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§1矩阵及其运算教学要求理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵(比如零矩阵,单位矩阵,对称矩阵和__称矩阵的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同能熟练正确地进行矩阵的计算知识要点
一、矩阵的基本概念矩阵,是由个数组成的一个行列的矩形表格,通常用大写字母表示,组成矩阵的每一个数,均称为矩阵的元素,通常用小写字母其元素表示,其中下标都是正整数,他们表示该元素在矩阵中的位置比如,或表示一个矩阵,下标表示元素位于该矩阵的第行、第列元素全为零的矩阵称为零矩阵特别地,一个矩阵,也称为一个维列向量;而一个矩阵,也称为一个维行向量当一个矩阵的行数与烈数相等时,该矩阵称为一个阶方阵对于方阵,从左上角到右下角的连线,称为主对角线;而从左下角到右上角的连线称为付对角线若一个阶方阵的主对角线上的元素都是,而其余元素都是零,则称为单位矩阵,记为,即如一个阶方阵的主对角线上(下)方的元素都是零,则称为下(上)三角矩阵,例如,是一个阶下三角矩阵,而则是一个阶上三角矩阵今后我们用表示数域上的矩阵构成的__,而用或者表示数域上的阶方阵构成的__
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法如果是两个同型矩阵(即它们具有相同的行数和列数,比如说),则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵(即),的元素为和对应元素的和,即给定矩阵,我们定义其负矩阵为这样我们可以定义同型矩阵的减法为由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算,容易验证,矩阵的加法满足下列运算律
(1)交换律;
(2)结合律;
(3)存在零元;
(4)存在负元
2、数与矩阵的乘法设为一个数,,则定义与的乘积仍为中的一个矩阵,中的元素就是用数乘中对应的元素的道德,即由定义可知容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律
(1);
(2);
(3);
(4)
3、矩阵的乘法设为距阵,为距阵,则矩阵可以左乘矩阵(注意距阵德列数等与矩阵的行数),所得的积为一个距阵,即,其中,并且据真的乘法满足下列运算律(假定下面的运算均有意义)
(1)结合律;
(2)左分配律;
(3)右分配律;
(4)数与矩阵乘法的结合律;
(5)单位元的存在性若为阶方阵,则对任意正整数,我们定义,并规定由于矩阵乘法满足结合律,我们有,注意矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别,特别应该注意的是
(1)矩阵乘法不满足交换律一般来讲即便有意义,也未必有意义;倘使都有意义,二者也未必相等(请读者自己举反例)正是由于这个原因,一般来讲,,
(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,即未必能推出或者(请读者自己举反例)
(3)消去律部成立如果并且,未必有
4、矩阵的转置定义设为矩阵,我们定义的转置为一个矩阵,并用表示的转置,即矩阵的转置运算满足下列运算律
(1);
(2);
(3);
(4)
5、对称矩阵定义
1.11阶方阵若满足条件,则称为对称矩阵;若满足条件,则称为__称矩阵若设,则为对称矩阵,当且仅当对任意的成立;为__称矩阵,当且仅当对任意的成立从而__称局针对角线上的元素必为零对称矩阵具有如下性质
(1)对于任意矩阵,为阶对称矩阵;而为阶对称矩阵;
(2)两个同阶(反)对称矩阵的和,仍为(反)对称矩阵;
(3)如果两个同阶(反)对称矩阵可交换,即,则它们的乘积必为对称矩阵,即思考题
1、设为第个分量为,而其余分量全为零的维列向量,为第个分量为,而其余分量全为零的维列向量,为矩阵,试计算;
2、设为阶方阵,并且对任意有,你能得出什么结论?。