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文本内容:
中考28汇编1.如图,在四边ABCD中,BC=DC,∠BAD+∠BCD=180°,AC⊥BC,O是AB的中点
(1)如图1,求证∠OCD=∠OBC
(2)如图2,E是AC上一点,连接OE并延长交AD于点F,连接BD,分别交AC、OC于点M、N,若∠FOC=3∠___,,试探究线段OE和EF之间的数量关系,并证明你的结论2.△ABC,∠ACB=90°,点D在BC上,点E在AD上,∠__B=90°,∠__D=∠CBA,__的延长线交AB于点F,连接DF
(1)如图1,求证∠EFD=∠DBE;
(2)如图2,若,DF与BE交于点G,猜想GF与DB之间的数量关系并证明3.已知,如图1,等腰直角△ABC中,AC=BC,等腰直角△CDE中,CD=DE,AD∥BC,__与AB相交于点F,AB与CD相交于点O,连接BE
(1)求证F为__中点;
(2)如图2,过点D作DG⊥BE于G,连接AE交DG于点H,连接HF,请探究线段HF与BC之间的数量及位置关系,并证明你的结论4如图在四边形ABCD中,连结BD、AC相交于F,AB=BC,AD=DE=DC,∠ABC+∠EDC=180°,且
(1)如图1,求证∠ADE=2∠DCA;
(2)如图2,过点B作BH⊥CD于点H,交AC于点G,连结EC交BD于点P,交BH于点Q,若,试探究线段PE与PQ之间的数量关系,并证明你的结论5.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,,作CH⊥AB于点H,D、K分别为边AB、AC上的点,连接CD、DK,在射线DK上取一点E,使∠D__=∠B,且
(1)如图,求证∠__D=90°;
(2)连接AE并延长交直线BC于点G,探究线段BC、BG、DH之间的数量关系,并证明你的结论6.如图,等腰△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,连接AD,点E在直线AC上,直线DE交直线BA于点F,且∠BDA=∠CDE
(1)求证;
(2)当∠BAC=120°时,作射线CF,在射线CF上确定一点G,使∠B__=∠ABC,直线BG交直线AC于H,请你猜想AB、__、AH这三条线段之间的数量关系,并且证明你的猜想7.已知,△ABC中,,点D为AB中点,点E、F分别是射线AC、CB上的点,连接DE、EF、DF,∠EDF=90°,∠A=∠EFD
(1)求证∠ACB=90°;
(2)若点D关于EF的对称点为N,连接CN,过点F作FH⊥CN交直线CN于点H,试探究__、CN、FH三者之间的关系,并证明你的结论8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点M,AC平分∠BAD,∠ABD的角平分线交AC于点E,∠___=∠CAD,点A关于直线BE的对称点F在BD上,连接AF
(1)如图
①,求证∠B__=2∠CAF;
(2)如图
②,过C作BD的垂线分别交BD、BE于点P、G,过E作AB的垂线交AB于点H,若∠B__=4∠G__,BE=3AE,,试探究线段BD、CG、DF之间的数量关系,并证明你的结论9.在△ABC与△ADE中,点E在BC边上,,AG为△ADE的中线,且∠EAG=∠ACB,∠DAG=∠B
(1)如图1,求证;
(2)如图2,点F是AC中点,连接DF,∠AFD=∠DAE,连接CD并延长交AB于点K,过点D作DQ∥BC交BK于点Q,
①求证点Q为BK的中点;
②试探究线段BE与DQ的数量关系,并证明你的结论10.如图,△ABC中,∠CAB=45°,点D在△ABC内部,∠ADC=135°,点E在△ABC外部,EA=EB,DE平分∠ADB
(1)如图1,求证∠DBA=∠ACD;
(2)如图2,若CB⊥AB,猜想线段CD与AC之间的数量关系并证明11.△ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,连接AD,E为△ABC外一点,连接DE、AE和BE,AD=DE,BE∥AC
