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第二章矩阵第一节矩阵的定义与运算一矩阵的定义行列式的形式是一个数表实质是一个多项式.然而从很多实际问题中抽象出来的数学概念是真正的数表而且它的行数与列数还不一定相等这就是矩阵.定义
2.1由个数排成的行列的数表称为矩阵.矩阵中的数称为它的元素.矩阵的行与列的定义与行列式相同.矩阵的第行,第列的元素记作.一般用大写的拉丁字母表示矩阵例如.为了指出元素或者指出行数与列数又写作或者.只有一行列的矩阵又称为行列矩阵一般用小写的拉丁字母或小写的希腊字母表示行列矩阵.为了区分行矩阵的元素,有时用逗号将它们隔开例如是一个行矩阵.如果矩阵的所有元素都等于0称为零矩阵记作或者.当矩阵的行数与列数相等时矩阵称为阶方阵.方阵的元素称为它的主对角元素其余元素称为非对角元素.主对角元素组成方阵的主对角线.非对角元素都等于零的方阵称为对角阵.主对角元素依次为的对角阵常简记作.主对角元素都等于1的阶对角阵称为阶单位阵记作或者.二矩阵的运算如果两个矩阵的行数与列数分别对应相等称它们为同型矩阵.定义
2.2如果两个矩阵与满足;则称它们相等记作.注意一个矩阵的等式相当于个数量等式.定义
2.3设与是同型矩阵则矩阵称为矩阵的和记作.设矩阵则将其所有元素变号得到的矩阵称为的负矩阵记作.定义
2.4设是同型矩阵则矩阵称为矩阵与的差.性质
2.1设是同型矩阵则有1交换律:;2结合律:;3零矩阵:;4负矩阵:.证只证
1.用定义得.注意只有同型矩阵才可能相等也只有同型矩阵才可以相加减.在矩阵加法中零矩阵的作用相当于数量加法中的
0.而负矩阵的作用相当于相反的数.定义
2.5设是矩阵是数则矩阵称为数与矩阵的积记作.性质
2.2设是同型矩阵是数则有1结合律:;2分配律1:;3分配律2:;4数乘:;5零矩阵:;6消去律如果则或者或者.证只证
6.设矩阵则已知.由矩阵相等的定义有;.如果则;即.注意矩阵相加减即前一个矩阵的每个元素加减后一个矩阵的对应元素.数乘矩阵即用该数乘以矩阵的每个元素.而行列式的相应运算只对一行或一列进行两者是完全不同的.例
2.1设矩阵求.解用定义得.定义
2.6设矩阵令;则矩阵称为矩阵与的积记作.注意只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才可相乘.相乘时第一个矩阵的第行的每个元素与第二个矩阵的第列的对应元素相乘再求和得到乘积的第行第列的元素.性质
2.3矩阵乘法满足下面的运算律.1结合律:;2分配律:;3数乘矩阵:;4单位阵:设则.证只证
2.设矩阵记则对于;有.于是.在矩阵乘法中单位阵的作用相当于数量乘法中的
1.单位阵的名称即由此而来.例
2.2设矩阵求.解用定义计算得.按照矩阵乘法的定义没有意义.即矩阵乘法一般不满足交换律.因此在做矩阵乘法时一定要注意哪个矩阵在左边哪个矩阵在右边.也正是因为没有交换律所以需要两个分配律即左分配律与右分配律.例
