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全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设为同阶方阵，则必有（D）A．B．C．D．．2．设阶方阵满足，则必有（C）A．B．C．D．．3．设为三阶方阵，且，则（A）A．B．C．4D．16．4．若同阶方阵与等价，则必有（C）A．B．与相似C．D．5．设，则（C）A．线性无关B．可由线性表示C．可由线性表示D．的秩等于3，可由线性表示．6．设是非齐次方程组的解，是对应齐次方程组的解，则一定有一个解是（D）A．B．C．D．，是的解．7．若3阶方阵与对角阵相似，则下列说法错误的是（B）A．B．C．有三个线性无关特征向量D．已知的特征值是．若，则是的特征值，矛盾．8．齐次方程的基础解系所含向量个数是（C）A．0B．1C．2D．3．9．若与正交，则（A）A．B．C．0D．1内积，．10．对称矩阵是（）A．负定矩阵B．正定矩阵C．半正定矩阵D．不定矩阵，，是正定矩阵．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设均为三阶可逆方阵，且，则____________．．12．四阶行列式中项的符号为____________．行标按自然数顺序排列为，列标的逆序数为，符号为正．本题超出教材范围．13．设，则的伴随阵____________．．14．设，且，则____________．，，则．15．设三阶方阵，其中为的列向量，且，若，则____________．．16．三元方程组的通解是____________．，，通解是，是任意常数．17．设，则的特征值是____________．，的特征值是．18．若三阶矩阵的特征值分别为，则____________．的特征值分别为，．19．若与相似，则____________．与相似，则，即，．20．实对称矩阵的正交相似标准形矩阵是____________．，的特征值是，的正交相似标准形矩阵是．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式．解．22．设，是三阶方阵，且满足，求．解因为，所以可逆，由，得，，．23．设，试求向量组的秩和一个极大无关组．解，向量组的秩是2，是向量组的一个极大无关组．24．设四元方程组，问取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解．解，时，，该方程组有解，此时，，该方程组通解为，是任意常数．25．设矩阵，，矩阵由矩阵方程确定，试求．解，，．26．求正交变换，化二次型为标准形．解二次型的矩阵为，，的特征值为，．对于，解齐次线性方程组，，，，正交化，，单位化，；对于，解齐次线性方程组，，，单位化．令，则是正交矩阵，使得，经过正交变换，二次型化为标准形．
四、证明题（本题6分）27．证明任意4个3维向量组线性相关．证设是任意的3维向量，．令，即，得齐次线性方程组，方程个数小于未知量个数，齐次线性方程组有非零解，线性相关．PAGE。
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