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文本内容:
矩阵的基本性质矩阵的第⾏第列的元素为我们⽤或()表⽰的单位矩阵
1.矩阵的加减法
(1)对应元素相加减
(2)矩阵加减法满足的运算法则a.交换律b.结合律c.d.
2.矩阵的数乘
(1),各元素均乘以常数
(2)矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律b.矩阵对数的分配律c.结合律d.
3.矩阵的乘法
(1),左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素
(2)矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律,只有两个方正满足且有b.分配律c.结合律d.数乘结合律
4.矩阵的转置
(1)矩阵的幂…
(2)矩阵乘法满足的运算法则a.b.c.d.
5.对称矩阵即;__称矩阵即
(1)设为(反)对称矩阵,则仍是(反)对称矩阵
(2)设为对称矩阵,则或仍是对称矩阵的充要条件=
(3)设为(反)对称矩阵,则,也是(反)对称矩阵
(4)对任意矩阵,则分别是对称矩阵和__称矩阵且.
(5)
6.Hermite矩阵即;反Hermite矩阵,即a.b.c.d.e.f.(当矩阵可逆时)
7.正交矩阵若则是正交矩阵
(1)
(2)
(3)
8.酉矩阵若则是酉矩阵
(1)
(2)
(3)
(4)
9.正规矩阵若则是正规矩阵;若则是实正规矩阵
10.矩阵的迹和行列式
(1)为矩阵的迹;或为行列式
(2);注矩阵乘法不满足交换律
(3)
(4)为酉矩阵,则
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12),则其中为奇异分解值的特征值
11.矩阵的伴随矩阵
(1)设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
(2)
12.矩阵的逆(逆矩阵是唯一的)
(1)A的逆矩阵记作;
(2)(为非奇矩阵)时,
(3)且,则
(4)由,得
(5)
(6)若
(7)若是非奇上(下)三角矩阵,则也上(下)三角矩阵
(8)
(9)
(10)
(11)Woodbury恒等式:
(12)
12.对角矩阵,矩阵为对称矩阵,正交矩阵,则为对角矩阵或,则;
13.矩阵的导数
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)。