(1)如图1,求证∠BED=∠DAB;
(2)如图2,当D为BC中点时,作DF⊥AC于F,连接BF交DE于点H,作AK⊥BF分别交BF、DF于点G、K,AF=4DK,试探究线段DH和AE之间的数量关系,并证明你的结论12.△ABC,点D在AB上,AD=AC,连接CD,点E、F分别在线段BC、射线CA上,∠EDF=∠ACB,点G在DF上,
(1)如图,求证∠DGE=∠BAC;
(2)若AD=__D,,射线CG交AB于点H,探究线段DH,FA,FC之间的数量关系,并证明你的结论13.如图,在△ABC中,,点D在AB边上,∠ADC=∠ACB,
(1)求证∠A=30°;
(2)点E在线段AB上,连接__,把射线EC绕点E顺时针针旋转30°,所得射线与过点C且垂直EC的直线相交于点F,取EF的中点G,连接BG并延长,交射线AC于点H,请探究线段CH、CD、BE之间的数量关系,并证明你的结论14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,tan∠ABC=2,BD为AC边上的中线,点F在线段BD上,且DF=2BF,连接CF并延长,交AB边于点E
(1)求证∠__A=90°;
(2)点P在线段CA上,过点P作PH∥__,交线段AB于点G,交射线BD于点H,请探究线段PC、PD、GH之间的数量关系,并证明你的结论15.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC边于点D,__平分∠ACB,交AB边于点E,BD与__交于点F,且
(1)求证∠A=60°;
(2)点G在射线AF上,点H在线段AC上,GH⊥AC,若FC=3DF,请探究线段AG、DH、EF之间的数量关系,并证明你的结论16.如图,在△ABC是中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在射线AC上,点E在线段BD上,点F是线段AB的中点,连接EF,且
(1)求证∠BEF=45°;
(2)过点A作AH⊥BD,垂足为点H,连接HC,延长FE,交HC于点G,请探究线段GE、EF、BH之间的数量关系,并证明你的结论17.已知正方形ABCD中,点E在射线BC上,作射线DE,其中0°∠CDE45°,过点B作DE的垂线分别交射线DC、射线DE于点F、H,作射线AE交射线DC于点G
(1)如图,求证;
(2)作射线AC交射线BF于点Q,点P是线段AG上不与点A、G重合的一点,连接CP、PQ、GH,若∠CPQ=∠GHQ+∠__D,探究线段PQ、PC、PG之间的数量关系,并证明你的结论
18.如图,在△ABC中,∠ABC=120°,AB=CB,BH⊥AC于H,D是射线BH上一点,连接AD,以点A为旋转中心,将射线AD顺时针旋转,交射线BH于E,在射线AE上取一点F,连接FC,点D在AF的垂直平分线上
(1)如图1,求证∠BCF=90°;
(2)连接BF,取BF的中点G,连接DG,探究线段FC、DG、BH三条线段间的数量关系,并证明你的结论
19.已知△ABC为等边三角形,点D为AB边的中点,点E在过B点且平行于AC的直线上,点F在射线DA上,连接EF、CF、__,EF=CF
(1)如图,求证△__F为等边三角形;
(2)将线段__沿着线段CF翻折,交过D点且平行于BC的直线于点G,请探究线段BE、DG、AB之间的数量关系,并证明你的结论
20.如图,在正方形ABCD中,点E在AD边上,点F在BC边的__,且∠BCF=45°,,连接AF,交线段BE于点G,交BC边于点H
(1)求证∠AGE=45°;
(2)过点G作GM⊥AN,交直线CD于点M,请探究线段BN、DM和AB之间的数量关系,并证明你的结论
1.证明
(1)过点C作CT⊥AB于点T,CR⊥AD,交AD延长线于点R,∴∠CRD=∠CTB=90°设∠BAC=a,∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°∠B=90°—a又∵O是AB的中点,∴OC=OB=OA,∴∠OCA=a,∠OCB=90°—a∵∠BAD+∠BCD=180°,∴∠B+∠ADC=180°,∵∠ADC+∠CDR=180°,∴∠CDR=∠B=90°—a∵CD=CB,∴△CRD≌△CTB,∴CR=CT,∴∠CAR=∠CAB=a∴∠CAR=∠ACO=a∴AD∥OC,∴∠OCD+∠ADC=180°,∵∠OBC+∠ADC=180°,∴∠OCD=∠OBC
