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直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1直线与双曲线的位置关系
1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b,双曲线-=1a0,b0联立消去y得Ax2+Bx+C=0(a≠0),Δ=B2-4AC若A=0即,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;若Δ0直线与双曲线相交,有两个交点;若Δ=0,直线与双曲线相切,有一个交点;若Δ0,直线与双曲线相离,无交点;直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件
2.弦长问题设直线l:y=kx+n,圆锥曲线Fxy=0,它们的交点为P1x1y1,P2x2y2,且由,消去y→ax2+bx+c=0(a≠0),Δ=b2-4ac弦长公式(k为直线斜率)例题选讲例1直线l y=kx+1与双曲线C2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.求实数k的取值范围;解 1将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得k2-2x2+2kx+2=
0.
①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得k的取值范围是-2k-.例2已知中心在原点,顶点在轴上,离心率为的双曲线经过点(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)动直线经过的重心,与双曲线交于不同的两点,问是否存在直线使平分线段试证明你的结论例3已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.1求双曲线C2的方程;2若直线l y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·2其中O为原点,求k的取值范围.解 1设双曲线C2的方程为-=1,则a2=4-1=3,c2=4,由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程为-y2=
1.2将y=kx+代入-y2=1,得1-3k2x2-6kx-9=
0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得∴k2≠且k
21.
①设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=,x1x2=.∴x1x2+y1y2=x1x2+kx1+kx2+=k2+1x1x2+kx1+x2+2=.又∵·2,得x1x2+y1y22,∴2,即0,解得k23,
②由
①②得k
21.故k的取值范围为∪.例4已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点.
(1)求双曲线方程;
(2)若点在双曲线上,求证;
(3)对于
(2)中的点,求的__.解
(1)由题意,可设双曲线方程为,又双曲线过点,解得∴双曲线方程为;
(2)由
(1)可知,,,∴,∴,,∴,又点在双曲线上,∴,∴,即;
(3)∴的__为6.知识点2抛物线及其标准方程1.抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线ll不经过点F距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2pxp>0y2=-2pxp>0图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈R对称轴x轴顶点坐标原点O00焦点坐标准线方程x=-x=离心率e=1题型1抛物线的定义灵活应用例112011·辽宁高考已知F是拋物线y2=x的焦点,A,B是该拋物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 A. B.1C.D.22012·曲阜师大附中质检在抛物线C y=2x2上有一点P,若它到点A13的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小,则点P的坐标是 A.-21B.12C.21D.-12[自主解答] 1如图,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3,|CD|=,所以中点C的横坐标为-=.2由题知点A在抛物线内部,根据抛物线定义,问题等价于求抛物线上一点P,使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小,显然点P是直线x=1与抛物线的交点,故所求P点的坐标是12.[答案] 1C 2B练习12012·安徽高考过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=________.解析由题意知,抛物线的焦点F的坐标为10,又∵|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,∴点A的横坐标为
2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知,y=2,∴A22,∴直线AF的方程为y=2x-1.又解得或由图知,点B的坐标为,∴|BF|=--1=.答案题型2抛物线的标准方程及几何性质例212012·山东高考已知双曲线C1-=1a0,b0的离心率为
2.若抛物线C2x2=2pyp0的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 A.x2=y B.x2=yC.x2=8yD.x2=16y22012·四川高考已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M2,y0.若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|= A.2B.2C.4D.2[自主解答] 1∵双曲线C1-=1a>0,b>0的离心率为2,∴==2,∴b=a,∴双曲线的渐近线方程为x±y=0,∴抛物线C2x2=2pyp>0的焦点到双曲线的渐近线的距离为=2,∴p=
8.∴所求的抛物线方程为x2=16y.2依题意,设抛物线方程是y2=2pxp0,则有2+=3,得p=2,故抛物线方程是y2=4x,点M的坐标是2,±2,|OM|==
