椭圆的定义、三角形的面积、余弦定理等综合运用解决问题.变式练习已知经过椭圆的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A、B两点,F1是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长;
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗为什么?解由已知.(1).
①由椭圆的定义,得 , .
②所以,.(2)如果不垂直于轴,△AF1B的周长不变化.这是因为
①②式仍然成立,,这是定值.1.判定下列椭圆的焦点位置,并指明a
2、b2,写出焦点坐标,,.解椭圆的焦点在轴上,,焦点坐标为()和();椭圆的焦点在轴上,,焦点坐标为()和();椭圆的焦点在轴上,,焦点坐标为()和().2.已知椭圆方程,则这个椭圆的焦距为.(A)2(B)3(C)(D)3.下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是().()()()()4.a=6c=1的椭圆的标准方程是.(A)(B)(C)(D)以上答案都不对5.如果表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(0,1).
6.已知△ABC中,B(-3,0),C(3,0),AB、BC、AC成等差数列则顶点A的轨迹方程为.7.和椭圆9x2+4y2=36的焦点相同,且经过的椭圆的标准方程是.8.设P是椭圆+=1上一点P到两焦点F
1、F2的距离之差为2则△PF1F2形状为直角三角形.9.化简解此方程表示以为焦点的椭圆,其中,∴.因此,原方程化简为 .10.已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.
(1)求此椭圆方程;
(2)若点P在第二象限,∠F2F1P=120°,求△F1F2P的面积.解(1)由已知,∴.∴, 又, ∴.所以,椭圆的方程为 .(2)在△F1F2P中,由余弦定理得,即 .又 ,解得,,所以,. 1.(2009北京)椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则;的大小为..w 解∵,∴,∴,又,∴,又由余弦定理,得,∴.故应填.2.(2009年上海卷)已知、是椭圆(>>0)的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为9,则=____________.解依题意,有,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.。