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第11讲 反比例函数 知识点1 反比例函数的概念1.下列函数中,是反比例函数的是CA.y=3xB.y=xC.y=D.y=+1知识点2 反比例函数的图象与性质2.已知反比例函数y=的图象经过点2,3,则n的值是DA.-2B.-1C.0D.13.若反比例函数y=-的图象上有两点A1,y1,B2,y2,则y1<y
2.填“>”“=”或“<”知识点3 反比例函数中k的几何意义4.如图,点A为反比例函数y=-图象上的一点,过A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则△ABO的面积为DA.-4B.4C.-2D.2知识点4 确定反比例函数的解析式5.已知点P在双曲线y=k≠0上,点P′3,5与点P关于y轴对称,则此双曲线的解析式为y=-.知识点5 反比例函数与一次函数综合6.如图,已知反比例函数y=的图象与直线y=-x+b都经过点A1,4,且该直线与x轴的交点为B.1求反比例函数和直线的解析式;2求△AOB的面积.解1把A1,4代入y=,得k=1×4=4,∴反比例函数的解析式为y=.把A1,4代入y=-x+b,得-1+b=4,解得b=
5.∴直线的解析式为y=-x+
5.2当直线的解析式中y=0时,-x+5=0,解得x=5,则B5,0.∴S△AOB=×5×4=
10.知识点6 反比例函数的实际应用7.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地.当他按照原路返回时,汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是BA.v=320tB.v=C.v=20tD.v=INCLUDEPICTURE导学提分训练.tifINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\导学提分训练.tif\*MERGEFORMATINET 重难点1 反比例函数的图象和性质INCLUDEPICTURE例
1.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\例
1.TIF\*MERGEFORMATINET 已知反比例函数y=,完成下列问题1若k0,则函数分布在第
二、四象限;2若点A2,m和点Bn,-1都在函数y=的图象上,且关于原点成中心对称,则m+n=-1;3当k0时,有点Ax1,y1与点Bx2,y2在反比例函数y=的图象上,若y1y2,则x1与x2的大小关系是0x1x2或x1x20或x10x2;4如图,在同一直角坐标系中,函数y=与y=kx+k2的大致图象是C反比例函数图象除一般常规的性质外,还有一条重要性质——对称性,反比例函数图象既是轴对称对称图形又是中心对称图形.判断同一坐标系中反比例函数与一次函数图象共存的方法假设其中反比例函数解析式与图象吻合,确定k的取值范围,然后确定一次函数的图象,看是否相符.注意反比例函数的增减性需要强调“在每个象限内”.【变式训练1】 2017·菏泽直线y=kxk0与双曲线y=交于Ax1,y1和Bx2,y2两点,则3x1y2-9x2y1的值为36.重难点2 反比例函数中k的几何意义INCLUDEPICTURE例
2.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\例
2.TIF\*MERGEFORMATINET 2017·威海如图,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为-4,0,点B在y轴上,若反比例函数y=k≠0的图象过点C,则该反比例函数的表达式为AA.y=B.y=C.y=D.y=【思路点拨】 由题易得OB=3,所以sin∠OBC=sin∠OAB=,过点C作CE垂直于x轴于点E,设BC与x轴交于点F,则由△OBF∽△ECF可求出OF,EF,CF的长度,即可求出k值.【变式训练2】 2017·衡阳如图,已知点A,B分别在反比例函数y=x0,y=-x0的图象上,且OA⊥OB,则的值为BA.B.2C.D.4【变式训练3】 2017·咸宁在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为1,0,顶点A的坐标为0,2,顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为CA.,0B.2,0C.,0D.3,0“积不变”是反比例函数的核心性质,从反比例函数y=的图象上的任意一点,向两坐标轴作垂线,与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|;从反比例函数y=的图象上的任意一点,向x轴或y轴作垂线,则以这点与垂足、原点为顶点的三角形面积等于||.当题中条件不能直接求出k值时,若有线段相等或角相等时可考虑用全等或相似来解决有关问题.在运用k的几何意义确定k值时,一定要结合函数图象确定k取值的范围,否则易出现符号错误.重难点3 反比例函数与一次函数综合INCLUDEPICTURE例
3.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\例
