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文本内容:
函数知识点
一、映射与函数
1、映射f A→B概念
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一
2、函数f A→B是特殊的映射
1、特殊在定义域A和值域B都是非空数集函数y=fx是“y是x的函数”这句话的数学表示,其中x是自变量,y是自变量x的函数,f是表示对应法则,它可以是一个解析式,也可以是表格或图象,也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与x轴至多有一个公共点,但与y轴的公共点可能没有,也可能是任意个(即一个x只能对应一个y,但一个y可以对应多个x)
(2)、函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
二、函数的单调性它是一个区间概念,即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的判断方法如下
1、作差(商)法(定义法)
2、导数法
3、复合函数单调性判别方法(同增异减)三.函数的奇偶性⑴偶函数设()为偶函数上一点,则()也是图象上一点.偶函数的判定两个条件同时满足
①定义域一定要关于轴对称,例如在上不是偶函数.
②满足,或,若时,.⑵奇函数设()为奇函数上一点,则()也是图象上一点.奇函数的判定两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如在上不是奇函数.
②满足,或,若时,※四.函数的变换
①将函数的图象关于y轴对称得到的新的图像就是的图像;
②将函数的图象关于x轴对称得到的新的图像就是的图像;
③将函数的图象在x轴__的部分对称到x轴的上方,连同函数的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是的图像;
④将函数的图象在y轴左侧的部分去掉,函数的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧,连同函数的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是的图像.函数y=fxy=fx+aa0时,向左平移a个单位;a0时,向右平移|a|个单位.y=fx+aa0时,向上平移a个单位;a0时,向下平移|a|个单位.y=f-xy=f-x与y=fx的图象关于y轴对称.y=-fxy=-fx与y=fx的图象关于x轴对称.y=-f-xy=-f-x与y=fx的图象关于原点轴对称.y=f|x|y=f|x|的图象关于y轴对称,x0时函数即y=fx,所以x0时的图象与x0时y=fx的图象关于y轴对称.y=|fx|∵,∴y=|fx|的图象是y=fx0与y=fx0图象的组合.y=y=与y=fx的图象关于直线y=x对称.注
(1)若对任意实数x都有fa+x=fa-x成立,则x=a是函数fx的对称轴;
(2)若对任意实数x都有fa+x=fb-x成立,则x=是fx的对称轴.
五、指数函数与对数函数的图像和性质一.指数函数
(1)指数与指数幂的运算1.根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根,其中1,且∈*.负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作当是奇数时,,当是偶数时,2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3.实数指数幂的运算性质
(1)·;
(2);
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.注指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质a10a1定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1)函数图象都过定点(0,1)注意利用函数的单调性,结合图象还可以看出
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
二、对数函数
(一)对数1.对数的概念一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作(—底数,—真数,—对数式)说明注意底数的限制,且;;注意对数的书写格式.两个重要对数常用对数以10为底的对数;自然对数以无理数为底的对数的对数.指数式与对数式的互化幂值真数=N=b底数指数对数
(二)对数的运算性质如果,且,,,那么·+;-;.注意换底公式(,且;,且;).利用换底公式推导下面的结论
(1);
(2).
(3)对数函数
1、对数函数的概念函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别如,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.对数函数对底数的限制,且.
2、对数函数的性质a10a1定义域x>0定义域x>0值域为R值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点(1,0)函数图象都过定点(1,0)六.幂函数的图像及性质
(一)定义形如y=xa(a是常数)的函数,叫幂函数三.幂函数的性质 a0时1图象都通过点0011 2在0+∞,函数随的增大而增大 a0时1图象都通过1,1) 2在0+∞,函数随x的增加而减小 3在第一象限内,图象向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近函数位于第一象限的图象在“a1”时,往上翘;0a1往右拐;a0向下滑7.二分法求零点对于函数fx如果存在实数c当x=c时,若fc=0那么把x=c叫做函数fx的零点 解方程即要求fx的所有零点假定fx在区间(x,y)上连续,先找到a、b属于区间(x,y),使fa,fb异号,说明在区间ab内一定有零点,然后求f[a+b/2]现在假设fa0fb0ab若f[a+b/2]=0,该点就是零点; 若f[a+b/2]0则在区间(a+b/2,b内有零点,a+b/2=a,继续使用中点函数值判断 若f[a+b/2]0,则在区间aa+b/2内有零点,a+b/2=b,继续使用中点函数值判断 通过每次把fx的零点所在小区间收缩一半的方法,使区间的两个端点逐步迫近函数的零点,以求得零点的近似值,这种方法叫做二分法nn00n1n1。