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关于投资地选择问题的论文姓名孙雨萌学号2011___102摘要本文是以一道投资地选择的问题进行的数学模型的建立,该问题使用的是层次分析法进行模型建立和研究计算,并运用高等代数中特征值、特征向量的方法进行计算求解该层次分析分为三层,包括目标层、决策层、准则层其中准则层共有六项,根据重要性分别进行分析,最后得出结果可以对于实际问题的选择给予一定的参考意见,但在实际问题的考虑中还要想到当地的__政策、当地的资源等问题关键字层次分析法、一致性检验、最优投资地
一、问题重述某投资者到某地投资,该市的选择范围主要有三个区域A区、B区、C区该投资者认为选择投资区域的主要影响因素为工资水平、办公成本、市场规模、便利性等下表为投资者搜集的关于这三个区域的相关信息请建立适当的数学模型帮助该投资者选择决策投资区域A区B区C区工资水平53000元/人.年)42000元/人.年)39000元/人.年)商务楼租金
2.5(元/平方米.天)
3.0(元/平方米.天)
4.0(元/平方米.天)市场规模高中中交通便捷堵塞畅通畅通与相关单位联络的便利程度高一般较高社会安全一般较高一般
二、模型假设
1.三个地区具备的其他条件都相同,不在考虑范围内;
2.忽略每一个因素对于其他因素所产生的结果的影响;
3.在投资期间,工资水平,商务楼租金,市场规模等因素在一段时间内不会出现改变;
4.三个区域投资者只能选择一个,投资方案不包括几个区域组合选择
三、问题分析对于该问题,在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下,ABC三个投资地,受到多种因素的影响,具有层次性,因而用层次分析法来比较三种方案的优度是可行的,我们选择六个因素工资水平,办公成品,市场规模,市场便利安全性,社会安全,单位联络便利性来建立模型并检验
四、符号的定义与说明O选择投资区域决策层准则层成对比较矩阵工资水平办公成品市场规模市场便利安全性社会安全单位联络便利性权向量特征根矩阵的秩一致性指标一致性比率(i=
12...6)决策层对于准则层权向量组合权向量一致性指标
五、模型的建立与求解一.建立层次分析结构模型目标层O选择投资地准则层C工资水平,办公成品,市场规模,市场便利性,社会安全,单位联络便利性决策层B A区,B区,C区图一投资的选择层次图二构造准则层对于目标层成对比矩阵假设要比较准则层4个因素,,,,对上层一个因素选择投资区域O的影响每次取两个因素和,用表示表示和表示对O的影响之比全部比较结果可用对比比较距阵01表示由
(1)给出的的特点A称为正互反矩阵显然比有=1在调查情况后,我们分析得出,市场上投资者在投资区域时所考虑的用,,,,,依次表示工资水平、办公成品、市场规模、市场便利安全性,社会安全,单位联络便利性6个准则,构造C--O成对比较距阵(正互反阵)为1121111211112111121111从矩阵上可以看出,表示工资水平对于办公成品对选择投资区域这个目标的重要性之比为5:2;表示工资水平对于市场规模对选择投资区域这个目标O重要性之比为5:4;表示办公成品对于工资水平之比为2:
5.可以看出此投资者在选择投资区域的时,最看重工资成本,其次是市场规模,市场便利性,社会安全,单位联络便利性,最后是办公成品比较尺度在进行定性的成对比矩阵时,人们头脑中通常有5种明显的等级,用1-9尺度可以方便地表示如表1表11-9尺度的含义1与的影响相同3与的影响稍强5与的影响强7与的影响明显的强9与的影响绝对的强2468与的影响之比在上述两个相邻之间11/
2......1/9与的影响之比为上面个的互反数三计算权向量和特征值并进行一致性检验计算权向量,对应于最大特征根(即作)的特征向量(归一化后)作为权向量,即满足=
(2)直观地看,应为矩阵的特征根和特征向量连续依赖于矩阵的元素,所以当离一致性的要求不远时,的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大
(2)式表示的方法称为有成对比矩阵求权向量的特征根法我们用根法来求权向量a.将的每一列向量归一化得;b.对按行求和得;c.将归一化,=(,,......T即为近似特征向量;d.计算,作为最大特征根的近似值
1.
00002.
50001.
25001.
25001.
25001.
25000.
40001.
00000.
50000.
50000.
50000.
50000.
80002.
00001.
00001.
00001.
00001.0000列向量归一化A=
0.