(2)线段OE与EF之间的数量关系是连接OD交AC于点H,过点D作DL∥AB交AC延长线于点L∴∠L=∠LAB=∠DAL,∠LDB=∠DBA,∴DL=DA,△MDL∽△MBA,∴∵∠BAD=2a,∴∠BCD=180°∵CD=CB,∴∠CDB=∠___=a∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=∠OCD∴OC⊥BD,BN=DN,∴OD=OB=OC=OA∴∠ODA=∠OAD=2a,由
(1)AD∥OC,∴∠DOC=∠ODA=2a,∠BOC=∠OAD=2a,∵∠FOC=3∠___=3a,∠FOD=a,∴∠FOD=∠HCO=a∴△OFD≌△CHO,∴FD=OH设BN=7k,∵,∴DM=6kMN=k,∴BM=8k∴,∴∵∠DAC=∠OCA,∠AHD=∠CHO,∴△HAD∽△HCO∴设AD=3m,则OA=OC=OD=2m,∴,∴,∴∵∠OCA=∠DAC,∠FEA=∠OEC,∴△AEF∽△__O∴
2.证明
(1)∵∠__D=∠CBA∠ECD=∠BCF∴△ECD∽△BCF∴∵∠FCD=∠B__∴△ECB∽△DCF∴∠EFD=∠DBE;
(2)延长BE交AC于点H∵∠__B=90°,∠HCB=90°,∴∠H__+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°∴∠H__=∠HBC∵∠CHE=∠BHC∴△H__∽△HBC∴∴∵∠EFD=∠DBE=∠ECH∴FD∥AC∴∠HAE=∠FDE∵∠FDE+∠EFD=∠__D∠FBG+∠EBD=∠CBA∴∠FDE=∠EBF∴∠HAE=∠EBF∵∠EHA=∠AHB∴△HAE∽△HBA∴∴∴HC=AH∵DF∥HC∴△DGB∽△CHB∴同理∴∴DG=FG由△DGB∽△CHB得∴∴∴∠ACB=90°设AC=2k则AB=3k∴∴∴∴
3.证明
(1)连接DF∵AD∥BC∴∠DAO=∠ABC=45°又∵∠DCF=45°,∴∠DAO=∠DCF又∵∠AOD=∠COB∴△AOD∽△COF∴∴又∵∠AOC=∠DOF∴△AOC∽△DOF∴∠CAO=∠CDF=45°∴∠CFD=90°,又∵CD=DE∴CF=EF
(2)过C作__的垂线交ED的延长线于K,连接KA可证△EBC≌△KAC∴__=CK∠CKA=∠__B∴∠CKD=45°,即∠__B+∠AKD=45°又∵DG⊥BE∴∠DGE=90°∴∠DEG+∠DGE=90°又∵∠DEC=45°∴∠EDG+∠BEC=45°∴∠AKD=∠GDE∴DH∥AK∴∴EH=EA∴HF∥AC,又∵BC=AC∴延长HF交BC于点N,∵HN∥AC,AC⊥BC∴∠ACB=∠HNB=90°∴HF⊥BC
4.证明
(1)过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N∴∠DME=∠DNC=90°∵∠ABC+∠EDC=180°∴∠BED+∠BCD=360°—180°=180°∵∠BED+∠AED=180°∴∠AED=∠BCD∵AD=DE=DC∴∠ADM=∠EDM∴∠ADE=2∠MDE∴△DME≌△DNC(AAS)∴DM=DN∠MDE=∠NDC∴BD平分∠ABC∵∴∵∠EAD=∠BAD∴△AED∽△ADB∴∠AED=∠ADB=∠EAD∴AB=BD=BC∴AC⊥BD∠BDC=∠BCD∴∠ACD=∠NDC=∠MDE∴∠ADE=2∠DCA
(2)由
