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INCLUDEPICTURE考点题组训练.TIFINCLUDEPICTURE考点题组训练.TIF\*MERGEFORMATINCLUDEPICTURE第1步.tifINCLUDEPICTURE第1步.tif\*MERGEFORMATINCLUDEPICTUREA组.TIFINCLUDEPICTUREA组.TIF\*MERGEFORMAT 2015·课标Ⅰ，2，易sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ A．－B.C．－D.【答案】 D 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.INCLUDEPICTUREB组.TIFINCLUDEPICTUREB组.TIF\*MERGEFORMAT1．2013·重庆，9，易4cos50°－tan40°＝ A.B.C.D．2－1【答案】 C 4cos50°－tan40°＝4sin40°－＝＝＝＝＝＝，故选C.2．2012·重庆，5，易设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tanα＋β的值为 A．－3B．－1C．1D．3【答案】 A 由根与系数关系知而tanα＋β＝＝＝－3，故选A.3．2012·四川，4，易如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝ A.B.C.D.【答案】 B 方法一由题意可得sin∠AED＝cos∠AED＝，sin∠AEC＝＝，cos∠AEC＝＝，∴sin∠CED＝sin∠AED－∠AEC＝×－×＝.方法二在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝，EC＝，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝＝＝.∴sin∠CED＝，故选B.4．2013·四川，13，易设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．【解析】 方法一sin2α＝－sinα⇒2sinαcosα＝－sinα，∵α∈，∴sinα≠0，∴cosα＝－，则sinα＝，∴tanα＝－，而tan2α＝＝＝.方法二同方法一，得cosα＝－，又α∈，则α＝.∴tan2α＝tan＝.【答案】 5．2013·课标Ⅰ，15，中设当x＝θ时，函数fx＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________．【解析】 由辅助角公式得fx＝＝sinx－φ，其中sinφ＝，cosφ＝，由x＝θ时，fx取得最大值得sinθ－φ＝1，∴θ－φ＝2kπ＋，k∈Z，即θ＝φ＋＋2kπ，∴cosθ＝cos＝－sinφ＝－.【答案】 －6．2013·课标Ⅱ，15，中设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________．【解析】 tanθ＝tan＝＝－，∴sinθ＝－cosθ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1得cos2θ＝1，∴cos2θ＝，易知cosθ0，∴cosθ＝－，sinθ＝，故sinθ＋cosθ＝－.【答案】 －7．2014·江西，16，12分，易已知函数fx＝sinx＋θ＋acosx＋2θ，其中a∈R，θ∈.1若a＝，θ＝时，求fx在区间[0，π]上的最大值与最小值；2若f＝0，fπ＝1，求a，θ的值．解1fx＝sin＋cos＝sinx＋cosx－sinx＝cosx－sinx＝sin，因为x∈[0，π]，所以－x∈.故fx在[0，π]上的最大值为，最小值为－
1.2由得由θ∈知cosθ≠0，解得INCLUDEPICTURE第2步.tifINCLUDEPICTURE第2步.tif\*MERGEFORMAT考向 三角函数式的化简与求值1．两角和与差的三角函数公式sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ；Sα＋βsinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ.Sα－βcosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ；Cα＋βcosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ.Cα－βtanα＋β＝；Tα＋βtanα－β＝.Tα－β2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；S2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；C2αtan2α＝.T2α3．公式的变形与应用1两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tanα＋β1－tanαtanβ；tanα－tanβ＝tanα－β1＋tanαtanβ．2升幂公式1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin
2.3降幂公式sin2α＝；cos2α＝.4其他常用变形sin2α＝＝；cos2α＝＝；1±sinα＝；tan＝＝.4．辅助角公式asinα＋bcosα＝sinα＋φ，其中cosφ＝，sinφ＝.5．角的拆分与组合1已知角表示未知角例如，2α＝α＋β＋α－β，2β＝α＋β－α－β，α＝α＋β－β＝α－β＋β，α＝－＝＋.2互余与互补关系例如，＋＝π，＋＝.3非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.INCLUDEPICTURE典.tifINCLUDEPICTURE典.tif\*MERGEFORMAT12013·浙江，6已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝ A.B.C．－D．－22014·课标Ⅰ，8设α∈，β∈，且tanα＝，则 A．3α－β＝B．3α＋β＝C．2α－β＝D．2α＋β＝32014·广东，16，12分已知函数fx＝Asin，x∈R，且f＝.