2.3设方阵求所有满足的二阶方阵.解设则.由矩阵方程得四个数量方程.这个数量方程组有解:.因此满足条件的所有二阶方阵形如其中是任意数.例
2.4设方阵求与.解用定义计算得.在这里与都有意义且都是二阶方阵但是不相等.即这两个矩阵相乘仍然不满足交换律.而且又出现一个新现象.矩阵都不是零矩阵但是是零矩阵.因此由矩阵等式不能断定或者.与此相关对于矩阵由条件同样也不能断定.也就是说对于矩阵乘法,消去律也不成立.当同一个方阵连乘时可以表示成幂.例如.用性质
2.3可以证明下面的性质.性质
2.4设是方阵是自然数则1;
2.例
2.5设是阶方阵求证:等式成立的充分必要条件为.证根据性质
2.3有.因此如果则有.如果则有.注意因为矩阵乘法没有交换律数的乘法公式一般需要附加条件才能对于矩阵成立.与此相关一般情况,除非方阵满足.设多项式又是阶方阵,是阶单位阵,则是阶方阵记作.例
2.6设求证:.解1用数学归纳法.当时有恒等式.假设当时等式成立即有.当时有,即当时等式成立.根据数学归纳法原理等式对于任意正整数成立.解2令则且.根据性质
2.3有.注意例
2.5说明:二项式定理一般不成立.这里用到单位阵的特殊性质.三矩阵的转置定义
2.7设矩阵则矩阵称为矩阵的转置.记作或者.注意转置是将矩阵的每行变成对应列同时每列变成对应行所得到的矩阵.如果是矩阵则是矩阵.性质
2.5矩阵的转置满足下面的运算律.1自反律:;2加法:;3数乘:;4乘法:.证只证
4.设矩阵令则对于;有.于是.注意在乘积的转置公式中右边的顺序与左边的顺序相反.例
2.7设矩阵求.解1先做乘法得.再取转置得.解2先取转置得.再用性质
2.5做乘法得.例
2.8设行矩阵求.解首先有.于是用矩阵乘法的结合律有.注意虽然例
2.8中的一阶方阵只有一个元素但是它与数还是有区别的.例如作为数可以乘以二阶方阵而作为一阶方阵则不能与二阶方阵相乘.例
2.9设是实矩阵且求证:.证设则.已知是实矩阵因此有即矩阵的第一列元素都等于
0.同理可证的其他元素等于
0.于是.注意对于一般情况由不能推出或.例
2.9是一种例外情形.定义
2.8设是阶方阵如果则称其为对称阵.如果则称其为__称阵.如果用矩阵的元素表示上述概念则对称阵满足条件即其元素关于主对角线对称.__称阵满足条件.因此有.例
2.10设是方阵求证:与是对称阵.证根据性质
2.5有;.例
2.11设是阶__称阵求证:对于任意的矩阵有.证首先乘积是一阶方阵因此是对称阵.于是有即.习题2-
11.设矩阵已知求矩阵.
2.计算下列矩阵的乘积.1;
2.
3.对于下列的矩阵与计算与.1;
2.
4.研究对角阵与任意同阶方阵相乘时的规律.
5.对于下列的矩阵求所有满足条件的矩阵.1;2其中两两不等.
6.设二阶方阵求满足下列条件的所有二阶方阵.1;
2.
7.对于下列的方阵求方阵.1;
2.
8.设方阵求方阵.
9.求证:.
10.设方阵验证:.
11.设矩阵用两种方法计算.
12.设是对称阵求证:是对称阵的充分必要条件为.
13.设实对称阵满足求证:.
14.设是方阵求证:是__称阵.
15.设是方阵求证:存在对称阵与__称阵使得.
