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高考数学压轴题突破训练——三角函数含详解
1.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足
(1)求证A、B、C三点共线;
(2)已知,的最小值为,求实数的值.
2.且求的值
3.已知函数.
(1)若x∈R,求f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值,并指出这时x的值.
4.设两个向量、,满足||=2,||=1,、的夹角为60°,若向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
5.已知向量=(sinB,1-co__,且与向量(2,0)所成角为,其中ABC是⊿ABC的内角.
(1)求角B的大小;
(2)求sinA+sinC的取值范围.
6.分别为角的对边,为的__,且
(1)求
(2)当时,求的值
7.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,角B为锐角,且
(1)求的值;
(2)若b=2,求ac的最大值
8.已知函数的最小正周期为,且其图象关于直线对称.
(1)求的解析式;
(2)若函数的图象与直线在上只有一个交点,求实数的取值范围.
9.在三角形ABC中,分别为角的对边,且满足
(1)求角A的度数;
(2)若,求的值
10.已知,且(O为坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式;⑵若时,的最大值为4,求m的值;若此时函数的图象可由的图象经过向量平移得到,求出向量.
11.已知向量,,且,⑴求及;⑵若的最小值为,求λ的值
12.已知函数其中且若的图象关于直线对称且的最大值为
2.⑴求和的值;⑵如何由的图象得到的图象?
13.已知复数z=sinB+1-co__iargz=ABC是⊿ABC的内角(1)求B; (2)求sinA+sinC的取值范围
14.已知, (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
15.已知函数(是常数)
(1)求函数的最小正周期;
(2)若时,的最大值为1,求的值
16.已知向量,定义.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)若,当时,求的取值范围.
17.在中,角所对的边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)若,判断△ABC的形状.
18.已知的__为,且满足,设和的夹角为.(I)求的取值范围;(II)求函数的最大值与最小值.
19.如图,已知单位圆上有四点,分别设的__为.
(1)用表示;
(2)求的最大值及取最大值时的值.
20.设向量.
(1)若,求的值;
(2)求函数的最大值及相应x的值.
21.在△ABC中,已知角A、B、C所对的三条边分别是a、b、c,且
(1)求证;
(2)求函数的值域
22.已知,且,求的值.
23.设函数(1)写出函数的最小正周期及单调递增区间;(2)时,函数的最小值为2,求此时函数的最大值,并指出取何值时,函数取到最大值.24.使函数图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的,然后再将其图象沿x轴向左平移个单位,得到的曲线与相同.
(1)求的表达式;
(2)求的单调递减区间.
25.关于x的方程的两根为、,且.若数列,的前100项和为0,求的值.
26.在中角A、B、C的对边分别为、、.若的外接圆的半径且分别求出B和b的大小.
27.已知函数的图象经过点A(0,1),B,且当时,取最大值.(1)求的解析式;(2)是否存在向量,使得将的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象?若存在,求出满足条件的一个,若不存在,说明理由.
28.函数是定义在上的偶函数,当时,;当时,的图象是斜率为,在轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分.
(1)求的值;
(2)写出函数的表达式,作出其图象并根据图象写出函数的单调区间.
29.已知向量且.
(1)求;(2)若的最小值是,求的值.
30.已知向量,,,,且与之间有关系式,其中k>0.
(1)试用k表示;
(2)求的最小值,并求此时与的夹角的值.答案;
1.
(1),3分三点共线
(2)由,故从而又,当时,取最小值.即,
2.解=
3.
(1). 解不等式. 得 ∴ f(x)的单调增区间为,.
(2)∵ ,], ∴ . ∴ 当即时,.∵ 3+a=4,∴ a=1,此时.
4.由已知得,,. ∴ . 欲使夹角为钝角,需. 得 . 设. ∴ ,∴ . ∴ ,此时. 即时,向量与的夹角为.∴ 夹角为钝角时,t的取值范围是(-7,)(,).
5.
(1)∵=(sinB,1-co__且与向量(2,0)所成角为∴∴tan
(2)由
(1)可得∴∵∴∴当且仅当…
6.
(1)由余弦定理得即
(2)由得
7.
(1)
(2)由余弦定理得代入得又即ac≤3(当且仅当a=c时取等号成立)∴ac的最大值为
38.1由,,当时,,不是最大值也不是最小值,其图象不关于对称,舍去;当时,,是最小值,其图象关于对称,故为所要求的解析式.…8分2由1知在同一坐标系内作出的图象,由图可知,直线两曲线只有一个交点,.
9.12,又
10.
(1)
(2)当,即时,取最大值,由的图象上每一点向左平移个单位,再向上平移2个单位即可得到的图象,☆
11.⑴===∵,∴cosx≥0,∴⑵,即∵,∴0≤cosx≤1,1当λ<0时,当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾;2当0≤λ≤1时当且仅当cosx=λ时,f(x)取得最小值,由已知得,解得;3当λ>1时,当且仅当cosx=1时,取得最小值1-4λ,由已知得,解得,这与λ>1相矛盾综上所述,即为所求
12.1由有又 于是又的图象关于直线对称则在时取最值.所以所以又所以 2由1知所以只要将的图象按向量平移就得到的图象或将的图象向右平移个单位.
13.∵argz=∴∴tan
14.(Ⅰ)由,.(Ⅱ)原式=.
15.
16.(Ⅰ)==+=+ 所以,的最小正周期 Ⅱ 由三角函数图象知:的取值范围是
17.
(1)由已知得.,又是△ABC的内角,所以.
(2)(方法一)由正弦定理得.,又,∴,∴,即.所以△ABC是等边三角形.(方法二),又,∴,,又,∴,即,所以△ABC是等边三角形.
18.(Ⅰ)设中角的对边分别为,则由,,可得,.(Ⅱ).,,.即当时,;当时,.
19.
(1)根据三角函数的定义,知所以,所.又因为四边形OABC的__=,所以.
(2)由
(1)知.因为,所以,所以,所以的最大值为,此时的值为.
20.(I)∵(Ⅱ)=.取得最大值,最大值为
21.(I)由余弦定理得又.(II)...即函数的值域是.
22.,, ..
23.(1) 由得故函数的单调区间为.(2),当时,原函数取最小值2,即,即时,取到最大值.
24.(1)先将的图象向右平移得,即的图象.再将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标不变,得到的图象.则即为所求.(2)由得即的单调递减区间为.
25.,而数列的首项为1,由等比数列的前n项和公式得又
26.由正弦定理 得 ,,.代入 得.整理得即 又
27.由题意知 当时,由解得时,,无解;当时,,相矛盾.综上可知 ..(2)是奇函数,将的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位就可得到的图象.因此,将的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位就可得到奇函数的图象.故是满足条件的一个平移向量.
28.(1)依题意知 当时,又是定义在上的偶函数,又当时,,.(2)是偶函数,时,,此时当时,,此时. y 0 由图象可知,函数的递增区间为;递减区间为.
29.
(1) .,,.(2),即.,,
①当时,当且仅当时,取得最小值-1,这与已知矛盾;
②当时,当且仅当时,取得最小值,由已知得 ,解得;
③当时,当且仅当时,取得最小值,由已知得,解得,这与相矛盾.综上所述,即为所求.
30.
(1)因为,所以,,,,.
(2)由
(1),当且仅当,即时取等号.此时,,,,所以的最小值为,此时与的夹角为xyAEBCOAycy。