①求A的值；
②若fθ＋f－θ＝，θ∈，求f.【解析】 1sinα＋2cosα2＝，展开得3cos2α＋4sinα·cosα＝，再由二倍角公式得cos2α＋2sin2α＝0，故tan2α＝＝－＝－，故选C.2由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sinα－β＝cosα＝sin.∵α∈，β∈，∴α－β∈，－α∈，∴由sinα－β＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝，故选C.3
①f＝Asin＝Asin＝A＝，∴A＝.
②fθ＋f－θ＝sin＋sin＝＋＝2cosθ·sin＝cosθ＝.∴cosθ＝，又θ∈，∴sinθ＝.∴f＝sinπ－θ＝sinθ＝.【点拨】 解题1的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题2的关键是利用诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题3的思路是
①由f的值直接求出A的值；
②化简fθ＋f－θ＝可得cosθ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sinθ，再化简f可得答案．INCLUDEPICTURE方法总结.tifINCLUDEPICTURE方法总结.tif\*MERGEFORMAT
1.三角函数式的化简遵循的三个原则1一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．3三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．2．三角函数求值的类型及方法1“给角求值”一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．2“给值求值”给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3“给值求角”实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．INCLUDEPICTURE变式训练.TIFINCLUDEPICTURE变式训练.TIF\*MERGEFORMAT2014·江苏，15，14分已知α∈，sinα＝.1求sin的值；2求cos的值．解1因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.2由1知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.INCLUDEPICTURE第3步.tifINCLUDEPICTURE第3步.tif\*MERGEFORMAT1．2015·河南许昌一模，5已知sin2α＝，则cos2等于 A.B．－C.D．－【答案】 C cos2＝＝＝.2．2015·安徽阜阳期末，7化简＝ A．1B.C.D．2【答案】 C 原式＝＝＝＝＝.3．2014·江西新余三模，6若α∈，且3cos2α＝4sin，则sin2α的值为 A.B．－C．－D.【答案】 B 由已知得3cos2α－sin2α＝2cosα－sinα，∵α∈，∴cosα－sinα≠0，∴3cosα＋sinα＝2，∴cosα＋sinα＝，1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.4．2015·河北邯郸一模，9已知θ为第二象限角，sinπ－θ＝，则cos的值为 A.B.C．±D．±【答案】 C ∵θ为第二象限角，∴2kπ＋θ2kπ＋π，k∈Z，即kπ＋kπ＋，k∈Z，又sinπ－θ＝，∴sinθ＝，cosθ＝－，∴cos＝±＝±.故选C.5．2015·山西运城质检，7已知向量a＝，b＝4，4cosα－，若a⊥b，则sin＝ A．－B．－C.D.【答案】 B ∵a⊥b，∴a·b＝4sin＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin－＝0，∴sin＝.∴sin＝－sin＝－.6．2014·湖北鄂州期末，12＝________.【解析】 原式＝＝＝＝＝＝－
