数列、数学归纳法及数列极限的复习

数列、数学归纳法及数列极限的复习

一、基本概念1数列按一定次序排列的一列数.按项数是否有穷可分为有穷数列和无穷数列.按相邻两项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数数列和摆动数列.数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为正整数集或其子集.数列的第项与的关系式叫做数列的通项公式.注意不是每个数列都有通项公式！根据数列的前几项不能确定这个数列，但是可以写出它的一个或几个通项公式！有些数列有单调性、周期性、最值.2数列的递推公式给出数列的初始项第一项或前几项，再给出相邻两项或几项的关系，这样的关系式称为数列的递推公式.如，，等.3等差数列若为常数，则数列是等差数列.公差为的等差数列的通项公式为.该公式可整理为设是等差数列，若，则.注意一般不成立！设是等差数列，则的前项和的公式为.该公式可整理为.若等差数列的公差，则是递增数列.若，则是常数数列.若，则是递减数列.若成等差数列，则.任意两个实数都有唯一的等差中项.判断是等差数列的方法1利用定义为常数.2根据.3根据.4根据.注意证明数列是等差数列时通常用定义！4等比数列若为常数，则数列是等比数列.公比为的等比数列的通项公式为.设是等比数列，若，则.设是等比数列，则的前项和的公式为.等比数列的公比.若成等比数列，则.两个实数不一定有等比中项，若有等比中项，则有两个！判断是等比数列的方法1利用定义为常数.2根据.3根据.4根据.注意证明数列是等比数列时通常用定义！5数学归纳法对于关于正整数的很多命题可以用数学归纳法解决.它是用有限的步骤完成无限的递推！第一步，证明时命题成立这是递推的基础.第二步，假设命题成立.由此证明时命题也成立这是递推的依据.根据这两步，就可以无限递推下去，因而对于任意的正整数，命题都成立.数学归纳法的第二步必须用假设的结论！6数列的极限几个基本数列的极限

①.

②当时，.

③为常数.运算法则若，则

1.

2.

3.4为常数.数列极限的四则运算法则只适用于有限项.如果是无限项，应该先化简.设数列为等比数列，首项为，公比为，的前项和为.如果，那么公比为的无穷等比数列的各项和存在的充要条件是.

二、常用结论1若数列、是等差数列，则、、也是等差数列.是等比数列.2若等差数列的前项和为.则也成等差数列.3设等差数列的首项为，公差为，其前项和为.若，则有最小值.若，则有最大值.4数列是等比数列，则、、也是等比数列.若数列是等比数列，且，则是等差数列.5若等比数列的前项和为.则也成等比数列.6若等差数列的前项和为.则成等差数列.若等比数列的前项的乘积为.则成等比数列.7若都是正整数，则.8若是等差数列，公差为，前项和为.则的奇数项成等差数列，公差为.的偶数项成等差数列，公差为.....9若和都是等差数列，它们的前项和分别为和.则.

三、常见的与数列的前项和有关的问题

四、常见的分类讨论问题1若数列是等差数列，且有正有负，求的前项和.如数列的通项公式为，求的前项和.2若数列满足，求的前项和.3若等比数列的首项是，公比为，其前项和为，，求.

五、求数列的最大项、最小项问题，如.若，.如.

六、数列的求和方法1公式法数列的通项公式为，求其前项和为.数列的通项公式为，求其前项和为.2倒序相加法设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值为______.3错位相减法数列的通项公式为，求其前项和为.数列的通项公式为，求其前项和为.4裂项相消法数列的通项公式为，求其前项和为.数列的通项公式为，求其前项和为.。