(1)得∠ABD=∠___∵DE=DC∴∠DEC=∠D__∵∠ABD+∠___+∠EDC=180°∠DEC+∠D__+∠EDC=180°∴∠ABD=∠___=∠DEC=∠D__∵BD=BCBH⊥CD∴∠DBC=2∠DBH∵AC⊥BD∴∠DBH+∠BDC=90°∠DCF+∠BDC=90°∴∠DBH=∠DCF∵∠ADE=2∠DCF∴∠D__=2∠DCF∴∠DCF=∠FCP∴∠FPC=∠FDC∴PC=DC∴PF=DF=AM=EM∵在Rt△GHC中,∴设GH=k则CH=DH=3k∴CD=DE=CP=6k在Rt△CHG中∵∠DFC=∠GHC=90°∠__H=∠__H∴△GHC∽△DFC∴∴∴∴∵∠EDB=∠EDP∴△EPD∽△BED∴∴∴∴∴△QHC∽△CFB∴∴∴∴∵∠EPD=∠BPC∴△EPD∽△BPC∴∴∴∴
5.证明
(1)如图1,∵CH⊥AB∴∠BHC=90°又∵∠ACB=90°∴∠B=∠ACH∵∠D__=∠B∴∠D__=∠ACH∴∠DCH=∠K__又∵∴即∴△__K∽△CHD∴∠KEC=∠DHC=90°∴∠__D=90°
(2)
①如图2当点D在线段BH上时,过点D作DC的垂线交__的延长线于点M,连接AM由
(1)可知∠DCM=∠ACH∴cos∠DCM=cos∠ACH∴又∵∠DCH=∠MCA∴△CDH∽△C__∴∠__C=∠DHC=90°∴∠__C+∠BCA=90°+90°=180°∴__∥BC∴∠AME=∠G__又∵∠AEM=∠__G∴△AME∽△G__∴又∵∴∴∴∴∴
②如图3当点D在线段AH上时同理可得
6.证明
(1)方法1如图1,过A作DF的平行线交BC于K,∵AK∥DF,∴∵AK∥DE,∴∵∠BDA=∠CDE,∴∠AKC=∠ADB,∵AB=AC,∴∠B=∠C∴△ABD≌△ACK,∴BD=CK,BK=CD,∴,∴,∴∵AB=AC,∴方法2如图2,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠ADB=∠FDC,∴∠BDF=∠CDA,∴△BDF∽△CDA∴,∵∠B=∠C,∠ADB=∠FDC,∴△ABD∽△ECD,∴,∴,∴
(2)∵∠B__=∠BCH,∠GBC=∠CBH,∴△GBC∽△CBH,∠BHC=∠BCG,∵∠FBC=∠HCB,∴△BHC∽△FCB,∴,∴,过点A作BC的垂线,垂足是K,∵∠BAC=120°,则,,∵∠AKB=90°,∴∴,由
(1)得,∴∴CH=3__
①如图3,当H在AC上时,AB、__、AH这三条线段之间的数量关系3__+AH=AB
②如图4,当H在CA延长线上时,AB、__、AH这三条线段之间的数量关系
7.证明
(1)过点D作DH⊥AB交AC于点H,∵,∴在Rt△AHD中∵∠A=∠EFD,∴在Rt△EFD中,∴∵AD=BD,∴∵∠EDF=∠ADH=90°,∴∠EDH=∠FDB,∴△EHD∽△DFB,∴∠H=∠B∵∠CMH=∠DMF∴∠ACB=∠HDB=90°
(2)当点E在AC上时,过点N作NQ⊥BC于点Q,NP⊥AC于点P,∴∠NPE=∠NQF=90°,∵∠PNQ=∠ENF=90°,∴∠PNE=∠QNF,∴△PNE∽△QNF,,∵矩形PNQC,∴PN=CQ∴tan∠NCQ=tan∠B∴∠NCQ=∠B∴CH∥AB,过点E作EM⊥CN于点M,∴∠M__=∠A,∴,∴∠EMH=∠H=∠ENF=90°,∴△MNE∽△HFN∴∴第二情况当点E在AC延长线上时,同理可证
8.证明
(1)过点C作CN⊥BE于N,延长BE交AF于W,∵AC平分∠BAD,BE平分∠ABD,∴∠BAC=∠CAD,∠ABE=∠EBD,∵∠BEC=∠ABE+∠BAE,∠CBE=∠EBD+∠DBC,∠DBC=∠CAD,∴BC=__,∵CN⊥BE,∴∠2=∠1,∵A、F关于BE对称,∴BE⊥AF于W,∴NC∥AF,∴,∴∠B__=2∠CAF
(2)解过G作GQ∥AB交AE于Q,∵∠DAM=∠MBC,∴∠3=∠4,∴△AMD∽△BMC,∴,∴,∴△AMB∽△DMC,∴∠BAM=∠BDC=∠___,∴BC=CD,∵BP⊥BD,BP=PD,∵∠5=∠6,∠7=∠8,∴△BHE∽△BPG,∴,∵GQ∥AB,∴∠EQG=∠EAB,∴,∴,∵A、F关于BE对称,∴BE是AF的垂直平分线,∴BA=BF,∴∠BAF=∠BFA,设CN与BP相交于点K,∵∠BNC=∠BPC=90°,∠BKN=∠CKP,∴∠5=∠6=∠KCP,∵∠B__=4∠G__,BC=__,∴∠__Q=∠KCP=∠ABE,∴△__Q∽△EBA,∴,∴,∴,∴,∴,∴BD-DF=BF=AB,∴
9.