80002.
00001.
00001.
00001.
00001.
00000.
80002.
00001.
00001.
00001.
00001.
00000.
80002.
00001.
00001.
00001.
00001.
00000.
21740.
21740.
21740.
21740.
21740.
21740.
08700.
08700.
08700.
08700.
08700.
08700.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.1739按行求和
0.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17390.
17391.
30440.
21741.
31790.
52200.
08700.
52721.
04340.
17391.
05431.0434归一化
0.1739=A=
1.
05431.
04340.
17391.
05431.
04340.
17391.0543一致性检验成对比矩阵通常不是一致阵,但是为了你能用它的对应于特征矩阵根的特征向量作为被比较因素的权向量,其不一致程度应在容许范围内据定理,n阶正反矩阵的最大特征根=n;当=n时是一致阵根据这个定理和连续地依赖于的事实可知,比n大的挺多,的不一致程度越严重,用特征向量作为权向量引起的判断误差越大因而可以用-n数值的大小来衡量的不一致程度Saaty将3定义为一致性指标=0时一致阵;越大的不一致程度越严重为了确定的不一致程度的容许范围,需要找出衡量的一致性指标的标准Saaty又引入所谓随机一致性指标Saaty对于不同的n,用100~500个样本算出的随机一致性指标的数值如表2表2随机一致性指标RI的数值表中n-12时RI=0是因为1,2阶的正互反阵总是一致阵对于n≥3的成对比较阵A,将它的一致性指标CI与同阶(指n相同)的随机一致性的指标RI之比成为一致性比率CR当
(4)是认为的不一致程度在容许范围之内,可用其特征向量作为权向量权向量检验根据上面计算结果,=
6.0621按公式
(3)计算,在表2中查按
(4)式计算,,一致性检验通过,上述可以作为权向量四构造决策层对准则层成对比较矩阵并计算特征值和特征向量在投资选择区域问题中我们已经得到第2层对第1层的权向量记作.用同样的方法构造第3层(决策层)对第2层准则层的每一个准则的成对比较阵
(1)对判断矩阵A区,B区,C区取权重如下图二
10.
73071.
161010.
84831.
36851.17881计算权向量=
0.
28330.32__
0.3878)T计算特征值
3.00002对判断矩阵A区,B区,C区取权重如下图三
11.
21.
60030.
833311.
33360.
62490.74991计算权向量=
0.
40680.
33900.2542T计算特征值
3.0000
(3)对于判断矩阵A区,B区,C区取权重如下图四11111计算权向量=
0.
71420.
14290.1429T计算特征值
3.0000
(4)对于判断矩阵A区,B区,C区取权重如下图五1511511计算权向量=
0.
09090.
45450.4545T计算特征值
3.00005对判断矩阵A区,B区,C区取权重如下图六1141411计算权向量=(
0.
16670.
66670.1667)T计算特征值
0.30006对判断矩阵A区,B区,C区取权重如下图七15131计算权向量=(
0.
55560.
11110.3333)T计算特征值
3.00005.C--B权向量进行一致性检验由第3层对于第2层的成对比较阵计算的权向量,最大特征值列入表
3.表3投资投资区域k
1234560.
28330.32__
0.
38780.
40680.
33900.
25420.
71420.
14290.
14290.
09090.
45450.
45450.
16670.
66670.
16670.
55560.
11110.
33333.
00003.
00003.
00003.
00003.
00003.0000
(1).--B矩阵=
3.0000=
0.58一致性检验通过,上述可以作为权向量
(2).--B矩阵=
3.0000=
0.58一致性检验通过,上述可以作为权向量
(3).--B矩阵=
3.0000=
0.58一致性检验通过,上述可以作为权向量
(4).--B矩阵=
3.0001=
0.58一致性检验通过,上述可以作为权向量
(5).--B矩阵=
3.0000=
0.58一致性检验通过,上述可以作为权向量
(6).--B矩阵=
3.0000=
0.58一致性检验通过,上述可以作为权向量六.计算组合权向量并作一致性检验
(1)计算组合权向量本问题由各准则层对目标层的权向量和各方案对每一准则的权向量(k=
1.....6)计算各方案对目标的权向量,称为组合权向量,记作对于方案A区,它在工资水平等6个准则中的权重用的第1个分量表示(表2中的第2行),而6个准则对于目标的权重又用权向量表示,第3层对第1层的组合权向量为=5所以在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和,即=
0.
36650.
