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定义示例剖析平行线的概念在同一平面内,永不相交的两条直线称为平行线.用“”表示.,等.平行线的性质两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.若,则;若,则;若,则.平行线的判定同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.若,则;若,则;若,则.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.简单说成过一点有且只有一条直线与已知直线平行.过直线外一点做,,则与重合.平行公理推论如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.简单说成平行于同一条直线的两条直线平行.若,则.【例1】⑴两条直线被第三条直线所截,则()A.同位角相等B.内错角相等C.同旁内角互补D.以上都不对⑵和是同旁内角,若,则的度数是()A.B.C.或D.不能确定⑶如图,下面推理中,正确的是()A.∵,∴B.∵,∴C.∵,∴D.∵,∴北京三帆中学期中⑷如图,直线a∥b,若∠1=50°,则∠2=()A.50° B.40° C.150° D.130°北京101中期中⑸如图,直线,,为垂足,如果,则的度数是()A.B.C.D.北京八中期中⑹如图,直线,点在直线上,且,,则的度数为______北京八十中期中⑺如图,和互补,那么图中平行的直线有()A.B.C.D.北京十三分期中⑻将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论
①;
②;
③;
④,其中正确的个数()A.1B.2C.3D.4北京十三分期中⑼如图,直线,,,那么的度数是.北京一六一中期中⑽将一张长方形纸片按如图所示折叠,如果,那么等于.北京一六一中期中【解析】⑴D;⑵D;⑶C;⑷D;⑸C;⑹35°;⑺D;⑻D;⑼56°;⑽52°.【例2】⑴如图,请说明,请你完成下列填空,把解答过程补充完整.解∵,∴().∵,∴(等量代换).∴(同旁内角互补,两直线平行).∴().(北京市海淀区期末)⑵填空,完成下列说理过程.如图,平分交于点,,如果∠1+∠3=90°,那么∠2和∠4相等吗?说明理由.解∵平分,∴∠3=∠()∵=°,且,∴∠1+∠2=90°.又∵∠1+∠3=90°,∴∠2=∠
3.()∴∠2=∠
4.(北京市朝阳区期末)⑶如图已知,,求度数.解∵( ),∴( ),( )又∵( )∴( )( )∴( )∴( )【点评】第⑶题即证明了三角形内角和等于180°.【解析】⑴依次填两直线平行,同旁内角互补;;;两直线平行,内错角相等⑵4,角平分线定义,180,同角的余角相等⑶已知;;两直线平行,同位角相等;;两直线平行,内错角相等;已知;;两直线平行,同位角相等;;两直线平行,同位角相等;等量代换;180°;平角定义.【例3】⑴如图,已知直线,,,则的度数为度.⑵如图,不添加辅助线,请写出一个能判定的条件.⑶如图,点在的延长线上,给出下列条件
①;
②;
③;
④;
⑤;
⑥;
⑦.能说明的条件有.⑷如图,直线分别与直线、相交于点、,已知,平分交直线于点.则()A.B.C.D.1【解析】⑴∵,(已知),∴(两直线平行,同旁内角互补)∴(对顶角相等).∵(已知),∴(三角形内角和).⑵()等(答案不唯一)⑶
②④⑤;⑷A.【例4】⑴已知如图1,平分,,,求.⑵已知如图2,,和互余,于.求证.北京八中期中图1图22【解析】⑴∵∴∵CD平分∴⑵证明∵(已知)∴(同位角相等,两直线平行)又∵(已知)∴(两直线平行,同位角相等)∴(平角定义)又∵(已知)∴(等量代换)∴(内错角相等,两直线平行)【例5】如图,已知,直线分别交、于点、,、分别平分、.求证.从本题我能得到的结论是1【解析】∵,∴又∵、分别平分、∴,∴从本题我能得到的结论是两直线平行,同位角的角分线平行.引导学生举一反三,可得两直线平行,内错角的角分线平行;两直线平行,同旁内角的角分线互相垂直.模型示例剖析若,则若,则若,则若,则【例6】已知如图点为其内部任意一点,求证.3【解析】过点作∵(已知)∴(平行于同一条直线的两直线平行)∵(已知)∴(两直线平行,内错角相等)∵(已知)∴(两直线平行,内错角相等)∵∴(等量代换)【例7】如图,已知,,,求的度数.1【解析】过点作.∵且(已知)∴(平行于同一条直线的两直线平行)∵且(已知)∴(两直线平行,内错角相等)∵且(已知)∴(两直线平行,同旁内角互补)∴【例8】如图,已知,,,求的度数.2【解析】如图延长交直线于点∵,(已知)(对顶角相等)∴(等量代换)∴,(同旁内角互补,两直线平行)∴(两直线平行,内错角相等)∵,(已知)∴(等量代换)∴,(同位角相等,两直线平行)∴(两直线平行,同旁内角互补)∵,∴【点评】通过辅助线将相关角联系起来.判断对错图中与为同位角()3【解析】×_和不是被同一条直线所截判断对错垂直于同一条直线的两直线互相平行()4【解析】×_易忘记大前提“在同一平面内”题号班次12345678基础班√√√√√提高班√√√√√尖子班√√√√√知识模块一平行的定义、性质及判定课后演练【演练1】已知如图,,,与平行吗?为什么?【解析】∵(已知),∴(内错角相等,两直线平行)∵(已知),∴(同位角相等,两直线平行)∴(平行于同一条直线的两直线平行)【演练2】⑴如图1,,,,则的度数是.⑵如图2,直线与直线,相交.若,,则的度数是.⑶如图3,直线,,,则的度数为()A.B.C.D.【解析】⑴;⑵;⑶C.【演练3】⑴根据右图在()内填注理由
①∵(已知)∴()
②∵(已知)∴()
③∵(已知)∴()(北京市东城区期末)⑵如图已知,,求证
①②证明∵()∴()()()∴()又∵()∴()∴()()()⑶如图,∵(已知),(已知)又∵()∴()∴()4【解析】⑴
①同位角相等,两直线平行;
②内错角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行.⑵已知,,;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;已知;;等量代换;,;同位角相等,两直线平行.⑶2;3;对顶角相等;1;;等量代换;内错角相等,两直线平行.【演练4】⑴已知如图1,,,,求证.北京三帆中学期中证明∵,(已知)∴∴()又∵(已知)∴()∴()∴()⑵如图2,,,.将求的过程填写完整.北京四中期中解∵,∴()又∵∴()∴()∴()又∵∴.【解析】⑴;同旁内角互补,两直线平行;;;内错角相等,两直线平行;;;平行于同一条直线的两直线平行;两直线平行,同位角相等.⑵;两直线平行,同位角相等;等量代换;;内错角相等,两直线平行;;两直线平行,同旁内角互补;110°.【演练5】如图,已知,平分,平分,,求证.【解析】∵平分,平分,∴,∴,∴∵,∴,即【演练6】如图,已知,,试判断与的大小关系,并对结论进行证明.5【解析】法一∵,∴∴,∴∵,∴∴,∴法二延长,找的同位角,证出,再找的内错角,证出即可.知识模块二基本模型中平行线的证明课后演练【演练7】如图,已知,,,则.5【解析】分别过点,做和的平行线,易得.【演练8】已知如图,点为其内部任意一点,.求证.6【解析】如图过点做∵∴∵∴∴又∵∴平行的性质及判定1模块一平行的定义、性质及判定知识导航夯实基础能力提升ABCDEAEBGCDMHF123模块二基本模型中平行线的证明知识导航夯实基础能力提升探索创新实战演练图2。