4.【答案】 －47．2015·河南商丘一模，14已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________．【解析】 ∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则2sinα－3cosα·sinα＋cosα＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝，∴＝＝.【答案】 8．2015·山东东营二模，16，12分已知向量a＝sinθ，－2与b＝1，cosθ互相垂直，其中θ∈.1求sinθ和cosθ的值；2若5cosθ－φ＝3cosφ，0φ，求cosφ的值．解1∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.又∵θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.2∵5cosθ－φ＝5cosθcosφ＋sinθsinφ＝cosφ＋2sinφ＝3cosφ，∴cosφ＝sinφ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.又∵0φ，∴cosφ＝.INCLUDEPICTURE第1步.tifINCLUDEPICTURE第1步.tif\*MERGEFORMATINCLUDEPICTUREA组.TIFINCLUDEPICTUREA组.TIF\*MERGEFORMAT1．2015·广东，11，易设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.【解析】 ∵sinB＝，C＝，∴B＝，∴A＝.由正弦定理得＝，∴b＝＝＝
1.【答案】 12．2015·北京，12，易在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________．【解析】 由余弦定理，得cosC＝＝＝，cosA＝＝＝.∴在△ABC中，sinC＝，sinA＝.∴＝＝＝
1.【答案】 13．2015·课标Ⅰ，16，中在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．【解析】 方法一如图所示，过点C作CE∥AD于点E，则∠CEB＝75°，∴CE＝BC＝2，∠BCE＝30°.∴BE2＝BC2＋CE2－2BC·CE·cos∠BCE＝4＋4－8×＝8－
4.此时，BE＝－.延长CD交BA的延长线于点F，则△BCF为等腰三角形，且∠CFB＝30°，FC＝FB，∴cos∠CFB＝＝＝.解得FB＝＋.由题意可知，－＜AB＜＋.方法二如图所示，延长BA，CD交于点E.则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°.设AD＝x，CD＝m，在△AED中，由正弦定理得，AE＝x，DE＝x.∵BC＝2，在△BCE中，由正弦定理得，＝，即sin30°·＝2sin75°，∴x＋m＝＋.∵m＞0，∴0＜x＜
4.而AB＝x＋m－x＝＋－x，∴AB的取值范围是－，＋．【答案】 －，＋4．2015·湖北，13，中如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.【解析】在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝45°.又∵AB＝600m，由正弦定理得＝，代入AB解得BC＝300m.在Rt△BCD中，CD＝BC×tan30°＝300×＝100m．【答案】 1005．2015·课标Ⅱ，17，12分，中△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．1求；2若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．解1S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC，由正弦定理可得＝＝.2因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2DC＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝
6.由1知AB＝2AC，所以AC＝
1.
6.2015·湖南，17，12分，中设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．1证明B－A＝；2求sinA＋sinC的取值范围．解1证明由a＝btanA及正弦定理，得＝＝，所以sinB＝cosA，即sinB＝sin.又B为钝角，因此＋A∈，故B＝＋A，即B－A＝.2由1知，C＝π－A＋B＝π－＝－2A0，所以A∈.于是sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cos2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2＋.因为0A，所以0sinA，因此－2＋≤.由此可知sinA＋sinC的取值范围是.INCLUDEPICTUREB组.TIFINCLUDEPICTUREB组.TIF\*MERGEFORMAT1．2014·江西，4，易在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝a－b2＋6，C＝，则△ABC的面积是 A．3B.C.D．3【答案】 C c2＝a－b2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋
6.
①∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
②由
①和
②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝，故选C.2．2014·课标Ⅱ，4，易钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝ A．5B.C．2D．1【答案】 B 由三角形面积公式可知，S＝AB·BC·sinB＝.又∵AB＝1，BC＝，∴sinB＝，∴B＝或B＝.由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB．当B＝时，得AC＝1，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；当B＝时，得到AC＝，故选B.3．2014·广东，12，易在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________．【解析】 由余弦定理可得bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a，所以a＝2b，所以＝
2.【答案】 24．2013·福建，13，易如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【解析】 cos∠BAD＝cos＝sin∠BAC＝.故在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝3，故BD＝.【答案】 5．2014·天津，12，易在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．【解析】 由2sinB＝3sinC得2b＝3c，即b＝c，代入b－c＝a，整理得a＝2c，故cosA＝＝＝－.【答案】 －6．2014·课标Ⅰ，16，中已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且2＋bsinA－sinB＝c－bsinC，则△ABC面积的最大值为________．【解析】 ∵a＝2，2＋bsinA－sinB＝c－bsinC，∴a＋bsinA－sinB＝c－bsinC.由正弦定理得a＋ba－b＝c－b·c，∴a2－b2＝c2－bc.由余弦定理得cosA＝＝，∴A＝60°且b2＋c2－4＝bc，∴b2＋c2－4＝bc≥2bc－4，当且仅当b＝c时等号成立．∴bc≤4，∴S△ABC＝bcsinA≤，∴△ABC面积的最大值为.【答案】 7．2014·陕西，16，12分，中△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.1若a，b，c成等差数列，证明sinA＋sinC＝2sinA＋C；2若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．解1证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－A＋C]＝sinA＋C，∴sinA＋sinC＝2sinA＋C．2∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为.8．2014·安徽，16，12分，中设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.1求a的值；2求sin的值．解1因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinB·cosB.由正、余弦定理得a＝2b·.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，所以a＝
2.2由余弦定理得cosA＝＝＝－.由于0Aπ，所以sinA＝＝＝.故sin＝sinAcos＋cosAsin＝×＋×＝.INCLUDEPICTURE第2步.tifINCLUDEPICTURE第2步.tif\*MERGEFORMAT考向1 利用正、余弦定理解三角形1．正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R其中R是△ABC外接圆的半径a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；＝2RcosA＝；cosB＝；cosC＝2．利用正、余弦定理解三角形1已知两角一边，用正弦定理，只有一解．2已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解 上表中A为锐角时，absinA，无解．A为钝角或直角时，a＝b，ab均无解．3已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解．4已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．在利用正、余弦定理求解三角形中的三角函数问题时，要注意角的范围与三角函数符号之间的联系．INCLUDEPICTURE典
1.tifINCLUDEPICTURE典
1.tif\*MERGEFORMAT2014·湖南，18，12分如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.1求cos∠CAD的值；2若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．【思路导引】 1由于△ADC的三边已知，因此可以直接利用余弦定理求解；2根据同角三角函数关系式以及两角差的正弦公式求出∠BAC的正弦，然后利用正弦定理求出BC.【解析】 1在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝.故由题设知，cos∠CAD＝＝.2设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，所以sin∠CAD＝＝＝，sin∠BAD＝＝＝.于是sinα＝sin∠BAD－∠CAD＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BAD·sin∠CAD＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝，故BC＝＝＝
3.INCLUDEPICTURE方法总结.tifINCLUDEPICTURE方法总结.tif\*MERGEFORMAT解三角形的常见题型及求解方法1已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.2已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C.3已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.4已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－A＋B，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．INCLUDEPICTURE变式训练.TIFINCLUDEPICTURE变式训练.TIF\*MERGEFORMAT2014·北京，15，13分如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.1求sin∠BAD；2求BD，AC的长．解1在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝，所以sin∠BAD＝sin∠ADC－∠B＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.2在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝
3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝
49.所以AC＝
7.考向2 利用正、余弦定理判定三角形形状三角形中常见的结论1A＋B＋C＝π.2在三角形中大边对大角，反之亦然．3任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4三角形内的诱导公式sinA＋B＝sinC；cosA＋B＝－cosC；tanA＋B＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.5在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.6△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.7△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．INCLUDEPICTURE典
2.tifINCLUDEPICTURE典
2.tif\*MERGEFORMAT12013·陕西，7设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为 A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定22015·陕西榆林质检，16，12分在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝2b＋csinB＋2c＋bsinC.
①求A的大小；
②若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解析】 1由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sinB＋C＝sin2A，即sinπ－A＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈0，π，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝，故选B.2
①由已知，根据正弦定理得2a2＝2b＋cb＋2c＋bc，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，又0Aπ，所以A＝π.