16.设是阶方阵求证:存在阶对称阵使得对于任意的矩阵有.第二节方阵的行列式与逆阵一方阵的行列式定义
2.9设方阵则称为的行列式.行列式等于0的方阵称为奇异阵.注意只有方阵才有行列式.方阵是一个数表而其行列式是一个数.例如单位阵的行列式.性质
2.6设是阶方阵是数则1数乘:;2乘积:;3转置:.证只证
1.用行列式的性质有设则.于是.例
2.12设是三阶方阵且求和.解用性质
2.6计算得;.二逆阵由于矩阵的乘法没有交换律不可能定义分式形式的除法.不过对于某些特殊的方阵存在另一个方阵这两个方阵之间的关系和数与其倒数之间的关系类似.在数量代数中倒数满足条件.而在矩阵乘法中单位阵的作用相当于数量代数中的
1.定义
2.10设是阶方阵如果存在阶方阵使得则称方阵是的逆阵记作.此时称方阵为可逆阵或称方阵可逆.注意由于矩阵乘法的限制长方形的矩阵不可能定义这样的逆阵.性质
2.7如果方阵有逆阵则只有一个逆阵.证设方阵都是方阵的逆阵用矩阵乘法的结合律有即方阵的任意两个逆阵相等.于是它只有一个逆阵.例
2.13设对角阵的主对角元素都不等于0求证它是可逆阵.证设且.令根据对角阵的乘法有.例
2.14设是可逆阵且则.证用的逆阵左乘等式得.用矩阵乘法的结合律有即.定义
2.11设方阵则称方阵为的伴随阵其中是方阵的元素的代数余子式.注意方阵的位于第行第列的元素的代数余子式位于伴随阵的第行第列.定理
2.1方阵有逆阵的充分必要条件为:它的行列式.此时方阵的逆阵为.证必要性:设方阵有逆阵则.取行列式根据性质
2.6有.于是有.充分性:.于是有.已知则.用行列式的列的类似结果可证.根据定理
2.1一个方阵有逆阵当且仅当它不是奇异阵.推论
2.1设是方阵如果存在同阶方阵使得或者则是可逆阵且是的逆阵.证已知取行列式可得.根据定理
2.1方阵可逆.用的逆阵左乘等式得.用矩阵乘法的结合律有即.注意如果用逆阵的定义必须分别验证与才能确定是的逆阵.但是如果用推论
2.1则只须验证其中之一.例
2.15求方阵的逆阵.解计算行列式得.计算伴随阵得.于是得.例
2.16设方阵满足求证:方阵可逆并求它的逆阵.证已知方阵满足即.根据矩阵乘法的分配律有.根据推论
2.1方阵可逆且它的逆阵为.注意对于矩阵乘法消去律一般不成立.但是可逆阵是一个例外.例
2.17设阶方阵可逆求.解对等式取行列式根据性质
2.6有.已知可逆根据定理
2.1有.于是有.性质
2.8设是可逆阵则有1逆阵:;2数乘:;3乘积:;4转置:;5行列式:.证只证3与
5.3根据矩阵乘法的结合律有.根据推论
2.1可逆且它的逆阵为.5已知取行列式根据性质
2.6有.根据定理
2.1有.于是有.注意在乘积的逆阵公式中右边的顺序与左边的顺序相反.例
2.18设实对称阵可逆求证:它的逆阵也是实对称阵.证已知实对称阵可逆根据定理
2.1逆阵是实方阵.根据性质
2.8有.如果方阵可逆记.约定如果是可逆阵约定.前面的性质
2.4可以__到任意整指数.性质
2.4*设是可逆阵是整数则1;2习题2-
21.设是阶方阵是数且行列式求行列式.
2.求证奇数阶__称阵的行列式等于
0.
3.设方阵满足条件且不是单位阵求证:不是可逆阵.
4.求下列方阵的逆阵.1其中;
2.
5.求二阶方阵使得.
6.设方阵满足条件求证:方阵可逆.*
7.设方阵可逆,且方阵也可逆,求证方阵可逆且它的逆阵为.
8.设阶实方阵的每个元素等于它的代数余子式求证:方阵可逆.*
9.设上三角阵的主对角元素都不等于0求证:方阵可逆且的逆阵也是上三角阵.
10.设可逆阵的每一行的和都等于,求证,且逆阵的每一行的和等于.*
11.设阶方阵满足条件求证:.