(1)证明如图1,延长AG至M,使得MG=AG∵DG=EG,∠AGD=∠EGM∴△ADG≌△MEG.∴∠DAG=∠M,AD=EM∵∠DAG=∠B∴∠M=∠B∵∠EAG=∠C,∴△AME∽△CBA∴∴AB=AC2∵∠EAG=∠ACB,∠DAG=∠B∴∠EAD+∠BAC=180°又∵∠EAD=∠AFD∴∠AFD+∠BAC=180°∴DF∥AB∴△CDF∽△CKA∴CD:CK=CF:AC=1:2∴DK=CDDQ∥BC,∴△KDQ∽△KCB∵CD=DK∴QK=BQBC=2QD∴点Q为BK的中点BE与DQ的数量关系为延长BA至R,使AR=AB,连接CR、DR∴∵∠EAD+∠BAC=180°∠CAR+∠BAC=180°∴∠EAD=∠CAR∴∠EAD+∠CAD=∠CAD+∠CAR,即∠EAC=∠DAR∴△DAR∽△EAC∴∠DRA=∠ACB即DR=__∵DQ∥BC∴∠AQD=∠B∴△ABC∽△DQR即DR=DQ∴__=DQ,∴__=
10.证明
(1)过点E分别作EF⊥AD,EG⊥BD,点F、G为垂足,∵∠ADE=∠EDB,∴EF=EG∵AE=EB,∠AFE=∠BGE=90°,∴Rt△AFE≌Rt△BGE,∴∠FAE=∠GBE∵AE=EB,∴∠EAB=∠EBA,∴∠DAB=∠DBA∵∠CAB=45°,∠ADC=135°,∴∠DCA+∠CAD=∠CAD+∠DAB=45°,∴∠ACD=∠DAB,∴∠DBA=∠ACD
(2)设ED交AB于点M,∵∠DAB=∠DBAAD=DB∵DE平分∠ADB∴∠D__=90°AM=MB延长ED交AC于点N,∵∠ABC=∠D__=90°,∴MN∥BC∴,∵AM=MB,∴AN=NC,∵∠CAB=∠BCA=45°,∴∠AND=∠ACB=45°∴∠___=135°,∴∠___=∠CDA,∵∠NCD=∠DCA,∴△NDC∽△DAC,∴∴∴
11.1证明过点D作DM⊥AB于M过点D作DN⊥EB于N∵AB=AC,∴∠1=∠C∵AC∥BE,∴∠2=∠C……1分∴∠2=∠1……1分∴DM=DN在Rt△ADM和Rt△EDN中AD=DEDM=DN∴△ADM≌△EDN……1分∴∠BED=∠DAB……1分2DH=AE……1分∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC∵∠AGB=∠ADB=90°∠3=4∴∠KAD=∠FBC∵∠ACB+∠FDC=90°∠ADF+∠FDC=90°∴∠ACB=∠ADF∴△ADK∽△BCF∴……1分∵tan∠ACB=∴DK=DF∴K为DF中点……1分延长ED交AC延长线于P,作DQ∥FC交BF于Q设DK=a∴AF=4aDF=2aAD=∵∠FDC=∠DAF∴∴FC=a∵DQ∥FC∴DQ=CF=a∵BD=DC∠BED=∠P∠EDB=∠CDP∴△EBD≌△PCD∴DE=AD=DP∵DF⊥AC∴AF=FP=4aAD=DP=AE=2DF=4aCP=3a……1分∵DQ∥FC∴∴DH=a∴DH=AE……1分
12.证明
(1)∵,∴∵AD=AC∴又∵∠EDG=∠ACB,∴△EDG∽△BCA,∴∠DGE=∠BAC
(2)如图2,当点F在AC上时,过点B作AC的垂线,点P为垂足,设AB=8k,则由得AP=7k,∵AD=3DB,∴AC=AD=6k,PC=k,在Rt△ABP内AB=8k,AP=7k,∴,在Rt△BCP内,PC=k,,∴BC=4k,∵BD=2k,∴,又∵∠___=∠ABC,∴△___∽△ABC,∴∠DCB=∠A,,∴设EG交CD于点O,由∠DCB=∠A=∠DGE∠GOD=∠EOC,∴△GOD∽△COE,∴∴,又∵∠COG=∠EOD,∴△CGO∽△EDO,∴∠__D=∠GED,由
