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文本内容:
三角函数
1.
①与(0°≤<360°)终边相同的角的__(角与角的终边重合)
②终边在x轴上的角的__
③终边在y轴上的角的__
④终边在坐标轴上的角的__
⑤终边在y=x轴上的角的__
⑥终边在轴上的角的__
⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系
⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系
⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系
2.角度与弧度的互换关系360°=2180°=1°=
0.017451=
57.30°=57°18′注意正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式1rad=°≈
57.30°=57°18ˊ.1°=≈
0.01745(rad)
3、弧长公式.扇形__公式
4、三角函数设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(xy)P与原点的距离为r,则;;;;;..
5、三角函数在各象限的符号(一全二正弦,三切四余弦)
6、三角函数线正弦线MP;余弦线OM;正切线AT.
7.三角函数的定义域三角函数定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx
8、同角三角函数的基本关系式
9、诱导公式“奇变偶不变,符号看象限”三角函数的公式
(一)基本关系公式组二公式组三公式组四公式组五公式组六
(二)角与角之间的互换公式组一公式组二公式组三公式组四公式组五.
10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质(A、>0)定义域RRR值域RR周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数;上为减函数();上为增函数上为减函数()上为增函数()上为减函数()上为增函数;上为减函数()注意
①与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).
②与的周期是.
③或()的周期.的周期为2(,如图,翻折无效).
④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().
⑤当·;·.
⑥与是同一函数而是偶函数,则.
⑦函数在上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数,奇函数)奇偶性的单调性奇同偶反.例如是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)奇函数特有性质若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)=9\*GB3
⑨不是周期函数;为周期函数();是周期函数(如图);为周期函数();的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如.⑩有.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期,频率,相位初相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinωx的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.用ωx替换x由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行__|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.用x+φ替换x由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行__|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+-b替换y)由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别高中数学三角函数常见习题类型及解法
1.三角函数恒等变形的基本策略
(1)常值代换特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等
(2)项的分拆与角的配凑如分拆项sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+cos2x=1+cos2x;配凑角α=(α+β)-β,β=-等
(3)降次与升次
(4)化弦(切)法
(4)引入辅助角asinθ+bcosθ=sinθ+,这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定
2.证明三角等式的思路和方法
(1)思路利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式
(2)证明方法综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法
3.证明三角不等式的方法比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等
4.解答三角高考题的策略
(1)发现差异观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”
(2)寻找__运用相关公式,找出差异之间的内在__
(3)合理转化选择恰当的公式,促使差异的转化
四、例题分析例1.已知,求
(1);
(2)的值.解
(1);
2.说明利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化例2.求函数的值域解设,则原函数可化为,因为,所以当时,,当时,,所以,函数的值域为例3.已知函数
(1)求的最小正周期、的最大值及此时x的__;
(2)证明函数的图像关于直线对称解1所以的最小正周期,因为,所以,当,即时,最大值为;2证明欲证明函数的图像关于直线对称,只要证明对任意,有成立,因为,,所以成立,从而函数的图像关于直线对称例4.已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1(x∈R)
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的__;
(2)该函数的图像可由y=sinxx∈R的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?解
(1)y=cos2x+sinx·cosx+1=2cos2x-1++(2sinx·cosx)+1=cos2x+sin2x+=cos2x·sin+sin2x·cos+=sin2x++所以y取最大值时,只需2x+=+2kπ(k∈Z),即x=+kπ(k∈Z)所以当函数y取最大值时,自变量x的__为{x|x=+kπk∈Z}
(2)将函数y=sinx依次进行如下变换(i)把函数y=sinx的图像向左平移,得到函数y=sinx+的图像;(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin2x+的图像;(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=sin2x+的图像;(iv)把得到的图像向上平移个单位长度,得到函数y=sin2x++的图像综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像说明本题是2000年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质这类题一般有两种解法一是化成关于sinxcosx的齐次式,降幂后最终化成y=sinωx++k的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式本题
(1)还可以解法如下当cosx=0时,y=1;当cosx≠0时,y=+1=+1化简得2y-1tan2x-tanx+2y-3=0∵tanx∈R,∴△=3-8y-12y-3≥0解之得≤y≤∴y__x=,此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+k∈Z}例5.已知函数(Ⅰ)将fx写成的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及此时函数fx的值域.解(Ⅰ)由=0即即对称中心的横坐标为(Ⅱ)由已知b2=ac即的值域为.综上所述,,值域为.说明本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力例6.在中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且,1求的值;2若,且a=c,求的__解1由正弦定理及,有,即,所以,又因为,,所以,因为,所以,又,所以2在中,由余弦定理可得,又,所以有,所以的__为三角函数
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分1.已知点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.__M={x|x=±,k∈Z}与N={x|x=,k∈Z}之间的关系是()A.MNB.__C.M=ND.M∩N=3.若将分针拨慢十分钟,则分针所转过的角度是()A.60°B.-60°C.30°D.-30°4.已知下列各角
(1)787°,2-957°,3-2__°,41711°,其中在第一象限的角是A.
