中考数学考点讲解：图形的平移、位似与旋转

第2课时　图形的平移、位似与旋转INCLUDEPICTURE基础得分训练.tifINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\基础得分训练.tif\*MERGEFORMATINET　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点1　图形的平移1．如图，△ABC中，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为

2.5cm.第1题图第2题图2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4，△ABC的周长为14，将△ABC平移到△DEF的位置．1△ABC平移的方向是沿AD或者是沿BC方向；2△ABC平移的距离是4；3四边形ABFD的周长是22．知识点2　图形的位似3．如图，E－6，0，F－4，－2，以O为位似中心，按比例尺1∶2把△EFO放大，则点F的对应点F′的坐标为BA．－2，－1或2，1B．－8，－4或8，4C．－2，0D．8，－4知识点3　图形的旋转4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为BA．30°B．60°C．90°D．150°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB.连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.求证△BCD≌△FCE.证明∵CD绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°.∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.在△BCD和△FCE中，∴△BCD≌△FCESAS．知识点4　网格作图6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A－3，2，B0，4，C0，2．1画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；2以点C为对称中心，画出△ABC关于点C对称的△A2B2C2；3平移△ABC，使点A的对应点A3的坐标为0，－4，画出平移后对应的△A3B3C3；4将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得△AB4C4，请画出△AB4C4；5以点C为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A5B5C.请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．解如图所示．INCLUDEPICTURE导学提分训练.tifINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\导学提分训练.tif\*MERGEFORMATINET　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重难点1　平移的计算与证明INCLUDEPICTURE例

1.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\例

1.TIF\*MERGEFORMATINET　2017·扬州如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA′.1判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；2在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，求CB′的长．【思路点拨】　1根据平移的特征可知四边形ACC′A′是平行四边形，再根据CD是角平分线，可证明一组邻边相等，即可得四边形ACC′A′的形状；2根据平移的特征可知，B′C′＝BC，∠B′＝∠B＝90°，求出BC的长，就知道CB′的长．【自主解答】　1四边形ACC′A′是菱形，理由如下∵△A′B′C′是由△ABC沿着射线BC平移得到的，∴AA′∥CC′且AA′＝CC′.∴四边形ACC′A′是平行四边形．∵CD平分∠ACC′，∴∠ACA′＝∠A′CC′.∵AA′∥CC′，∴∠AA′C＝∠A′CC′.∴∠ACA′＝∠AA′C.∴AC＝AA′.∴四边形ACC′A′是菱形．2在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cos∠BAC＝，∴AC＝26，BC＝

10.∴CC′＝AA′＝AC＝

26.∵△A′B′C′是由△ABC沿着射线BC平移得到的，∴B′C′＝BC＝

10.∴CB′＝26－10＝

16.【变式训练1】　2017·苏州如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为AA．28B．24C．32D．32－8解决平移相关的问题，关键要紧扣平移的性质特征

①对应线段平行或共线且相等；

②对应点的连线平行且相等；

③平移前后的图形全等．重难点2　位似INCLUDEPICTURE例

2.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\例

2.TIF\*MERGEFORMATINET　在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C2，3，D1，0，现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为4，6或－4，－6．确定以坐标原点为位似中心的位似变换，先根据对应边的长确定位似比，然后根据坐标的变化规律与位似比之间的关系确定变换后的坐标．　已知位似中心和位似比的位似变换，要注意分位似变换的两个图形在位似中心的同侧和两侧两种情况．【变式训练2】　2017·成都如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为AA．4∶9B．2∶5C．2∶3　　D.∶重难点3　旋转的计算与证明INCLUDEPICTURE例

3.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\例

3.TIF\*MERGEFORMATINET　12017·广州如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到图形为A图形的旋转变换为全等变换，在解题时应充分运用其性质解题．如旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数.60°的旋转考虑有没有等边三角形，45°的旋转考虑有没有等腰直角三角形．22016·无锡如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是AA.B．2C．3D．2【变式训练3】　2016·株洲如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是BA．50°B．60°C．70°D．80°重难点4　平移、对称、旋转、位似作图INCLUDEPICTURE例