(1)△EDG∽△BCA得∠GED=∠ABC,∴∠__D=∠ABC,∵∠CHD=∠BHC,∴△CHD∽△BHC,∴,设HD=3t,则CH=4t,,∴,∴,∵∴如图3,当点F在CA延长线上时,
13.
(1)证明∵BC2=BD•BA∴∵∠___=∠ABC∴△___∽△ABC∴∠BDC=∠ACB∵∠ADC=∠ACB∴∠ADC=∠BDC∵∠ADC+∠BDC=180°∴∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB∴tan∠A=∴∠A=30°
(2)当点E在线段BD上时连接BF、CG∵∠ECF=∠ACB=90°∴∠BCF=∠A__∵∠__F=∠A=30°∴△BCF∽△A__∴∠BFC=∠AEC∴∠BFC+∠BEC=∠AEC+∠BEC=180°∴∠EBF+∠ECF=180°∴∠EBF=90°=∠ECF∵G为EF中点∴CG=BG=EF=EG∴∠G__=∠GEC=30°,∠__B=∠GBC∵∠__B+∠__H=∠GBC+∠H∴∠__H=∠H∴CG=FH=BG∴BH=EF∵∠A+∠ABC=∠ABC+∠BCD=90°∴∠BCD=∠A=∠__F=30°∴∴∵∠CBG=∠D__∴△CBH∽△D__∴∵CD=BD∴CD=(BE+DE)=(BE+CH)=BE+CH即CD=BE+CH当点E在AD上时,同理可证,CD=BE-CH
14.解
(1)过B作BM∥AC交__延长线于点K∴∠K=∠FCD,∠FBK=∠FDC,∴△FBK∽△FDC∴∵tan∠ABC=∴AC=2BC∵BD为AC边上的中线∴AD=CD=BC∴∴tan∠K=2=tan∠ABC,∴∠K=∠ABC∵∠K+∠BCM=90°,∴∠ABC+∠BCK=90°,∴∠BEC=90°∴∠__A=90°
(2)过点D作DN⊥AB于点N,∵tan∠A=,∴设DN=a,则AN=2a,∴AD=,∴BC=CD=∴AB=5a,∴BN=3a,∴tan∠DBN=∵PH∥__,∴∠PGA=∠__A=90°∴,∴BH=GH延长GP,交BC的延长线于点R,过H作HM⊥BC于点M,设GH=m,则BH=,∵BC=CD,∴∠___=45°,∴BM=MH=∵∠R+∠ABC=90°,∠ABC+∠A=90°,∴∠R=∠A,∴tan∠R=tan∠A=∴CR=2CP,RM=2HM=2,∴BR=3=3HG当点P在线段CD上时,∴BR=BC+CR=CD+CR=2CP+CP+PD=3CP+PD∴3CP+PD=3HG当点P在线段AD上时,同理可求,3CP-PD=3H
15.解:
(1)∵BD平分∠ABC,__平分∠ACB∴∠CBF=∠ABC,∠BCF=∠ACB∴∠BFC=180°-∠CBF+∠BCF=180°-180°-∠A=90°+∠A∵CF·__=CD·CA,∴∵∠FCD=∠A__,∴△FCD∽△A__∴∠CFD=∠A∵∠CFD+∠BFC=180°,∴∠A+90°+∠A=180°∴∠A=60°