②由
①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.因为0B，0C，故B＝C＝，所以△ABC是等腰的钝角三角形．【点拨】 解题1的关键是利用正弦定理进行边角互化，将已知式子转化为角的关系；解题2
①的思路是利用正弦定理将关系式转化为关于边的关系，再用余弦定理求角；解题
②时注意应用
①的结论作为条件并结合正弦定理，求出角的正弦值，进而求角判断三角形形状．INCLUDEPICTURE方法总结.tifINCLUDEPICTURE方法总结.tif\*MERGEFORMAT利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路1“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．2“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．INCLUDEPICTURE变式训练.TIFINCLUDEPICTURE变式训练.TIF\*MERGEFORMAT2012·上海，16在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是 A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】 C ∵sin2A＋sin2Bsin2C，由正弦定理可得a2＋b2c2，∴cosC0，得C为钝角，故选C.考向3 利用正、余弦定理求有关三角形的面积三角形的面积公式设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.1S＝ahh为BC边上的高；2S＝absinC＝bcsinA＝acsinB；3S＝2R2sinAsinBsinCR为△ABC外接圆半径；4S＝；5S＝；6S＝prp同5，r为△ABC内切圆的半径．INCLUDEPICTURE典
3.tifINCLUDEPICTURE典
3.tif\*MERGEFORMAT2014·浙江，18，14分在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.1求角C的大小；2若sinA＝，求△ABC的面积．【思路导引】 1应用降幂公式化为二倍角，再进行三角恒等变换，得到角A，B的关系式，从而求角C；2应用正弦定理求出a的值，再用三角函数的两角和的公式求得sinB，最后求出面积．【解析】 1由题意得－＝sin2A－sin2B，即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，sin＝sin.由a≠b，得A≠B，又A＋B∈0，π，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝.2由c＝，sinA＝，＝，得a＝.由ac，得AC，从而cosA＝，故sinB＝sinA＋C＝sinAcosC＋cosAsinC＝，所以△ABC的面积为S＝acsinB＝.【点拨】 解题1时注意对角的范围的判断；解题2时注意对角大小的比较以便得到cosA的符号为正．INCLUDEPICTURE方法总结.tifINCLUDEPICTURE方法总结.tif\*MERGEFORMAT与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略1求三角形的面积．对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．2已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．INCLUDEPICTURE变式训练.TIFINCLUDEPICTURE变式训练.TIF\*MERGEFORMAT2013·湖北，17，12分在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cosB＋C＝
1.1求角A的大小；2若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．解1由cos2A－3cosB＋C＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即2cosA－1cosA＋2＝0，解得cosA＝或cosA＝－2舍去．因为0Aπ，所以A＝.2由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝
20.又b＝5，所以c＝
4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.考向4 解三角形在实际问题中的应用1．常见的几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角方位角从某点的正北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角，方位角的范围是0°，360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北南偏东西××度eq\a\vs4\al北偏东m° eq\a\vs4\al南偏西n°坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tanα坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比INCLUDEPICTURE典
4.tifINCLUDEPICTURE典