3.TIF\*MERGEFORMATINET 如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y1=ax+ba,b为常数,且a≠0与反比例函数y2=m为常数,且m≠0的图象交于点A-2,1,B1,n.1求反比例函数和一次函数的解析式;2连接OA,OB,求△AOB的面积.【思路点拨】 本题重点考察一次函数与反比例函数的综合应用.1要求一次函数与反比例函数的解析式,转化为确定A,B两点的坐标,已知A点坐标,从而确定出B点坐标,利用待定系数法即可求出一次函数解析式;2题中不能直接求出△AOB面积,可转化为几个三角形面积之和来求解.【自主解答】 1由题意,得点A-2,1在反比例函数y2=的图象上,∴1=.∴m=-
2.∴反比例函数解析式为y2=-.又∵点B1,n也在反比例函数y2=-的图象上,∴n==-
2.∴B1,-2.∵点A,B在一次函数y1=ax+b的图象上,∴解得∴一次函数解析式为y1=-x-
1.2设直线AB交y轴于点C,∴OC=
1.分别过点A,B作AE⊥y轴,BF⊥y轴,垂足分别为E,F.∵A-2,1,B1,-2,∴AE=2,BF=
1.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC·AE+OC·BF=×1×2+×1×1=.1一般先求反比例函数解析式,因为它只需一个点的坐标;然后再根据反比例函数解析式求另一个交点坐标;最后根据两个点的坐标求一次函数解析式;2先求出一次函数与y轴的交点坐标,然后利用“割补法”,将要求的三角形分割成两个三角形的面积之和.K【变式训练4】 如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=x0的图象交于Am,6,B3,n两点.1求一次函数解析式;2求△AOB的面积.eq\a\vs4\al解1∵Am,6,B3,n两点在反比例函数y=x0的图象上,∴m=1,n=2,即A1,6,B3,2.又∵A1,6,B3,2两点在一次函数y=kx+b图象上,∴解得∴一次函数解析式为y=-2x+
8.2分别过点A,B作AE⊥x轴,BC⊥x轴,垂足分别为E,C点,直线AB交x轴于D点.令-2x+8=0,得x=4,即D4,0.∵A1,6,B3,2,∴AE=6,BC=
2.∴S△AOB=S△AOD-S△BOD=×4×6-×4×2=
8.方法指导求两个交点与坐标原点构成的三角形的面积的关键点与例题相同——一次函数图象与x轴的交点;方法也是割补法,本题知识是用两个三角形的面积之差.拓展提问3探究x轴上是否存在点P,使得PA+PB最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解∵点B坐标为3,2,∴点B3,2关于x轴的对称点为B′3,-2,过点A1,6,点B′3,-2的直线解析式为y=kx+b,可得解得∴直线AB′的解析式为y=-4x+
10.根据题意知,直线AB′与x轴的交点即为所求点P,当y=0时,得-4x+10=0,解得x=.故点P的坐标为,0.变式点利用轴对称性质,在x轴上找一点到反比例函数图象上的两个点的距离和最短.INCLUDEPICTURE课后提分训练.tifINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\课后提分训练.tif\*MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE基础过关.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\基础过关.TIF\*MERGEFORMATINET1.2017·台州已知电流I安培、电压U伏特、电阻R欧姆之间的关系为I=,当电压为定值时,I关于R的函数图象是C2.2017·广东如图,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1xk1≠0与双曲线y=k2≠0相交于A,B两点,已知点A的坐标为1,2,则点B的坐标为AA.-1,-2B.-2,-1C.-1,-1D.-2,-23.反比例函数y=与一次函数y=-kx-k在同一直角坐标系中的图象可能是C4.2017·兰州如图,反比例函数y=x0与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式x+4x0的解集为BA.x-3B.-3x-1C.-1x0D.x-3或-1x0第4题图第5题图5.2017·枣庄如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为-3,4,顶点C在x轴的负半轴上,函数y=x0的图象经过顶点B,则k的值为CA.-12B.-27C.-32D.-366.2016·怀化已知点P3,-2在反比例函数y=k≠0的图象上,则k=-6.7.2016·益阳我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点.反比例函数y=-的图象上有一些整点,请写出其中一个整点的坐标答案不唯一,如-3,1.8.2017·烟台如图,直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P,若OP=,则k的值为3.9.2017·常德如图,已知反比例函数y=的图象经过点A4,m,AB⊥x轴,且△AOB的面积为
2.1求k和m的值;2若点Cx,y也在反比例函数y=的图象上,当-3≤x≤-1时,求函数值y的取值范围.解1∵△AOB的面积为2,∴k=
