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高中数学难点解析难点31数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场★★★★是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+nn+12=an2+bn+c.●案例探究[例1]试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1n∈N*且a、b、c互不相等时,均有an+cn>2bn.命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式,属★★★★级题目.知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况.技巧与方法本题中使用到结论ak-cka-c>0恒成立a、b、c为正数,从而ak+1+ck+1>ak·c+ck·a.证明1设a、b、c为等比数列,a=c=bqq>0且q≠1∴an+cn=+bnqn=bn+qn>2bn2设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想>nn≥2且n∈N*下面用数学归纳法证明
①当n=2时,由2a2+c2>a+c2,∴
②设n=k时成立,即则当n=k+1时,ak+1+ck+1+ak+1+ck+1>ak+1+ck+1+ak·c+ck·a=ak+cka+c>k·=k+1[例2]在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,anSnSn-成等比数列.1求a2a3a4,并推出an的表达式;2用数学归纳法证明所得的结论;3求数列{an}所有项的和.命题意图本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析2中,Sk=-应舍去,这一点往往容易被忽视.技巧与方法求通项可证明{}是以{}为首项,为公差的等差数列,进而求得通项公式.解∵anSnSn-成等比数列,∴Sn2=an·Sn-n≥2*1由a1=1S2=a1+a2=1+a2代入*式得:a2=-由a1=1,a2=-S3=+a3代入*式得a3=-同理可得a4=-由此可推出an=2
①当n=1234时,由*知猜想成立.
②假设n=kk≥2时,ak=-成立故Sk2=-·Sk-∴2k-32k-1Sk2+2Sk-1=0∴Sk=舍由Sk+12=ak+1·Sk+1-得Sk+ak+12=ak+1ak+1+Sk-由
①②知,an=对一切n∈N成立.3由2得数列前n项和Sn=∴S=Sn=
0.●锦囊妙记1数学归纳法的基本形式设Pn是关于自然数n的命题,若1°Pn0成立奠基2°假设Pk成立k≥n0,可以推出Pk+1成立归纳,则Pn对一切大于等于n0的自然数n都成立.2数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等.●歼灭难点训练
一、选择题
1.★★★★★已知fn=2n+7·3n+9存在自然数m使得对任意n∈N都能使m整除fn,则最大的m的值为A.30B.26C.36D.
62.★★★★用数学归纳法证明3k≥n3n≥3n∈N第一步应验证A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4
二、填空题
3.★★★★★观察下列式子…则可归纳出_________.
4.★★★★已知a1=an+1=则a2a3a4a5的值分别为_________,由此猜想an=_________.
三、解答题
5.★★★★用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除,其中n∈N*.
6.★★★★若n为大于1的自然数,求证.
7.★★★★★已知数列{bn}是等差数列,b1=1b1+b2+…+b10=
145.1求数列{bn}的通项公式bn;2设数列{an}的通项an=loga1+其中a>0且a≠1记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
8.★★★★★设实数q满足|q|<1数列{an}满足a1=2a2≠0an·an+1=-qn求an表达式,又如果S2n<3求q的取值范围.参考答案难点磁场解假设存在a、b、c使题设的等式成立,这时令n=123有于是,对n=123下面等式成立1·22+2·32+…+nn+12=记Sn=1·22+2·32+…+nn+12设n=k时上式成立,即Sk=3k2+11k+10那么Sk+1=Sk+k+1k+22=k+23k+5+k+1k+22=3k2+5k+12k+24=[3k+12+11k+1+10]也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3b=11c=10时,题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练
一、
1.解析∵f1=36f2=108=3×36f3=360=10×36∴f1f2f3能被36整除,猜想fn能被36整除.证明n=12时,由上得证,设n=kk≥2时,fk=2k+7·3k+9能被36整除,则n=k+1时,fk+1-fk=2k+9·3k+1-2k+7·3k=6k+27·3k-2k+7·3k=4k+20·3k=36k+5·3k-2k≥2fk+1能被36整除∵f1不能被大于36的数整除,∴所求最大的m值等于
36.答案C
2.解析由题意知n≥3,∴应验证n=
3.答案C
二、
3.解析n∈N*n∈N*、、、
三、
5.证明1当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除2假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,42k+1+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·42k+1+3k+2∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由
①②知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.
6.证明1当n=2时,2假设当n=k时成立,即
7.1解设数列{bn}的公差为d由题意得∴bn=3n-22证明由bn=3n-2知Sn=loga1+1+loga1++…+loga1+=loga[1+11+…1+]而logabn+1=loga于是,比较Sn与logabn+1的大小比较1+11+…1+与的大小.取n=1,有1+1=取n=2,有1+11+推测1+11+…1+>*
①当n=1时,已验证*式成立.
②假设n=kk≥1时*式成立,即1+11+…1+>则当n=k+1时,即当n=k+1时,*式成立由
①②知,*式对任意正整数n都成立.于是,当a>1时,Sn>logabn+1当0<a<1时,Sn<logabn+1
8.解∵a1·a2=-qa1=2a2≠0∴q≠0a2=-∵an·an+1=-qnan+1·an+2=-qn+1两式相除,得即an+2=q·an于是,a1=2a3=2·qa5=2·qn…猜想a2n+1=-qnn=123…综合
①②,猜想通项公式为an=下证1当n=12时猜想成立2设n=2k-1时,a2k-1=2·qk-1则n=2k+1时,由于a2k+1=q·a2k-1∴a2k+1=2·qk即n=2k-1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时,a2k=-qk则n=2k+2时,由于a2k+2=q·a2k所以a2k+2=-qk+1这说明n=2k成立,可推知n=2k+2也成立.综上所述,对一切自然数n猜想都成立.这样所求通项公式为an=S2n=a1+a3…+a2n-1+a2+a4+…+a2n=21+q+q2+…+qn-1-q+q2+…+qn由于|q|<1∴=依题意知<3并注意1-q>0|q|<1解得-1<q<0或0<q<。