4.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\例

4.TIF\*MERGEFORMATINET　2016·聊城改编如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A－3，5，B－2，1，C－1，3．1若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为4，0，写出顶点A1，B1的坐标；2若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；3若△ABC和△A3B3C3关于点－1，1位似，位似比为1∶2，画出△A3B3C3，并写出△A3B3C3各顶点的坐标；4将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A4B4C4，写出△A4B4C4的各顶点的坐标，并求出点C旋转的路径长．【自主解答】　1如图，△A1B1C1为所作，∵点C－1，3平移后的对应点C1的坐标为4，0，∴△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C

1.∴点A1的坐标为2，2，点B1的坐标为3，－2．2∵△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，∴A23，－5，B22，－1，C21，－3．3如图，△A3B3C3为所作，A33，－7，B31，1，C3－1，－3．4如图，△A4B4C4为所作，A45，3，B41，2，C43，1．OC＝＝，点C旋转的路径长为＝π.1．平移、对称、旋转与位似作图的一般步骤1确定原图形中的关键点；2按要求作出原图形中各关键点的对应点；3按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

2.点的坐标变化规律1点的坐标对称规律点Ax，y点A′x，－y；Ｋ点Ax，y点A′－x，y；点Ax，y点A′－x，－y；点Ax，y点A′kx，ky或－kx，－ky．2点的坐标平移规律上加下减，右加左减3点的坐标旋转规律以原点O为旋转中心，旋转角为特殊角点Ax，y点A′y，－x；点Ax，y点A′－y，x；点Ax，y点A′－x，－yINCLUDEPICTURE课后提分训练.tifINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\课后提分训练.tif\*MERGEFORMATINET　　　　　　　　　　　　　　　　　　　INCLUDEPICTURE基础过关.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\基础过关.TIF\*MERGEFORMATINET1．2017·枣庄将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是BA．96B．69C．66D．992．2017·泰安如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为CA．30°B．60°C．90°D．120°第2题图第3题图3．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为0，1，AC＝2，则这种变换可以是AA．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度4．2016·台州如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．第4题图第5题图5．2017·兰州如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，＝，则＝．6．2017·北京如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化平移、轴对称、旋转得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程先向左平移2个单位长度，再绕原点O顺时针旋转90°．第6题图第7题图7．2016·大连如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则BD＝．8．2017·宁夏在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A2，3，B1，1，C5，1．1把△ABC平移后，其中点A移到点A14，5，画出平移后得到的△A1B1C1；2把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C

2.解12如图．9．已知如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F.1求证△BCG≌△DCE；2将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．解1证明∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝DC，∠BCG＝90°.∵∠BCG＋∠DCE＝180°，∴∠BCG＝∠DCE＝90°.在△BCG和△DCE中，∴△BCG≌△DCESAS．2四边形E′BGD是平行四边形．理由∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE＝AE′.∵CG＝CE，∴CG＝AE′.∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB＝CD.∴AB－AE′＝CD－CG，即BE′＝DG.∴四边形E′BGD是平行四边形．10．2016·昆明如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A1，1，B4，2，C3，4．1请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；2请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；3在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．解1如图所示．2如图所示．3P2，0．INCLUDEPICTURE满分冲刺.TIFINCLUDEPICTUREF:\\教师用书2018春-火线-数学全国\\满分冲刺.TIF\*MERGEFORMATINET11．2016·菏泽如图，A，B的坐标分别为2，0，0，1，若将线段AB平移至A1B1，则a＋b的值为AA．2B．3C．4D．5第11题图第12题图12．2016·河南如图，已知菱形OABC的顶点O0，0，B2，2，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为BA．1，－1B．－1，－1C．，0D．0，－。