4.tif\*MERGEFORMAT2013·江苏，18，16分如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.1求索道AB的长；2问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？3为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【思路导引】 1利用正弦定理来解；2利用余弦定理构造函数，然后再求最值；3根据速度、路程、时间三者之间的关系求范围．【解析】 1在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－A＋C]＝sinA＋C＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由＝，得AB＝×sinC＝×＝1040m．所以索道AB的长为1040m.2设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了100＋50tm，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝100＋50t2＋130t2－2×130t×100＋50t×＝20037t2－70t＋50．因为0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝min时，甲、乙两游客距离最短．3由＝，得BC＝×sinA＝×＝500m．乙从B出发时，甲已走了50×2＋8＋1＝550m，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在单位m/min范围内．INCLUDEPICTURE方法总结.tifINCLUDEPICTURE方法总结.tif\*MERGEFORMAT
1.解三角形应用题的常见情况及方法1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程组，解方程组得出所要求的解．2．解三角形应用题的一般步骤INCLUDEPICTURE变式训练.TIFINCLUDEPICTURE变式训练.TIF\*MERGEFORMAT2014·浙江，17如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．仰角θ为直线AP与平面ABC所成角【解析】 如图，过点P作PD⊥BC，垂足为D.∵平面MCB⊥平面ABC，且平面MCB∩平面ABC＝BC，∴PD⊥平面ABC.连接AD，∴∠PAD为由点A观察点P的仰角θ.设CD＝x，∵∠BCM＝30°，∴PD＝x.在Rt△ABC中，AB＝15，AC＝25，∴sin∠ACB＝＝，∴cos∠ACB＝.由余弦定理得AD＝＝.∴tanθ＝＝＝，∴当－＝0，即x＝时，tanθ最大，最大值为.【答案】 INCLUDEPICTURE第3步.tifINCLUDEPICTURE第3步.tif\*MERGEFORMAT1．2015·山西朔州一模，6若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】 C 由于sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，结合正弦定理可知，a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13，由于cosC＝＝0，∴C为钝角，故△ABC是钝角三角形．2．2015·山东济宁一模，5△ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A等于 A.B.C.D.【答案】 D 由题意得c＝2b，cosA＝＝＝，∴A＝.3．2015·湖南常德调研，6在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 A.B.C.D.【答案】 B 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcosB，即2＝22＋AB2－2×2AB·cos60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是ABsin60°＝.4．2015·江西上饶一模，5已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于 A.B.C.D.【答案】 B 由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈0，π，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.5．2014·山东济南质检，5张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 A．2kmB．3kmC．3kmD．2km【答案】 B 画出示意图如图，由条件知AB＝24×＝
6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝
3.6．2015·广东惠州模拟，10在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝________．【解析】 ∵S△ABC＝bcsinA＝×＝，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋42－2×1×4×＝13，∴a＝，∵＝＝＝2RR是△ABC的外接圆的半径．∴＝2R＝＝＝.【答案】 7．2015·河南南阳质检，15在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则＋的值是________．【解析】 ∵＋＝6cosC，∴＝6·，∴a2＋b2＝c
2.∴＋＝＝·＝＝＝＝
4.【答案】 48．2015·四川成都三模，14已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心，tanA＝，若＋＝2m，则m＝________．【解析】 设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，由tanA＝，A为锐角，得sinA＝，cosA＝.由＋＝2m两边平方得，c2＋b2＋2·bccosA＝4R2m2R为△ABC外接圆的半径．由正弦定理得cos2B＋cos2C＋2cosBcosC·cosA＝m2，
①又cosC＝－cosB＋A＝sinAsinB－cosA·cosB，则cosC＝sinB－cosB，
②将
②代入
①并化简得m2＝，由已知得m0，∴m＝.【答案】 9．2015·河北秦皇岛一模，17，12分在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足2·＝a2－b＋c
