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文本内容:
高一数学必修1各章知识点总结第一章__与函数概念
一、__有关概念
1.__的含义
2.__的中元素的三个特性1元素的确定性如世界上最高的山2元素的互异性如由HAPPY的字母组成的__{HAPY}3元素的无序性:如{abc}和{acb}是表示同一个__
3.__的表示{…}如{我校的篮球队员},{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1用拉丁字母表示__A={我校的篮球队员}B={12345}2__的表示方法列举法与描述法注意常用数集及其记法非负整数集(即自然数集)记作N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1)列举法{abc……}2)描述法将__中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示__的方法{xR|x-32}{x|x-32}3)语言描述法例{不是直角三角形的三角形}4)Venn图:
4、__的分类1有限集含有有限个元素的__2无限集含有无限个元素的__3空集不含任何元素的__ 例{x|x2=-5}
二、__间的基本关系
1.“包含”关系—子集注意有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一__反之:__A不包含于__B或__B不包含__A记作AB或BA2.“相等”关系A=B5≥5,且5≤5,则5=5实例设A={x|x2-1=0}B={-11}“元素相同则两__相等”即
①任何一个__是它本身的子集AA
②真子集:如果AB且AB那就说__A是__B的真子集,记作AB或BA
③如果ABBC那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的__叫做空集,记为Φ规定:空集是任何__的子集,空集是任何非空__的真子集有n个元素的__,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、__的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的__叫做AB的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.由所有属于__A或属于__B的元素所组成的__,叫做AB的并集.记作AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}.设S是一个__,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的__,叫做S中子集A的补集(或余集)记作,即CSA=韦恩图示性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABAABBCuACuB=CuABCuACuB=CuABACuA=UACuA=Φ.例题
1.下列四组对象,能构成__的是()A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.__{a,b,c}的真子集共有个
3.若__M={y|y=x2-2x+1xR}N={x|x≥0},则M与N的关系是.
4.设__A=,B=,若AB,则的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的__M=.
7.已知__A={x|x2+2x-8=0}B={x|x2-5x+6=0}C={x|x2-mx+m2-19=0}若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念1.函数的概念设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于__A中的任意一个数x,在__B中都有唯一确定的数fx和它对应,那么就称f A→B为从__A到__B的一个函数.记作y=fx,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的__{fx|x∈A}叫做函数的值域.注意1.定义域能使函数式有意义的实数x的__称为函数的定义域求函数的定义域时列不等式组的主要依据是1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于
1.5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的__.6指数为零底不可以等于零,7实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致两点必须同时具备见课本21页相关例22.值域:先考虑其定义域1观察法2配方法3代换法
3.函数图象知识归纳1定义在平面直角坐标系中,以函数y=fxx∈A中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点Px,y的__C,叫做函数y=fxx∈A的图象.C上每一点的坐标x,y均满足函数关系y=fx,反过来,以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x,y,均在C上.2画法A、描点法B、图象变换法常用变换方法有三种1平移变换2伸缩变换3对称变换4.区间的概念
(1)区间的分类开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.5.映射一般地,设A、B是两个非空的__,如果按某一个确定的对应法则f,使对于__A中的任意一个元素x,在__B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f AB为从__A到__B的一个映射记作“f(对应关系)A(原象)B(象)”对于映射f A→B来说,则应满足1__A中的每一个元素,在__B中都有象,并且象是唯一的;2__A中不同的元素,在__B中对应的象可以是同一个;3不要求__B中的每一个元素在__A中都有原象
6.分段函数1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数2各部分的自变量的取值情况.3分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充复合函数如果y=fuu∈Mu=gxx∈A则y=f[gx]=Fxx∈A称为f、g的复合函数二.函数的性质
1.函数的单调性局部性质
(1)增函数设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说fx在区间D上是增函数.区间D称为y=fx的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有fx1>fx2,那么就说fx在这个区间上是减函数.区间D称为y=fx的单调减区间.注意函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
3.函数单调区间与单调性的判定方法A定义法任取x1,x2∈D,且x1x2;作差fx1-fx2;变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断差fx1-fx2的正负);下结论(指出函数fx在给定的区间D上的单调性).B图象法从图象上看升降C复合函数的单调性复合函数f[gx]的单调性与构成它的函数u=gx,y=fu的单调性密切相关,其规律“同增异减”注意函数的单调区间只能是其定义域的子区间不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=fx,那么fx就叫做偶函数.
(2).奇函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=—fx,那么fx就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;确定f-x与fx的关系;作出相应结论若f-x=fx或f-x-fx=0,则fx是偶函数;若f-x=-fx或f-x+fx=0,则fx是奇函数.注意函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,1再根据定义判定;2由f-x±fx=0或fx/f-x=±1来判定;3利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有1凑配法2待定系数法3换元法4消参法10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值利用图象求函数的最大(小)值利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb;如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=fx在x=b处有最小值fb;例题
1.求下列函数的定义域⑴⑵
2.设函数的定义域为,则函数的定义域为__
3.若函数的定义域为,则函数的定义域是
4.函数,若,则=
5.求下列函数的值域⑴⑵
346.已知函数,求函数,的解析式
7.已知函数满足,则=
8.设是R上的奇函数,且当时则当时=在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间⑴⑵⑶
10.判断函数的单调性并证明你的结论.
11.设函数判断它的奇偶性并且求证.第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根,其中1,且∈*.负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作当是奇数时,,当是偶数时,2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3.实数指数幂的运算性质
(1)·;
(2);
(3).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.注意指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质a10a1定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)注意利用函数的单调性,结合图象还可以看出
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
二、对数函数
(一)对数1.对数的概念一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作(—底数,—真数,—对数式)说明注意底数的限制,且;;注意对数的书写格式.两个重要对数常用对数以10为底的对数;自然对数以无理数为底的对数的对数.指数式与对数式的互化幂值真数=N=b底数指数对数
(二)对数的运算性质如果,且,,,那么·+;-;.注意换底公式(,且;,且;).利用换底公式推导下面的结论
(1);
(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别如,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.对数函数对底数的限制,且.
2、对数函数的性质a10a1定义域x>0定义域x>0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点(1,0)函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
1、幂函数定义一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.例题
1.已知a0,a0,函数y=ax与y=loga-x的图象只能是
2.计算
①;
②=;=;
③=
3.函数y=log2x2-3x+1的递减区间为
4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=
5.已知,
(1)求的定义域
(2)求使的的取值范围第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点
2、函数零点的意义函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法(代数法)求方程的实数根;(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象__起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点二次函数.
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
5.函数的模型SASA收集数据画散点图选择函数模型求函数模型用函数模型解释实际问题符合实际不符合实际检验。