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初一数学知识点归纳代数初步知识
1.代数式用运算符号“+-×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意用字母表示数有一定的限制,首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式.
2.列代数式的几个注意事项
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“·”乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“·”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×应写成a;
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式__,如3÷a写成的形式;
(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,则应分类,写做a-b和b-a.
3.几个重要的代数式(m、n表示整数)
(1)a与b的平方差是a2-b2;a与b差的平方是(a-b)2;
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是10a+b则三位整数是100a+10b+c;
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是5m+n;偶数是2n,奇数是2n+1;三个连续整数是n-
1、n、n+1;
(4)若b>0,则正数是:a2+b,负数是-a2-b,非负数是a2,非正数是-a
2.有理数
1.有理数1凡能写成形式的数,都是有理数.正整数、
0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意0即不是正数,也不是负数;-a不一定是负数,+a也不一定是正数;不是有理数;2有理数的分类:
①②3注意有理数中,
1、
0、-1是三个特殊的数,它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域,这四个区域的数也有自己的特性;4自然数0和正整数;a>0a是正数;a<0a是负数;a≥0a是正数或0a是非负数;a≤0a是负数或0a是非正数.2.数轴数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数1只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;2注意a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;3相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.
4.绝对值1正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;2绝对值可表示为或;绝对值的问题经常分类讨论;3;;4|a|是重要的非负数,即|a|≥0;注意|a|·|b|=|a·b|.
5.有理数比大小
(1)正数的绝对值越大,这个数越大;
(2)正数永远比0大,负数永远比0小;
(3)正数大于一切负数;
(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;
(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;
(6)大数-小数>0,小数-大数<
0.
6.互为倒数乘积为1的两个数互为倒数;注意0没有倒数;若a≠0,那么的倒数是;倒数是本身的数是±1;若ab=1a、b互为倒数;若ab=-1a、b互为负倒数.
7.有理数加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加,仍得这个数.8.有理数加法的运算律
(1)加法的交换律a+b=b+a;
(2)加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c).9.有理数减法法则减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).10有理数乘法法则
(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律
(1)乘法的交换律ab=ba;
(2)乘法的结合律(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律a(b+c)=ab+ac.12.有理数除法法则除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意零不能做除数,.13.有理数乘方的法则
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意当n为正奇数时:-an=-an或a-bn=-b-an当n为正偶数时:-an=an或a-bn=b-an.14.乘方的定义
(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;
(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;
(3)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0a=0b=0;
(4)据规律底数的小数点__一位,平方数的小数点__二位.15.科学记数法把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.
16.近似数的精确位一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
17.有效数字从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
18.混合运算法则先乘方,后乘除,最后加减;注意怎样算简单,怎样算准确,是数学计算的最重要的原则.
19.特殊值法是用符合题目要求的数代入,并验证题设成立而进行猜想的一种方法但不能用于证明.整式的加减1.单项式在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2.单项式的系数与次数单项式中不为零的数字因数,叫单项式的数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指数的和,叫单项式的次数.3.多项式几个单项式的和叫多项式.4.多项式的项数与次数多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数;注意(若a、b、c、p、q是常数)ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.5.整式凡不含有除法运算,或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.整式分类为.6.同类项所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7.合并同类项法则系数相加,字母与字母的指数不变.8.去(添)括号法则去(添)括号时,若括号前边是“+”号,括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号,括号里的各项都要变号.9.整式的加减整式的加减,实际上是在去括号的基础上,把多项式的同类项合并.