2.1求角A的大小；2求2cos2－sin的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．解1由已知得2bccosA＝a2－b＋c2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，得4bccosA＝－2bc，∴cosA＝－，∵0Aπ，∴A＝.2∵A＝，∴B＝－C，0C.2cos2－sin＝2×＋sin＝＋2sin，∵0C，∴C＋，∴当C＋＝时，2cos2－sin取最大值＋2，此时B＝C＝.10．2015·福建三明模拟，17，13分已知函数fx＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x.1求fx的最小正周期和值域；2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f＝2且a2＝bc，试判断△ABC的形状．解1fx＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以T＝π，fx∈[－2，2]．2因为f＝2sin＝2，所以sin＝
1.因为0Aπ，所以A＋＝，所以A＝.由a2＝b2＋c2－2bccosA及a2＝bc，得b－c2＝0，所以b＝c，所以B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．11．2015·安徽八校联考，18，12分在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量q＝2a，1，p＝2b－c，cosC，且p∥q.1求sinA的值；2求三角函数式＋1的取值范围．解1∵p∥q，∴2acosC＝2b－c，根据正弦定理，得2sinAcosC＝2sinB－sinC.又∵A＋B＋C＝π，∴sinB＝sinA＋C＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinC＝cosAsinC.∵0Cπ，∴sinC≠0，∴cosA＝.又∵0Aπ，∴A＝，∴sinA＝.2＋1＝1－＝1－2cos2C＋2sinCcosC＝sin2C－cos2C＝sin，∵0C，∴－2C－，∴－sin≤1，∴－1sin≤，∴＋1的取值范围是－1，]．INCLUDEPICTURE专题综合测试.tifINCLUDEPICTURE专题综合测试.tif\*MERGEFORMAT时间120分钟__分数150分
一、选择题共12小题，每小题5分，共60分1．2013·湖南，3在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于 A.B.C.D.【答案】 D 由正弦定理可知，2sinA·sinB＝sinB，因为B为三角形的内角，所以sinB≠0，故sinA＝，又因为△ABC为锐角三角形，所以A∈，故A＝，故选D.2．2014·山东潍坊一模，6已知向量a＝cosx，sinx，b＝，，a·b＝，则cos等于 A．－B．－C.D.【答案】 D 由a·b＝，得cosx＋sinx＝，∴cosx＋sinx＝，即cos＝，故选D.3．2015·山东济宁月考，6计算tan－＝ A．4B．－4C．2D．－2【答案】 D 原式＝－＝－＝＝－
2.4．2015·安徽马鞍山模拟，6在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若c－acosB＝2a－bcosA，则△ABC的形状为 A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】 D ∵c－acosB＝2a－bcosA，C＝π－A＋B．∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinA·cosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinB·cosA∴cosAsinB－sinA＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝或B＝A或B＝π－A舍去，故选D.5．2015·安徽合肥六校联考，6已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P2，3，则tan＝ A．－B.C.D．－【答案】 D 由题意知，tanα＝，则tan2α＝＝＝－，∴tan＝＝－.6．2013·辽宁，6在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且ab，则∠B＝ A.B.C.D.【答案】 A 由正弦定理得sinBsinAcosC＋sinCcosA＝sinB，即sinBsinA＋C＝sinB，因为sinB≠0，sinA＋C＝sinB，所以sinB＝，所以B＝或，又因为ab，所以∠B＝，故选A.7．2015·湖南益阳质检，7已知cosα＝，cosα－β＝，且0βα，则β等于 A.B.C.D.π【答案】 C ∵0βα，－－β0，∴0α－β，∴sinα＝，sinα－β＝.∴cosβ＝cos[α－α－β]＝cosαcosα－β＋sinαsinα－β＝×＋×＝，∴β＝.8．2013·天津，6在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝ A.B.C.D.【答案】 C 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝2＋32－2××3×＝5，解得AC＝.再由正弦定理得sin∠BAC＝＝＝，故选C.9．2015·福建泉州一模，6若sin＝，则cos＝ A．－B．－C.D.【答案】 A ∵cos＝sin＝，即cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，故选A.10．2011·天津，6如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为 A.B.C.D.【答案】 D 设BD＝1，则AB＝AD＝，BC＝
2.在△ABD中，由余弦定理得cosA＝－，所以sinA＝，在△ABC中，由正弦定理＝，得sinC＝，故选D.11．2014·四川成都五校联考，5已知锐角α满足cos2α＝cos，则sin2α等于 A.B．－C.D．－【答案】 A ∵α∈，∴2α∈0，π，－α∈.又cos2α＝cos，∴2α＝－α或2α＋－α＝0，∴α＝或α＝－舍，∴sin2α＝sin＝，故选A.12．2014·江西南昌三模，8设α∈，则＋的最小值为 A.B.C.D．1【答案】 D ＋＝＝＝－2sinαcosα.令sinαcosα＝t，则t＝sin2α.∵α∈，∴t∈.令gt＝－2t，gt在上是减函数，∴当t＝时，gtmin＝2－1＝1，故选D.