34430.3000于是组合权向量=(
0.
36650.
34430.3000)T
(2).组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策的时,除了对每个成对比矩阵进行一致性检验外,还常要进行所谓组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据方案层所有方案的一致性比率公式
(6)按公式
(3)已计算的,列入表4表4:k123456000000按公式
(6)式计算得=0方案层B区域对目标层的组合一致性比率为因此组合一致性检验通过,得到的权向量可以作为最终决策的依据.在计算过程中,所有的判断矩阵都满足一致性检验,保证了结果的可靠性和正确性.从计算结果=(
0.
36650.
34430.3000)T来看选择地的优先排列顺序为ABA.A区的总权重最大为
0.3665因此,最优选择投资地应为区A其次是B区,C区.
六、模型的__与评价投资地的选择问题是日常生活中经常会出现的决策问题但这种问题常常会受到主观因素的影响因此采用层次分析法建立适当的数学模型更加具有科学性、实用性和准确性能够避免问题的决策受到主观因素的影响导致不利的结果但该模型存在一定的缺点,它只是粗略的将准则层的几项因素进行定量而且,它不能完全避免主观的决断,所以,它只能作为一个参考的依据,不能将其作为最终的结果__如果城市多几个,而不仅仅是三个的时候,或者是在增加准则层的几个因素的时候也可以运用相同的方法进行求解,但不能过多,否则会带来计算上的麻烦
七、____
[1]将启源,谢金星,叶俊数学建模高等教育出版社2011附录程序准则层对于目标层的矩阵求特征向量的过程程序A=[15/25/45/45/45/4;2/511/21/21/21/2;4/521111;4/521111;4/521111;4/521111];w=[
0.
21740.
08700.
17390.
17390.
17930.1793];a=A*wa=
1.
31790.
52721.
05431.
05431.
05431.0543C1--B矩阵权重画图x=[
0.
28340.32__
0.3877];piex{A区
0.2834B区
0.32__C区
0.3877}C1--B矩阵求特征向量和权向量A=[
10.
86140.7307;
1.
161010.8483;
1.
36851.17881];[xy]=eigAx=
0.___8-
0.
57650.
28570.
56510.
80200.
40510.6661-
0.1565-
0.8685y=
3.0000000-
0.
00000000.0000C=x:2/sumx:2C=-
8.
349611.6159-
2.2663C2--B权重比重画图x=[
0.
40680.
33900.2542];piex{A区
0.4068B区
0.3390C区
0.2542}C3--B矩阵求特征向量和权向量A=[155;1/511;1/511];[xy]=eigAx=-
0.
99010.9623-
0.
87670.
09900.1925-
0.
24100.
09900.
19250.4164y=-
0.
00000003.
00000000.0000C=x:2/sumx:2C=
0.
71430.
14290.1429C4--B矩阵求特征向量和权向量A=[11/51/5;511;511];[xy]=eigAx=-
0.
27220.
14000.
01380.
68040.7001-
0.
74070.
68040.
70010.6717y=
0.
00000003.
00000000.0000C=x:2/sumx:2C=
0.
09090.
45450.4545C5--B矩阵求特征向量和权向量A=[11/41;414;11/41];[xy]=eigAx=-
0.
43640.2357-
0.
00000.
87290.9428-
0.
97010.
21820.
23570.2425y=-
0.
00000003.0000000-
0.0000C=x:2/sumx:2C=
0.
16670.
66670.1667C6--B矩阵求特征向量和权向量A=[155/3;1/511/3;3/531];[xy]=eigAx=-
0.
95350.
84520.
59210.
09530.1690-
0.35__
0.
28600.
50710.7215y=
00003.
00000000.0000C=x:2/sumx:2C=
0.
55560.
11110.3333组合权向量的程序w0=[
0.
21740.
08700.
17390.
17390.
17930.1793];w1=[
0.
28330.32__
0.3878];w2=[
0.
40680.
33900.2542];w3=[
0.
71420.
14290.1429];w4=[
0.
09090.
45450.4545];w5=[
0.
16670.
66670.1667];w6=[
0.
55560.
11110.3333];w=[w1w2w3w4w5w6]*w0w=
0.
36650.
34430.3000计算一致性比率的程序w0=[
0.
21740.
08700.
17390.
17390.
17930.1793];CI=
[000000];RI=[
0.
580.
580.
580.
580.
580.58];CI2=CI*w0;RI2=RI*w0;CR2=CI2/RI2CR2=0。