(2)过点F作FL⊥AB,FM⊥CB,FN⊥AC,垂足分别为L、M、N,∵BD平分∠ABC,__平分∠ACB∴FL=FM,FN=FM,∴FL=FN∴∠FAN=∠BAC=30°,∴AH=∵∠BAC=60°,∴∠EFD=∠BFC=90°+∠BAC=120°∴∠EFD+∠BAC=180°,∴∠AEF+∠ADF=180°∵∠AEF+∠FEL=180°,∴∠FEL=∠ADF∵∠FLE=∠FND=90°,FL=FD∴△FLE≌△FND,∴EF=FD∵FC=3DF,∴FC=3DF=3EF,过PD作DP⊥__于点P,设EF=FD=2a,则FC=6a,∵∠CFD=∠A=60°,∴FP=a,∴CP=5a,DP=,∴CD=∵CF·__=CD·CA,∴CA=,∴AD=∴AD=EF当点G在线段AF上时,AH+DH=EF∴+DH=EF当点G在AF延长线上时,同理,-DH=EF
16.解:
(1)∵∠ACB=90°,AC=BC∴∠A=45°∵点F是AB的中点,∴AB=2BF∵2BF2=BE·BD,∴AB·BF=BE·BD∴∵∠EBF=∠ABD,∴△EBF∽△ABD∴∠BEF=∠A=45°
(2)连接FH、FC,作CM⊥CH,交BH于点M,∵AH⊥BD,∴∠AHB=∠ACB=90°∵∠HDA=∠CDB,∴∠HAC=∠MBC∵F是AB中点,∴HF=CF=AB,∵∠HCM=∠ACB=90°,∴∠HCA=∠BCM,又∵AC=BC,∴△HAC≌△MBC,∴CH=CM∴∠CHM=∠FEB=∠HEG=45°,∴FG⊥CH,∴EG=HG=__=CH=HM,∴HM=EG连接__,则__=HE,∴∠H__=45°,∴∠ECM=∠FCB=45°,∴∠ECF=∠MCB∵∠__F=90°+45°=135°,∠CMB=180°-∠CMH=135°∴∠__F=∠CMB,∴△__F∽△CMB∴,∴BM=EF当点D在线段AC上时,BH=HM+BM,∴BH=EF+EG当点D在AC延长线上时同理可求,BH=EF-EG方法二提示作FN⊥BH,EF=FN=AH=BM∴BM=EF∴BH=EF+EG
17.证明
(1)如图1,正方形ABCD中,AB=BC=DC,∠BCD=90°,∵BH⊥DE∴∠BHE=90°,∴∠CBF+∠DEB=90°,又∵∠CDE+∠DEB=90°,∴∠CBF=∠CDE,∴△CBF≌△CDE∴CF=__,∵CD∥AB,∴,∴
(2)
①当点F在线段DC上时(如图2)连接DQ,连接QG并延长交DE于点N,由△CQF∽△AQB得,∵,∴,∴,即又∵∠QAG=∠CAE,∴△AQG∽△A__,∴∠AQG=∠A__图2∴QG∥__△CQG为等腰直角三角形∵BC=CD∠BCQ=∠DCQCQ=CQ∴△CBQ≌△CDQ∴∠CBQ=∠CDQ∵∠CBQ=∠CDE∴∠CDQ=∠CDE又∵DG=DG∠DGQ=∠DGN=90°,∴△DQG≌△DNG∴QG=GN又∵∠QHN=90°,∴GH=QG∴∠QHG=∠HQG=∠HBC∴∠CPQ=∠GHQ+∠__D=∠HBC+∠__D=90°过点G作GM⊥GP交CP于点M,设PC与QG的交点为O,∵∠PQG+∠POQ=∠MCG+∠COG=90°∠POQ=∠COG,∴∠PQG=∠MCG同理∠PGQ=∠M__又∵QG=CG∴△GPQ≌△GMC∴PQ=CM又∵∴
②当点F在线段DC延长线上时(如图3)
18.证明