二、填空题共4小题，每小题4分，共16分13．2012·北京，11在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________．【解析】 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得b2＝22＋7－b2－2×2×7－b×，整理得15b＝60，即b＝
4.【答案】 414．2014·福建，12在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．【解析】 由＝，得sinB＝sinA＝×＝1，∴B＝90°，故C＝30°，∴S△ABC＝AC·BCsinC＝×4×2×＝
2.【答案】 215．2011·上海，6在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米．【解析】 如图，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理＝得AC＝AB·＝2×＝千米.．【答案】 16．2012·江苏，11设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．【解析】 ∵0α，∴α＋.又cos＝，∴sin＝＝，∴sin＝2sincos＝2××＝，cos＝2cos2－1＝2×－1＝，∴sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.【答案】
三、解答题共6小题，共74分17．12分2014·四川，16已知函数fx＝sin.1求fx的单调递增区间；2若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．解1因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z.由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以，函数fx的单调递增区间为，k∈Z.2由已知，有sin＝coscos2α－sin2α，所以sinαcos＋cosαsin＝cos2α－sin2α．即sinα＋cosα＝cosα－sinα2sinα＋cosα．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有cosα－sinα2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.18．12分2013·课标Ⅱ，17△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝bcosC＋csinB.1求B；2若b＝2，求△ABC面积的最大值．解1由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，
①又A＝π－B＋C，故sinA＝sinB＋C＝sinBcosC＋cosBsinC，
②由
①②和C∈0，π，得sinB＝cosB.又B∈0，π，所以B＝.2△ABC的面积S＝acsinB＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝a2＋c2－2accos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤＝4＋2，当且仅当a＝c时，等号成立．此时S＝×4＋2＝＋1，因此△ABC面积的最大值为＋
1.思路点拨解本题的思路是先用正弦定理化边为角，求出B，再用基本不等式求面积的最值，注意等号成立的条件．19．12分2012·重庆，18设fx＝4cossinωx－cos2ωx＋π，其中ω
0.1求函数y＝fx的值域；2若fx在区间上为增函数，求ω的最大值．解1fx＝4·sinωx＋cos2ωx＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋1，∵－1≤sin2ωx≤1，∴函数y＝fx的值域为[1－，1＋]．2∵y＝sinx在每个闭区间k∈Z上为增函数，∴fx＝sin2ωx＋1ω0在每个闭区间k∈Z上为增函数．依题意知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝
0.∴解得ω≤，故ω的最大值为.20．12分2013·四川，17在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sinA－BsinB＋cosA＋C＝－.1求cosA的值；2若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．解1由2cos2cosB－sinA－BsinB＋cosA＋C＝－，得[cosA－B＋1]cosB－sinA－BsinB－cosB＝－，即cosA－BcosB－sinA－BsinB＝－.则cosA－B＋B＝－，即cosA＝－.2由cosA＝－，0Aπ，得sinA＝，由正弦定理，得sinB＝＝.由题知ab，则AB，故B＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即42＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7舍去．故向量在方向上的投影为||cosB＝.21．12分2015·辽宁沈阳一模，17如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝
0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离计算结果精确到
0.01km，≈
1.414，≈
2.449．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝
0.1，又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，＝，即AB＝，又sin15°＝sin60°－45°＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝×－×＝，所以AB＝＝，因此，BD＝≈
0.33km．故B，D的距离约为
0.33km.22．14分2015·山东滨州一模，16已知函数fx＝2cos2x－sin.1求函数fx的最大值，并写出fx取最大值时x的取值集合；2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若fA＝，b＋c＝2，求实数a的最小值．解1fx＝2cos2x－sin＝1＋cos2x－＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin.∴函数fx的最大值为
2.要使fx取最大值，则sin＝1，∴2x＋＝2kπ＋k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z.故fx取最大值时x的取值集合为.2由题意知，fA＝sin＋1＝，化简得sin＝.∵A∈0，π，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝.在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝b＋c2－3bc.由b＋c＝2，知bc≤＝1，即a2≥
1.∴当b＝c＝1时，实数a的最小值为
1.。
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