(1)
(2)B.
(2)
(3)C.
(1)
(3)D.
(2)
(4)5.设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于()A.B.-C.D.-6.若cosπ+α=-,π<α<2π,则sin2π-α等于()A.-B.C.D.±7.若α是第四象限角,则π-α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是()A.2B.C.2sin1D.sin29.如果sinx+cosx=,且0<x<π,那么cotx的值是()A.-B.-或-C.-D.或-10.若实数x满足log2x=2+sinθ,则|x+1|+|x-10|的值等于()A.2x-9B.9-2xC.11D.9
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分11.tan300°+cot765°的值是_____________.12.若=2,则sinαcosα的值是_____________.13.不等式(lg202cosx>1,x∈0,π的解集为_____________.14.若θ满足cosθ>-,则角θ的取值__是_____________.15.若cos130°=a,则tan50°=_____________.-16.已知fx=eq\r,若α∈,π,则fcosα+f-cosα可化简为___________.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设一扇形的周长为CC>0,当扇形中心角为多大时,它有最大__?最大__是多少?18.本小题满分14分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x,,且cosα=x,求sinα与tanα的值.19.本小题满分14分已知≤θ≤π,sinθ=,cosθ=,求m的值.20.本小题满分15分已知0°<α<45°,且lgtanα-lgsinα=lgcosα-lgcotα+2lg3-lg2,求cos3α-sin3α的值.21.本小题满分15分已知sin5π-α=cosπ+β和cos-α=-cosπ+β,且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.三角函数
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.下列函数中,最小正周期为π的偶函数是()A.y=sin2xB.y=cosC.y=sin2x+cos2xD.y=2.设函数y=cossinx,则()A.它的定义域是[-1,1]B.它是偶函数C.它的值域是[-cos1,cos1]D.它不是周期函数3.把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两倍,然后把图象向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式为()A.y=2sin2xB.y=-2sin2xC.y=2cos2x+D.y=2cos+4.函数y=2sin3x-图象的两条相邻对称轴之间的距离是()A.B.C.πD.5.若sinα+cosα=m,且-≤m<-1,则α角所在象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.函数y=|cotx|·sinx(0<x≤且x≠π)的图象是()7.设y=,则下列结论中正确的是()A.y有最大值也有最小值B.y有最大值但无最小值C.y有最小值但无最大值D.y既无最大值又无最小值8.函数y=sin(-2x的单调增区间是()A.[kπ-,kπ+]k∈ZB.[kπ+,kπ+]k∈ZC.[kπ-,kπ+]k∈ZD.[kπ+,kπ+]k∈Z9.已知0≤x≤π,且-<a<0,那么函数fx=cos2x-2asinx-1的最小值是()A.2a+1B.2a-1C.-2a-1D.2a10.求使函数y=sin2x+θ+cos2x+θ为奇函数,且在[0,]上是增函数的θ的一个值为()A.B.C.D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.函数y=的值域是_____________.12.函数y=eq\flg(1+tanx)的定义域是_____________.13.如果x,y∈[0,π],且满足|sinx|=2cosy-2,则x=___________,y=___________.14.已知函数y=2cosx,x∈[0,2π]和y=2,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的__是_____________15.函数y=sinx+cosx+sin2x的值域是_____________.16.关于函数fx=4sin2x+x∈R有下列命题
①由fx1=fx2=0可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=fx的表达式可改为y=4cos2x-;
③y=fx的图象关于点(-,0对称;
④y=fx的图象关于直线x=-对称.其中正确的命题的序号是_____________.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图为函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的图象的一部分,试求该函数的一个解析式.18.(本小题满分14分)已知函数y=sinx+cosx2+2cos2x.x∈R1当y取得最大值时,求自变量x的取值__.2该函数图象可由y=sinxx∈R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?19.(本小题满分14分)已知函数fx=sinx-cosx
(1)求它的定义域和值域;
(2)求它的单调减区间;
(3)判断它的奇偶性;
(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.20.(本小题满分15分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图),为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面__设计为定值m,渠深3米,则水渠侧壁的倾斜角α应为多少时,方能使修建的成本最低?21.本小题满分15分)已知函数fx=sinωx+φω>0,0≤φ≤π是R上的偶函数,其图象关于点M(,0对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.。