(1)连接DF、DC∵AB=CB,BH⊥AC,点D在AF的垂直平分线上,∴AD=FD=DC∠DFC=∠D__,∠DAC=∠DCA,∠BAC=∠BCA=30°,又∵BH⊥AC,∴∠ABH=∠CBH=60°∴,∴∠DFA=30°,∵四边形ABCF的内角和为360°,∠DFA+∠DAF+∠BAC+∠BCA+∠ABC=240°,∴2(∠DCF+∠DCA)=120°,∴∠DCF+∠DCA=60°,∴∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°
(2)
①如图,延长CF、BE交于点I,过G作GJ∥FC交BE于J,延长DG交FC于L,连接__,由
(1)得AD=FD=DC,∠BCF=90°,∴FG=BG=__,∴DG垂直平分CF,∴∠DLF=∠BCF=90°,∴DG∥BC,∴∠JDG=∠EBC=60°,∵∠I=∠GJD=30°,∴∠JGD=90°,IC=2HC,∴,∵JG∥IF,∴△BGJ∽△BFI,,∴,∵∴,∵IC=IF+CF∴,即
②如图,同理可证
19.
(1)过F作FM⊥BE于M,FN⊥BC于N,则∠FMB=∠FNC=90°,∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=CA,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60º,∵BE∥AC,∴∠FBM=∠BAC=60º,∴∠FBM=∠FBN∴FM=FN∵EF=CF,∴△FME≌△FNC∴∠MFE=∠NFC∵∠MBN=∠FBN+∠FBM=120°,∴∠MFN=∠EFC=60°∴△__F为等边三角形
(2)∵△__F为等边三角形,∴__=CF,∠ECD=∠BCA=60º,∴∠ECB=∠FCA,∴△ECB≌△FCA,∴BE=AF,∠B__=∠ACF连接CD,则CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=30º,∴∠B__+∠FCD=30º过C作CH⊥DG于H,则∠BCH=∠CHG=90º,∵∠ECF=60º,∴∠ECG=2∠ECF=120º,∴∠B__+∠__H=30º,∴∠__H=∠FCD∴△__H∽△FCD,∴GH∶DF=DC∶CH,∵DG∥BC,∴∠HDC=∠BCD=30º,∴DC=2CH,DH=DC,∴GH=DF,∵DC=BC=AB,∴DH=AB当当点F在线段DA上时,BE+2GH=AF+DF=AD=AB∴BE+2DG-DH=BE+2DG-2DH=BE+2DG-AB=AB,∴2DG+BE=2AB当点F在线段DA延长线上时,同理可得2DG-BE=2AB
20.解
(1)连接AC,∵四边形ABCD是正方形∴AC=AB,∠ACF=45°,∠BAE=90°∵∠BCF=45°,∴∠ACF=90°=∠BAE∵CF=AE,∴∴△ABE∽△CAF∴∠CAF=∠ABE∴∠CAF+∠BAG=∠ABE+∠BAG=45°∴∠AGE=45°
(2)当点M在CD上时,延长MG,交AB边于点P,作PQ⊥CD于点Q,∵∠AGE=45°,,∴∠AGE=∠EGM=∠PGB=∠NGB=45°∵∠PGA=∠ABN=90°,∠PAG=∠BAN∴△APG∽△ANB,∴∴△APN∽△AGB,∴∠ABG=∠ANP∴∠BPN=∠PNB=∠NGB=45°,∴BP=BN∵PQ=BC=AB,∠ABN=∠PQM=90°,∠BAN=∠MPQ,∴△ABN≌△PQM,∴MQ=BN=BP=CQ,∴MC=2BN,∵AB=CD=CM+DM,∴AB=2BN+DM当点M在CD延长线上时,同理可得AB=2BN-DM(图2)。