12.已知阶方阵的行列式求行列式与.第三节分块矩阵一矩阵的分块定义
2.12用若干条贯穿整个矩阵的横线和竖线将矩阵分成许多部分每个部分称为的一个子块.将子块看作元素构成形式上的矩阵称为的分块矩阵.仍然记作.注意矩阵的分块矩阵只是的简单写法.实际上它与是同一个矩阵因此仍然记作矩阵.同一个矩阵可以有不同的分块方法从而产生不同的分块矩阵.下面用例子予以说明.设矩阵考虑三种分块方法.1其中.这种分块方法的特点是:方阵的行与列的分块方法相同.因此位于分块矩阵的主对角线上的子块与是正方形数表.这样的子块称为对角块其他的子块称为非对角块.这里将方阵分成四块还可能分成九块十六块等等.2其中等.这种分块方法的特点是:矩阵的每一列作为一个子块.为了区分它的子块有时用逗号将它们隔开.常见的分块方法就是1和
2.偶尔可能见到下面的方法
3.3其中.与1类似将方阵分成四块.不过右上角与左下角的子块与才是正方形数表.性质
2.9分块矩阵的运算具有下面性质.1加法:设是同型矩阵且按照相同方法分块.如果将它们的和也按照相同方法分块则的一个子块等于的对应子块的和.2数乘:设是一个矩阵按照任意方法分块又设是一个数.如果将数与矩阵的积按照的方法分块则的一个子块等于数乘以矩阵的对应子块.3乘法:设是矩阵是矩阵且矩阵的列的分块方法与矩阵的行的分块方法相同.如果将的乘积的行按照矩阵的行的分块方法而列按照矩阵的列的分块方法则的一个子块等于的分块矩阵的第行与的分块矩阵的第列上对应子块的乘积的和.4转置:设是一个矩阵按照任意方法分块.如果将它的转置的行按照矩阵的列的方法分块而将它的列按照的行的方法分块则的一个子块等于的子块的转置.注意只要分块方法适当在分块矩阵运算时可以将子块看作元素使用矩阵运算法则.而在子块与子块运算时将子块看作矩阵使用矩阵运算法则.例
2.19设矩阵求.解令分块矩阵其中.令分块矩阵其中则.于是有.因为子块之间的运算使用矩阵的运算法则所以有时将子块称为子矩阵.其实前面已经将子块书写成矩阵的形式了.例
2.19说明:矩阵的分块可以将一个规模较大的矩阵的等式分离成若干个规模较小的矩阵的等式以便于计算.例
2.20设方阵其中是可逆阵是零矩阵求.解按照方阵的分块方法设.根据逆阵定义有.比较对应的子块得.已知可逆从后两式解得.代入前两式得.于是有.二准对角阵定义
2.13设是方阵且它的行与列的分块方法相同.如果它的非对角块都是零矩阵则称为准对角阵.性质
2.10准对角阵具有下述性质.1的行列式等于各对角块的行列式的乘积;2如果的对角块都是可逆阵则也是可逆阵.将逆阵按照的方法分块则它的一个对角块等于的对应子块的逆阵而非对角块都是零矩阵.证只证
2.为了书写简单,假定只有两个对角块.设其中分别是阶和阶可逆阵.令则.再用推论
2.1即可.例
2.21求准对角阵的行列式与逆阵.解准对角阵有三个对角块根据性质
2.10有.计算对角块的逆阵得.于是有.如果一个方阵是按照分块矩阵给出则它的行列式也可以写成分块形式称为分块行列式.对于分块行列式也常用逗号隔开它的子块.例
2.21设都是矩阵分块行列式求分块行列式.解行列式是将行列式的第一列的元素乘以2第三列的元素乘以5而得.根据行列式的性质
1.3有.习题2-
31.设方阵,求方阵与.
2.设分别是阶与阶可逆阵求分块方阵的逆阵.
3.求方阵的逆阵.
4.设分别是阶与阶可逆阵求分块方阵的逆阵.
5.设方阵其中求.
6.求准对角阵的逆阵.
7.设都是矩阵分块行列式求分块行列式.补充材料一复合函数偏导数公式设,有连续偏导数有偏导数则用矩阵乘法上面两式可以写作这种写法可以__到将更多的变量进行更多次的复合所产生的复合函数的导数公式.。