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文本内容:
线性代数课程复习提纲王航平第一章 行列式
1、行列式的定义
(1)(仅)适用于
2、3阶行列式的对角线法则;
(2)逆序数与排列的奇偶性;
(3)n阶行列式的定义(的意义与展开,展开式中项的规律与符号的确定(3种方式));
(4)抽象表示技能
2、行列式的基本计算
(1)利用定义计算;
(2)利用行列式的性质,化行列式为上(下)三角行列式计算;
(3)利用行列式的性质,化某行(列)只留一个(可能的)非零元,再用行列式的按行按列展开定理(子式,余子式,代数余子式)计算
3、行列式的常用计算技巧
(1)利用行和或列和相等的特点计算;
(2)加边法;
(3)同时拆行(列)法;
(4)递推法*;
(5)利用Vandermonde行列式计算;6 数学归纳法*(此次考试仅要求有限阶的数字行列式与文字行列式的计算)
4、Cramer法则注意Cramer法则使用的前提条件
(1)方程组的个数与未知量的个数相等;
(2)系数行列式不为零难点抽象表示(n阶行列式的定义)、n阶行列式的计算第二章 矩阵及其运算矩阵的各类运算
1、乘法
(1)两矩阵相乘的前提(左矩阵的列数与右矩阵的行数相等);
(1)乘法交换律不成立(导致乘法公式不成立,二项式公式不成立,消去律不成立);
(1)积矩阵中元的表示()
1、转置、方阵的行列式、共轭矩阵定义与运算性质(穿脱原理;、等)
1、逆矩阵
(1)逆矩阵的定义;
(1)可逆的充要条件(行列式不为零、非奇异、满秩);
(1)伴随矩阵;利用伴随矩阵求逆(注意伴随矩阵的计算程序,以保证计算结果的准确性)
1、矩阵的分块
(1)分块运算的定义,尤其是分块的转置、分块乘法中左(右)矩阵的块保持在左(右)边;
(1)分块求逆法(设未知矩阵求解矩阵方程、准对角矩阵的求逆)重点矩阵的求逆(要求掌握各种求逆方法)第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1、矩阵的初等变换、行阶梯形矩阵、行最简矩阵;
2、子式、求矩阵的秩,三秩相等定理;
3、线性方程组的有解判别定理;
4、初等矩阵及八字原则(左行右列,首尾为主);
5、利用初等变换求矩阵的逆、求解矩阵方程第四章 向量组的线性相关性
1、线性表示、线性组合、两向量组的等价
2、线性相关性
(1)定义(2个);
(1)相关性的判别转为向量方程是否有非零解,转为齐次线性方程组是否有非零解;转为求矩阵的秩;向量组线性相关向量方程有非零解矩阵的秩
3、极大无关组、秩及其求法;对矩阵施行初等行变换,不改变矩阵列向量之间的线性关系
4、相关性与矩阵间的关系(表示矩阵等);
(1)(即为基本定理)
(1)当线性无关时,有
1、相关性的有关性质尤其是线性相性的基本定理向量组A可由向量组B线性表示,则-秩
1、向量空间
(1)定义与判别;
(1)生成子空间及相关性质
(1)基与维数能找出给定空间的基(一般为常见空间)
7、求解线性方程组(基础解系、通解、特解有解判定定理系数矩阵的秩与基础解系所含向量个数的关系)(注意求解程序,以保证计算的正确性)基本题型
(1)相关性的证明;
(1)求给定向量组的极大无关组、秩,并用该极大无关组表示其余向量;
(1)相关性的判断;
(1)求解线性方程组
(1)重点线性相关性、求解线性方程组第五章 相似矩阵与二次型
1、向量的内积定义(对称性、线性性、非负性)、长度、正交;
2、正交向量组、规范正交基、Schmidt正交化、正交矩阵、正交变换;
3、特征值、特征向量、特征多项式及Hamilton-Cayley定理、属于不同特征值的特征向量线性无关;
4、相似矩阵定义(是矩阵间的一种等价关系)、相似矩阵具有相同的特征多项式、相似对角化、矩阵能相似对角化的充要条件、充分条件;
5、实对称矩阵的相似性特征值必为实数、属于不同特征值的特征向量必正交、任一特征值的代数重数等于其几何重数、实对称矩阵必可相似对角化、实对称矩阵必可正交对角化;
6、二次型二次型矩阵、二次型的秩、矩阵的合同变换、标准形、惯性定理;
7、二次型的正定性正定二次型、正定矩阵、正定的充要条件、霍尔维茨定理(顺序主子式)基本题型
1、用正交变换化二次型为标准形;
2、相似对角化及其证明;
3、正定矩阵证明注意注意有关结论的前提,是一般的方阵,还是实对称矩阵第六章 线性空间与线性变换
1、线性空间的定义11条
1、线性空间的性质及证明公理化方法
1、子空间的定义及其判断
1、维数、基与坐标要求能熟练计算
1、线性空间的同构及应用同构理论解决一般线性空间中的问题
1、过渡矩阵与基变换、坐标变换要求熟练矩阵表示,过渡矩阵的列向量的几何意义
1、线性变换与其在某基下矩阵基下矩阵的列向量的几何意义
1、线性变换的性质与向量组与象向量组的线性关系线性相关线性相关,但其逆不真
1、线性变换的象与核、线性变换的秩
1、同一线性变换在不同基下的矩阵相似基本题型
1、线性空间与子空间的判定;
1、求给定间的基与维数、求给定向量在定间基下的坐标;
1、求过渡矩阵与基变换、坐标变换(常通过第三个基进行过渡)
1、求基下矩阵 2004/6/19。