2.[答案] 1D 2B练习2若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点且,求此抛物线的方程[解析]设点是点在准线上的射影,则,由勾股定理知,点A的横坐标为,代入方程得或4,抛物线的方程或题型3直线与抛物线的位置关系1.设抛物线方程为y2=2pxp>0,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=
0.1若m≠0,当Δ>0时,直线与抛物线有两个公共点;当Δ=0时,直线与抛物线只有一个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线没有公共点.2若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.2.与焦点弦有关的常用结论.以右图为依据1y1y2=-p2,x1x2=.2|AB|=x1+x2+p=θ为AB的倾斜角.3S△AOB=θ为AB的倾斜角.4+为定值.5以AB为直径的圆与准线相切.6以AF或BF为直径的圆与y轴相切.7∠CFD=90°.例3 2012·福建高考如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E x2=2pyp0上.1求抛物线E的方程;2设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.[自主解答] 1依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.设Bx,y,则x=|OB|sin30°=4,y=|OB|cos30°=
12.因为点B4,12在x2=2py上,所以42=2p×12,解得p=
2.故抛物线E的方程为x2=4y.2证明由1知y=x2,y′=x.设Px0,y0,则x0≠0,y0=x,且l的方程为y-y0=x0x-x0,即y=x0x-x.由得所以Q为.设M0,y1,令·=0对满足y0=xx0≠0的x0,y0恒成立.由于=x0,y0-y1,=,由·=0,得-y0-y0y1+y1+y=0,即y+y1-2+1-y1y0=
0.*由于*式对满足y0=xx0≠0的y0恒成立,所以解得y1=
1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M01.练习32012·泉州模拟如图,点O为坐标原点,直线l经过抛物线C y2=4x的焦点F.1若点O到直线l的距离为,求直线l的方程;2设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心,|FA|为半径的圆与x轴的交点,试判断AB与抛物线C的位置关系,并给出证明.解1抛物线的焦点F10,当直线l的斜率不存在时,即x=1不符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-1,即kx-y-k=
0.所以,=,解得k=±.故直线l的方程为y=±x-1,即x±y-1=
0.2直线AB与抛物线相切,证明如下设Ax0,y0,则y=4x
0.因为|BF|=|AF|=x0+1,所以B-x00.所以直线AB的方程为y=x+x0,整理得x=-x0
①把方程
①代入y2=4x得y0y2-8x0y+4x0y0=0,Δ=64x-16x0y=64x-64x=0,所以直线AB与抛物线相切.基础练习1.2012·济南模拟抛物线的焦点为椭圆+=1的下焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 A.x2=-4y B.y2=-4xC.x2=-4yD.y2=-4x解析选A 由椭圆方程知,a2=9,b2=4,焦点在y轴上,下焦点坐标为0,-c,其中c==.∴抛物线焦点坐标为0,-,∴抛物线方程为x2=-4y.2.2012·东北三校联考若抛物线y2=2pxp>0上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为 A.2B.18C.2或18D.4或16解析选C 设Px0,y0,则∴36=2p,即p2-20p+36=0,解得p=2或
18.3.2013·大同模拟已知抛物线y2=2pxp>0的准线与曲线x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为 A.2B.1C.D.解析选A 注意到抛物线y2=2px的准线方程是x=-,曲线x2+y2-6x-7=0,即x-32+y2=16是圆心为30,半径为4的圆.于是依题意有=
4.又p>0,因此有+3=4,解得p=
2.4.2012·郑州模拟已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是 A.或B.或C.或D.解析选B 由焦点弦长公式|AB|=得=12,所以sinθ=,所以θ=或.5.2012·唐山模拟抛物线y2=2px的焦点为F,点A、B、C在此抛物线上,点A坐标为12.若点F恰为△ABC的重心,则直线BC的方程为 A.x+y=0B.x-y=0C.2x+y-1=0D.2x-y-1=0解析选C ∵点A在抛物线上,∴4=2p,p=2,抛物线方程为y2=4x,焦点F10设点Bx1,y1,点Cx2,y2,则有y=4x1,
①y=4x2,
②由
①-
②得y1-y2y1+y2=4x1-x2得kBC==.又∵=0,∴y1+y2=-2,∴kBC=-
2.又∵=1,∴x1+x2=2,∴BC中点为1,-1,则BC所在直线方程为y+1=-2x-1,即2x+y-1=
0.6.2013·湖北模拟已知直线y=kx-m与抛物线y2=2pxp>0交于A、B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB于D.若动点D的坐标满足方程x2+y2-4x=0,则m= A.1B.2C.3D.4解析选D 设点Da,b,则由OD⊥AB于D,得则b=-,a=-bk;又动点D的坐标满足方程x2+y2-4x=0,即a2+b2-4a=0,将a=-bk代入上式,得b2k2+b2+4bk=0,即bk2+b+4k=0,--+4k=0,又k≠0,则1+k24-m=0,因此m=
4.7.2012·安徽模拟已知椭圆C1+=10<b<2的离心率为,抛物线C2x2=2pyp>0的焦点是椭圆的顶点.1求抛物线C2的方程;2过点M-10的直线l与抛物线C2交于E,F两点,过E,F作抛物线C2的切线l1,l2,当l1⊥l2时,求直线l的方程.解1∵椭圆C1的长半轴长a=2,半焦距c=.由e===得b2=1,∴椭圆C1的上顶点为01,即抛物线C2的焦点为01,故抛物线C2的方程为x2=4y.2由已知可得直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=kx+1,Ex1,y1,Fx2,y2.由x2=4y得y=x2,∴y′=x.∴切线l1,l2的斜率分别为x1,x
2.当l1⊥l2时,x1·x2=-1,即x1x2=-
4.由得x2-4kx-4k=0,∴Δ=4k2-4×-4k>0,解得k<-1或k>
0.
①且x1x2=-4k=-4,即k=1,满足
①式,∴直线l的方程为x-y+1=
0.。