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高二数学排列组合同步练习高二数学排列组合同步练习
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.4名男歌手和2名女歌手联合__一场音乐会,出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,共有出场方案的种数是()A.6A3__.3A33C.2A33D.A22A4A4142.编号为1,2,3,4,5,6的六个人分别去坐编号为1,2,3,4,5,6的六个座位,其中有且只有两个人的编号与座位编号一致的坐法有()A.15种B.90种C.135种D.150种3.从6位男学生和3位女学生中选出4名代表,代表中必须有女学生,则不同的选法有()A.168B.45C.60D.1114.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法共有()A.210种B.126种C.70种D.35种5.某校刊设有9门文化课专栏由甲乙丙三位同学每人负责3个专栏其中数学专栏由甲负责则不同的分工方法有()A.1680种B.560种C.280种D.140种6.__号码盘上有10个号码,采用八位号码制比采用七位号码制可多装机的门数是()A1087A.A10B.C10-C10107D.C8A810887C.1087.已知__A={1,2,3,4},__B={﹣1,﹣2},设映射f:A→B,若__B中的元素都是A中元素在f下的象,那么这样的映射f有()A.16个B.14个C.12个D.8个8.从图中的12个点中任取3个点作为一组,其中可构成三角形的组数是()A.208B.204C.200D.1969.由0,1,2,3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是()A.24个B.12个C.6个D.4个10.假设200件产品中有3件次品,现在从中任取5件,其中至少有2件次品的抽法有()A.C3C198种C3C197种5142332C.C200-C197种542__.C3C197C3C197种D.C20011.把10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子中,使盒子里的球的个数不小于它的编号数,则不同的放法种数是()32A.C6B.C632C.C9D.C
9212.现有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择,如果表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有不同的填写方法的种数是()A33A.43C33B.43C33C.A4A33223232D.A4
二、填空题(本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.)13.由数字
1、
2、
3、
4、5组成没有重复数字,且数字1与2不相邻的五位数有_____个.14.一电路图如图所示,从A到B共有条不同的线路可通电.58的展开式中,含x项的系数是_________.312x6x2x31x15.在16.8名世界网球顶级选手在____赛上分成两组每组各4人分别进行单循环赛每组决出前两名再由每组的第一名与另外一组的第二名进行淘汰赛获胜者角逐冠亚军败者角逐第三第四名则该__赛共有____场比赛.
三、解答题(本大题满分74分.)17.(12分)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种,现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种多少种?18.(12分)一些棋手进行单循环制的围棋比赛,即每个棋手均要与其它棋手各赛一场,现有两名棋手各比赛3场后退出了比赛,且这两名棋手之间未进行比赛,最后比赛共进行了72场,问一开始共有多少人参加比赛?19.(12分)用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色,若相邻的区域不能用相同的颜色,试问不同的染色方法的种数是多少?20.(12分)7名身高互不相等的学生,分别按下列要求排列,各有多少种不同的排法?17人站成一排,要求较高的3个学生站在一起;27人站成一排,要求最高的站在中间,并向左、右两边看,身高逐个递减;3任取6名学生,排成二排三列,使每一列的前排学生比后排学生矮.21.(12分)4位学生与2位教师并坐合影留念,针对下列各种坐法,试问各有多少种不同的坐法?1教师必须坐在中间;2教师不能坐在两端,但要坐在一起;3教师不能坐在两端,且不能相邻.B有4个元素__C满足条件:22.(14分)__A与B各有12个元素__AB;A1C2C中含有3个元素;.试问这样的__C共有多少个A3C参考答案
一、选择题1.D2.C3.D4.C5.C6.C7.A8.B9.B10.B11.D12.D2803323325解C8C6C3/C22043C448解C129解
二、填空题
72.A4A
212.42121212313解A55112C3C2A
217.C3C3C31C2C2C214解C
215.15解
2016.12C42216解C4
三、解答题C2217解设还需准备不同的素菜x种x是自然数,则C5,即200x
7.N,得x0x40xx266,解得n=
12.故一218解设这两名棋手之外有n名棋手,他们之间互相赛了72-2×3=66场,Cn开始共有14人参加比赛.19解1808;20解
(1)A4A343111633=140.A2A2144;
(3)C7C3
(2)A2C6211解法1固定法从元素着眼,把受限制的元素先固定下来.24ⅰ教师先坐中间,有A2种方法;ⅱ学生再坐其余位置,有A4种方法.∴共有4A2A·24=48种坐法.解法2排斥法从位置着眼,把受限制的元素予先排斥掉.42ⅰ学生坐中间以外的位置A4;ⅱ教师坐中间位置A2.解法3插空法从元素着眼,让不受限制的元素先排好(无条件),再让受限制元素按题意插入到允许的位置上.42ⅰ学生并坐照相有A4种坐法;ⅱ教师插入中间A2.解法4淘汰法(间接解法)先求无条件限制的排法总数,再求不满足限制条件的排法数,然后作差.即“A=全体-非A”.62A4ⅰ6人并坐合影有A6种坐法;ⅱ两位教师都不坐中间A4(先固定法)·4;ⅲ两位教师中仅一人坐中间;14A1A4再固定乙不坐中间·A4·2(甲、乙互换);2甲坐中间·62ⅳ作差A6-(A4___A44+2A2A4A4)解法5等机率法如果每一个元素被排入,被选入的机会是均等的,就可以利用等机率法来解.将教师5看作1人(捆绑法),问题变成5人并坐照相,共有A5种坐法,而每个人坐中间位置的机会是均等的,应占所有坐法的1/5,即教师1人坐中间的坐法有15225A5A2即A5种.552将教师看作1人,问题变为5人并坐照相.2解法1从位置着眼,排斥元素——教师.先从4位学生中选2人坐两端位置A4;其他人再坐32余下的3个位置A3;教师内部又有A2种坐法.∴共有32A2AA432=144种坐法.1解法2从元素着眼固定位置.先将教师定位A34241A2AAAA;再排学生.∴共有24243种坐法.3解插空法(先排学生)A4A243教师插空.C,则这样的__C共有C3A22解