4.∴m=
1.2函数y=,当-3≤x≤-1时,函数值随着x的增大而减小,∴函数值y的取值范围是-4≤y≤-.10.2016·德州某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示第1天第2天第3天第4天售价x元/双150200250300销售量y双403024201观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;2若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元?解1由表中数据,得xy=6000,∴y=.∴y是x的反比例函数,且函数关系式为y=.2由题意,得x-120y=3000,将y=代入,得x-120·=
3000.解得x=
240.经检验,x=240是原方程的根.答若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为240元.INCLUDEPICTURE满分冲刺.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\满分冲刺.TIF\*MERGEFORMATINET11.2017·滨州在平面直角坐标系内,直线AB垂直于x轴于点C点C在原点的右侧,并分别与直线y=x和双曲线y=相交于点A,B,且AC+BC=4,则△OAB的面积为AINCLUDEPICTURE解析
4.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\解析
4.TIF\*MERGEFORMATINET习题解析A.2+3或2-3B.+1或-1C.2-3D.-112.2017·临沂如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=x0的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N两点,△OMN的面积为
10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是CA.6B.10C.2D.2提示由正方形OABC的边长是6,得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6,求得M6,,N,6,根据三角形的面积列方程得到M6,4,N4,6,作M关于x轴的对称点M′,连接NM′交x轴于P,则NM′的长=PM+PN的最小值,根据勾股定理即可得到结论.13.2017·孝感如图,在平面直角坐标系中,OA=AB,∠OAB=90°,反比例函数y=x0的图象经过A,B两点,若点A的坐标为n,1,则k的值为.提示由A点作AE垂直于y轴于点E,作AF垂直于x轴于点F,过点B作BH垂直AF于点H,证明△AEO≌△AHB.然后将A,B两点坐标表示出来,利用xAyA=xByB可求出n的值,既而求出k.也可将此题与前一题联系起来,构建相同模型来解题.14.2017·呼和浩特已知反比例函数y=k为常数.1若点P1,y1和点P2-,y2是该反比例函数图象上的两点,试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小;2设点Pm,nm0是其图象上的一点,过点P作PM⊥x轴于点M,若tan∠POM=2,PO=O为坐标原点,求k的值,并直接写出不等式kx+0的解集.解1∵-k2-10,∴反比例函数y=在每一象限内y随x的增大而增大.∵-0,∴y1y
2.2∵点Pm,n在反比例函数y=的图象上,且m0,∴n
0.∴OM=m,PM=-n.∵tan∠POM=2,∴==
2.∴n=-2m.又∵PO=,∴m2+n2=
5.∴m=1,n=-
2.∴点P坐标为1,-2.∴-k2-1=-
2.解得k=±
1.
①当k=-1时,不等式kx+0的解集为x-或0x.
②当k=1时,不等式kx+0的解集为x
0.15.2017·黄冈T21,7分已知如图,一次函数y=-2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A-1,m和B,过点A作AE⊥x轴,垂足为点E;过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,且点D的坐标为0,-2,连接DE.1求k的值;2求四边形AEDB的面积. INCLUDEPICTURE答题示范.tifINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\答题示范.tif\*MERGEFORMATINET1把A-1,m代入y=-2x+1中,得m=2+1=3,········1分∴A-1,
3.···························2分∵A-1,3在反比例函数y=的图象上,∴=
3.∴k=-
3.······················3分2设直线与y轴的交点为M,∵一次函数的解析式为y=-2x+1,∴M0,1.∴MD=
3.∵AE=3,·························4分∴AE与MD平行且相等.∴四边形AEDM为平行四边形.····················5分∵D0,-2,∴B,-2.∴S四边形AEDB=S▱AEDM+S△MDB=1×3+××3=.·········································7分。