10.多项式的升幂和降幂排列把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来,叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.一元一次方程1.等式与等量用“=”号连接而成的式子叫等式.注意“等量就能代入”!2.等式的性质等式性质1等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式;等式性质2等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,所得结果仍是等式.3.方程含未知数的等式,叫方程.4.方程的解使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意“方程的解就能代入”!5.移项改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质
1.6.一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).8.一元一次方程的最简形式ax=b(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0).9.一元一次方程解法的一般步骤整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为1……(检验方程的解).10.列一元一次方程解应用题
(1)读题分析法:…………多用于“和,差,倍,分问题”仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程解应用题的常用公式
(1)行程问题距离=速度·时间;
(2)工程问题工作量=工效·工时;
(3)比率问题部分=全体·比率;
(4)顺逆流问题顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品__问题售价=定价·折·,利润=售价-成本,;
(6)周长、__、体积问题C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2a+b,S长方形=ab,C正方形=4a,S正方形=a2,S环形=πR2-r2V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=πR2h.二元一次方程组1.二元一次方程含有两个未知数,并且含未知数项的次数是1,这样的方程是二元一次方程.注意一般说二元一次方程有无数个解.2.二元一次方程组两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程,左右两边都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解.注意一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解).4.二元一次方程组的解法
(1)代入消元法;
(2)加减消元法;
(3)注意判断如何解简单是关键.※5.一次方程组的应用
(1)对于一个应用题设出的未知数越多,列方程组可能容易一些,但解方程组可能比较麻烦,反之则“难列易解”;
(2)对于方程组,若方程个数与未知数个数相等时,一般可求出未知数的值;
(3)对于方程组,若方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值,但总可以求出任何两个未知数的关系.一元一次不等式(组)1.不等式用不等号“>”“<”“≤”“≥”“≠”,把两个代数式连接起来的式子叫不等式.2.不等式的基本性质不等式的基本性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;不等式的基本性质2不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的基本性质3不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变.3.不等式的解集能使不等式成立的未知数的值,叫做这个不等式的解;不等式所有解的__,叫做这个不等式的解集.4.一元一次不等式只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于零的不等式,叫做一元一次不等式;它的标准形式是ax+b>0或ax+b<0,a≠
0.5.一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似,但一定要注意不等式性质3的应用;注意在数轴上表示不等式的解集时,要注意空圈和实点.6.一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组;注意ab>0或;ab<0或;ab=0a=0或b=0;a=m.7.一元一次不等式组的解集与解法所有这些一元一次不等式解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集;解一元一次不等式时,应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴确定这个不等式组的解集.8.一元一次不等式组的解集的四种类型设a>b9.几个重要的判断几何A级概念(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
1.角平分线的定义一条射线把一个角分成两个相等的部分,这条射线叫角的平分线.(如图)几何表达式举例1∵OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC2∵∠AOC=∠BOC∴OC是∠AOB的平分线2.线段中点的定义点C把线段AB分成两条相等的线段,点C叫线段中点.如图几何表达式举例1∵C是AB中点∴AC=BC2∵AC=BC∴C是AB中点3.等量公理如图
(1)等量加等量和相等;
(2)等量减等量差相等;
(3)等量的等倍量相等;
(4)等量的等分量相等.
(1)
(2)
(3)
(4)几何表达式举例1∵AC=DB∴AC+CD=DB+CD即AD=BC2∵∠AOC=∠DOB∴∠AOC-∠BOC=∠DOB-∠BOC即∠AOB=∠DOC3∵∠BOC=∠GFM又∵∠AOB=2∠BOC∠EFG=2∠GFM∴∠AOB=∠EFG4∵AC=AB,EG=EF又∵AB=EF∴AC=EG4.等量代换几何表达式举例∵a=cb=c∴a=b几何表达式举例∵a=cb=d又∵c=d∴a=b几何表达式举例∵a=c+db=c+d∴a=b5.补角重要性质同角或等角的补角相等.如图几何表达式举例∵∠1+∠3=180°∠2+∠4=180°又∵∠3=∠4∴∠1=∠26.余角重要性质同角或等角的余角相等.如图几何表达式举例∵∠1+∠3=90°∠2+∠4=90°又∵∠3=∠4∴∠1=∠27.对顶角性质定理对顶角相等.如图几何表达式举例∵∠AOC=∠DOB∴……………8.两条直线垂直的定义两条直线相交成四个角,有一个角是直角,这两条直线互相垂直.如图几何表达式举例1∵AB、CD互相垂直∴∠COB=90°2∵∠COB=90°∴AB、CD互相垂直9.三直线平行定理两条直线都和第三条直线平行,那么,这两条直线也平行.如图几何表达式举例∵AB∥EF又∵CD∥EF∴AB∥CD10.平行线判定定理两条直线被第三条直线所截
(1)若同位角相等,两条直线平行;如图
(2)若内错角相等,两条直线平行;如图
(3)若同旁内角互补,两条直线平行.如图几何表达式举例1∵∠GEB=∠EFD∴AB∥CD2∵∠AEF=∠DFE∴AB∥CD3∵∠BEF+∠DFE=180°∴AB∥CD11.平行线性质定理
(1)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;如图
(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;如图
(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.如图几何表达式举例1∵AB∥CD∴∠GEB=∠EFD2∵AB∥CD∴∠AEF=∠DFE3∵AB∥CD∴∠BEF+∠DFE=180°几何B级概念(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一、基本概念直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明.
二、定理
1.直线公理过两点有且只有一条直线.
2.线段公理两点之间线段最短.
3.有关垂线的定理:
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短.
4.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
三、公式直角=90°,平角=180°,周角=360°,1°=60′,1′=60″.
四、常识1.定义有双向性,定理没有.2.直线不能延长;射线不能正向延长,但能反向延长;线段能双向延长.3.命题可以写为“如果………那么………”的形式,“如果………”是命题的条件,“那么………”是命题的结论.4.几何画图要画一般图形,以免给题目附加没有的条件,造成误解.5.数射线、线段、角的个数时,应该按顺序数,或分类数.6.几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分析法”、“图形观察法”四种方法分析.7.方向角
(1)
(2)8.比例尺比例尺1:m中,1表示图上距离,m表示实际距离,若图上1厘米,表示实际距离m厘米.9.几何题的证明要用“论证法”,论证要求规范、严密、有依据;证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论.。