(1)若CUB8=56个;B,则这样的__C共有C3A
(2)若C4个;4,则这样的__C共有C2C112aA且C
(3)若CC8=160个.C484综合
(1),
(2),
(3)得满足条件的__C一共有56+4+160=220个.高二数学排列组合同步练习解答排列组合问题,首先必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题,其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析解答同时还要注意讲究一些策略和方法技巧,使一些看似复杂的问题迎刃而解下面介绍几种常用的解题方法和策略
一、合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步__,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏【例1】五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有()A.120种B.96种C.78种D.72种分析由题意可先安排甲,并按其分类讨论1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有种排法;2)若甲在第二,三,四位上,则有种排法,由分类计数原理,排法共有种,选C解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答【例2】4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种?分析因恰有一空盒,故必有一盒子放两球1)选从四个球中选2个有种,从4个盒中选3个盒有种;2)排把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有种,故所求放法有种
二、元素分析与位置分析法对于有附加条件的排列组合问题,一般采用先考虑满足特殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置【例3】用0,2,3,4,5,五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()A.24个B30个C40个D60个[分析]由于该三位数为偶数,故末尾数字必为偶数,又因为0不能排首位,故0就是其中的“特殊”元素,应该优先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分两类1)0排末尾时,有个,2)0不排在末尾时,则有个,由分数计数原理,共有偶数=30个,选B【例4】马路上有8只路灯,为节约用电又不影响正常的照明,可把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的灯,那么满足条件的关灯方法共有多少种?分析表面上看关掉第1只灯的方法有6种,关第二只,第三只时需分类讨论,十分复杂若从反面入手考虑,每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列,于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题故关灯方法种数为
三、插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可【例5】7人站成一排照相,若要求甲、乙、丙不相邻,则有多少种不同的排法?分析先将其余四人排好有种排法,再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入,则有种方法,这样共有种不同排法对于局部“小整体”的排列问题,可先将局部元素捆绑在一起看作一个元,与其余元素一同排列,然后在进行局部排列【例6】7人站成一排照相,甲、乙、丙三人相邻,有多少种不同排法?分析把甲、乙、丙三人看作一个“元”,与其余4人共5个元作全排列,有种排法,而甲乙、丙、之间又有种排法,故共有种排法
四、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题,可以从总体中把不符合要求的除去,此时需注意不能多减,也不能少减例如在例3中,也可用此法解答五个数字组成三位数的全排列有个,排好后发现0不能排首位,而且数字3,5也不能排末位,这两种排法要除去,故有个偶数
五、顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同排列,然后用总排列数除以这几个元素的全排列数【例7】6个人排队,甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种?分析不考虑附加条件,排队方法有种,而其中甲、乙、丙的种排法中只有一种符合条件故符合条件的排法有种
六、构造模型“隔板法”对于较复杂的排列问题,可通过设计另一情景,构造一个隔板模型来解决问题【例8】方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?分析建立隔板模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,每一种分法所得4堆球的各堆球的数目,对应为a、b、c、d的一组正整解,故原方程的正整数解的组数共有又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数;三项式四项式等展开式的项数,经过转化后都可用此法解
七、分排问题“直排法”把几个元素排成前后若干排的排列问题,若没有其它的特殊要求,可采取统一排成一排的方法来处理【例9】7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种?分析7个人可以在前两排随意就坐,再无其它条件,故两排可看作一排来处理,不同的坐法共有种
八、表格法有些较复杂的问题可以通过列图表使其直观化【例10】9人组成篮球队,其中7人善打前锋,3人善打后卫,现从中选5人(两卫三锋,且锋分左、中、右,卫分左右)组队出场,有多少种不同的组队方法?分析由题设知,其中有1人既可打锋,又可打卫,则只会锋的有6人,只会卫的有2人列表如下人数6人只会锋2人只会卫1人即锋又卫结果不同选法32311(卫)221(锋)由表知,共有种方法除了上述方法外,有时还可以通过设未知数,借助方程来解答,简单一些的问题可采用列举法等解此类问题常用的数学思想是分类讨论的思想,转化思想和对称思想等三种排列组合是高中数学的重点和难点之一,也是进一步学习概率的基础事实上,许多概率问题也可归结为排列组合问题这一类问题不仅内容抽象,解法灵活,而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误,这些错误甚至不容易检查出来,所以解题时要注意不断积累经验,总结解题规律,掌握若干技巧,最终达到能够灵活运用。