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文本内容:
导数的基本概念及性质应用考点
1、掌握导数的基本概念及运算公式,并能灵活应用公式求解
2、能运用导数求解单调区间及极值、最值
3、理解并掌握极值及单调性的实质,并能灵活应用其性质解题能力数形结合方法讲练结合新授课
1、知识点总结导数的基本概念与运算公式
1、导数的概念函数y=的导数,就是当Δ0时,函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的极限,即==说明分子和分母中间的变量必须保持一致
2、导函数函数y=在区间ab内每一点的导数都存在,就说在区间ab内可导,其导数也是ab内的函数,叫做的导函数,记作或,函数的导函数在时的函数值,就是在处的导数
3、导数的几何意义设函数y=在点处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的切线斜率
4、求导数的方法(1)基本求导公式(2)导数的四则运算(3)复合函数的导数设在点x处可导,y=在点处可导,则复合函数在点x处可导,导数性质
1、函数的单调性⑴设函数y=在某个区间内可导,若>0,则为增函数;若<0则为减函数⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法
①确定函数的定义区间
②求,令=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根
③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间
④确定在各小开区间内的符号,根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性说明原函数单调性与导函数单调性无关,只与导函数正负号有关2.可导函数的极值⑴极值的概念设函数在点附近有定义,且对附近的所有点都有<(或>),则称为函数的一个极大(小)值点称为极大(小)值点⑵求可导函数极值的步骤
①求导数
②求方程=0的根
③检验在方程=0的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧为正,那么函数y=在这个根处取得极小值说明极值点的导数为0,导数为0的点不一定是极值点(隐含条件,说明某点是极值点,相当于给出了一个=0的方程3.函数的最大值与最小值⑴设y=是定义在区间[ab]上的函数,y=在ab内有导数,求函数y=在[ab]上的最大值与最小值,可分两步进行
①求y=在ab内的极值
②将y=在各极值点的极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值⑵若函数y=在[ab]上单调增加,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数y=在[ab]上单调减少,则为函数的最大值,为函数的最小值说明极大值小于等于最大值,极小值大于等于最小值
2、例题讲解题型一导数的概念【例1】设fx在点x0处可导,a为常数,则等于A.f/x0B.2af/x0C.af/x0D.0【变式】设在处可导题型二导数的几何意义、物理意义【例2】
(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程;
(2)运动曲线方程为,求t=3时的速度 分析根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数y=fx在处的导数就是曲线y=fx在点处的切线的斜率瞬时速度是位移函数St对时间的导数题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间
(1)
(2)
(3)
(4)题型四利用导数求函数的最(极)值【例4】求函数在闭区间[-3,0]上的极值、最大值、最小值题型五原函数图像与导函数图像【例5】
1、设fx是函数fx的导函数,y=fx的图象如右图所示,则y=fx的图象最有可能的是ABCD
2、函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )A.1个B.2个C.3个D.4个题型六利用极值的本质及单调性求解析式【例6】已知函数在处取得极值I讨论和是函数的极大值还是极小值;II过点作曲线的切线,求此切线方程【例7】已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图象经过点(1,0),(2,0)如图所示.求
(1)的值;
(2)a、b、c的值.【例8】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值【例9】已知的图象经过点,且在处的切线方程是
(1)求的解析式;
(2)求的单调递增区间题型七含参数的讨论【例10】
(1)如果函数fx=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数,则实数a的取值范围是A.0+B.[0+C.3+D.[3+
(2)如果函数fx=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线,则实数a的取值范围是________________【例11】已知函数在区间上都是增函数,在(0,4)上是减函数.
(1)求b的值;
(2)求a的取值范围题型八综合应用【例12】平面向量,若存在不同时为的实数和,使且,试确定函数的单调区间例题答案【例1】解故选C【变式】-1【例2】
(1), ,即曲线在点(1,1)处的切线斜率k=0 因此曲线在(1,1)处的切线方程为y=1
(2) 【例3】
(1)时∴,
(2)∴,
(3)∴∴,,
(4)定义域为【例4】略,注意强调学生的步骤完整性【例5】
1、C
2、A【例6】分析
(1)分析x=±1处的极值情况,关键是分析x=±1左右(x)的符号.
(2)要分清点A(0,16)是否在曲线上.解
(1)(x)=3ax2+2bx-3,依题意,
(1)=(-1)=0,即解得a=1,b=
0.∴f(x)=x3-3x,(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令(x)=0,得x=-1,x=
1.若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)上是增函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数.若x∈(-1,1),则(x)<0,故f(x)在(-1,1)上是减函数.所以f(-1)=2是极大值,f
(1)=-2是极小值.
(2)曲线y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上,设切点M(x0,y0),则y0=x03-3x.∵(x0)=3x02-3,∴切线方程为y-y0=3(x02-1)(x-x0).代入A(0,16)得16-x03+3x0=3(x02-1)(0-x0).解得x0=-2,∴M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=
0.评述过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题的关键【例7】解函数的增减变化如下表x12+0-0+极大极小
(1)在x=1处由增变减,故为极大值,即=
1.
(2)由于,【例8】解f′(x)=3x2+2ax+b.据题意,-1,3是方程3x2+2ax+b=0的两个根,由韦达定理得∴a=-3,b=-9∴f(x)=x3-3x2-9x+c∵f(-1)=7,∴c=2极小值f
(3)=33-3×32-9×3+2=-25∴极小值为-25,a=-3,b=-9,c=2【例9】解
(1)的图象经过点,则,切点为,则的图象经过点得
(2)单调递增区间为【例10】
(1)A
(2)-,0]【例11】解⑴由条件知是函数的极值点.∵,令,得.⑵已求,∴.令,得.由条件知为极大值点,则应为极小值点.又知曲线在区间(0,4)上是减函数.∴,,得【例12】解由得所以增区间为;减区间为
3、课堂演练
1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x-y-1=0,则A.f′(x0)0B.f′(x0)0C.f′(x0)=0D.f′(x0)不存在
2.函数在区间上的最大值是( )A.B.C.D.3.函数y=x3-3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为A.0B.1C.2D.4
4.已知函数在时取得极值,则实数的值是( )A.B.C.D.
5.在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是()A.B.C.D.
6.三次函数y=f(x)=ax3+x在x∈(-∞,+∞)内是增函数,则A.a0B.a0C.a=1D.a=
7.与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方程是___________.
8.已知a为实数,⑴求导数;⑵若,求在[-2,2]上的最大值和最小值;⑶若在-∞,-2和[2,+∞]上都是递增的,求a的取值范围1-6AAADAA,
7.3x+y+2=
08.解⑴由原式得∴⑵由得此时有.由得或x=-1又所以fx在[-22]上的最大值为最小值为⑶解法一:的图象为开口向上且过点0-4的抛物线由条件得即∴-2≤a≤
2.所以a的取值范围为[-22].解法二:令即由求根公式得:所以在和上非负.由题意可知当x≤-2或x≥2时≥0从而x1≥-2x2≤2即解不等式组得-2≤a≤
2.∴a的取值范围是[-22].
4、课堂小结导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质单调性、极值和最值是高考的热点问题在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值知识点需要熟悉,但是更重要的是掌握其本质,并能灵活应用于各种题型
5、课下作业
1、函数的递增区间是()A.B.C.D.
2、若则的值等于()A.B.C.D.
3、函数在区间上的最小值为()A.B.C.D.
4、曲线在点处的切线倾斜角为__________;
5、函数的单调递增区间是___________________________答案
1、C;
2、D;
3、D;
4、;
5、。