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第35课时解直角三角形60分
一、选择题每题6分,共24分1.[2016·长沙]如图35-1,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30m的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为CA.mB.30sinαmC.30tanαmD.30cosαm2.[2016·南充]如图35-2,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB长是CA.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里【解析】 根据余弦函数定义“cosA=”得AB=PA×cosA=2cos55°.故选C.3.[2016·济宁]如图35-3,斜面AC的坡度CD与AD的比为1∶2,AC=3m,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连,若AB=10m,则旗杆BC的高度为AA.5mB.6mC.8mD.3+m【解析】 设CD=x,则AD=2x,由勾股定理可得,AC=x,∵AC=3m,∴x=3,∴x=3m,∴CD=3m,∴AD=2×3=6m,在Rt△ABD中,BD=8m,∴BC=8-3=5m.4.[2016·衡阳]如图35-4,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100m到达F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB单位m为CA.50B.51C.50+1D.101【解析】 由矩形CDFE,得DF=CE=100m,由矩形EFBG,得CD=GB=1m,因为∠ACE=30°,∠AEG=60°,所以∠CAE=30°,所以CE=AE=100m.在Rt△AEG中,AG=sin60°·AE=×100=50m,所以AB=50+
1.故选C.
二、填空题每题6分,共18分5.[2016·邵阳]如图35-5,某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B,如果AB=2000m,则他实际上升了__1__000__m.【解析】 图35-5过点B作BC⊥水平面于点C,在Rt△ABC中,∵AB=2000m,∠A=30°,∴BC=AB·sin30°=2000×=1000m.6.[2016·宁波]如图35-6,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为9m,则旗杆AB的高度是__9+3__m.结果保留根号【解析】 在Rt△ACD中,∵tan∠ACD=,∴tan30°=,∴AD=3m,在Rt△BCD中,∵∠BCD=45°,∴BD=CD=9m,∴AB=AD+BD=3+9m.7.[2016·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑,为测量其高度,如图35-7,一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m.【解析】 ∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°,∴∠ADB=30°,在Rt△ABD中,tan30°=,∴=,∴AD=45,∵在楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,∴在Rt△ACD中,CD=AD·tan60°=45×=135m.
三、解答题共20分8.10分[2016·台州]如图35-8,这是一把可调节座椅的侧面示意图,已知枕头上的点A到调节器点O处的距离为80cm,AO与地面垂直.现调节靠背,把OA绕点O旋转35°到OA′处.求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米?结果取整数参考数据sin35°≈
0.57,cos35°≈
0.82,tan35°≈
0.70图35-8 解如答图,过点A′作A′B⊥AO,交AO于B点,在Rt△A′BO中cos35°=,OB=OA′·cos35°=80×
0.82=
65.6≈66,∴AB=80-66=14cm,答降低了14cm.9.10分[2016·遂宁]如图35-9,一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高,在河岸边选择一点C,从C处测得树梢A的仰角为45°,沿BC方向后退10m到点D,再次测得点A的仰角为30°,求树高.结果精确到
0.1m.参考数据≈
1.414,≈
1.732图35-9解由题意,∠B=90°,∠D=30°,∠ACB=45°,DC=10m,设CB=x,则AB=x,DB=x,∵DC=10m,∴x=x+10,∴-1x=10,解得x==5+5≈5×
1.732+5≈
13.
7.答树高为
13.7m.24分10.12分[2016·成都]如图35-10,登山缆车从点A出发,途经点B后到达终点C,其中AB段与BC段的运行路程均为200m,且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°,BC段的运行路线与水平面的夹角为42°,求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.参考数据sin42°≈
0.67,cos42°≈
0.74,tan42°≈
0.90图35-10解在直角△ADB中,∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,AB=200m,∴BD=AB=100m,在直角△CEB中,∵∠CEB=90°,∠CBE=42°,CB=200m,∴CE=BC·sin42°≈200×
0.67=134m,∴BD+CE≈100+134=234m.答缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m.11.12分[2016·泰州]如图35-11,某仓储中心有一斜坡AB,其坡度为i=1∶2,顶部A处的高AC为4m,B,C在同一水平地面上.1求斜坡AB的水平宽度BC;2矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=
2.5m,EF=2m,将该货柜沿斜坡向上运送,当BF=
3.5m时,求点D离地面的高.参考数据≈
2.236,结果精确到
0.1m图35-11 解1∵坡度为i=1∶2,AC=4m,∴BC=4×2=8m;2作DS⊥BC,垂足为S,且与AB相交于H.∵∠DGH=∠BSH,∠DHG=∠BHS,∴∠GDH=∠SBH,∴=,∵DG=EF=2m,∴GH=1m,∴DH=m,BH=BF+FH=
3.5+
2.5-1=5m,设HS=xm,则BS=2xm,∴x2+2x2=52,∴x=m,∴DS=+=2≈
4.5m.∴点D离地面的高为
4.5m.14分12.14分[2017·泸州]如图35-12,海中有两个灯塔A,B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点C处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D,这时测得灯塔A在北偏西60°方向上,求灯塔A,B间的距离.计算结果用根号表示,不取近似值解如答图,作CE⊥AB于点E,AF⊥CD于点F,∴∠AFC=∠AEC=90°.∵∠FCE=90°,∠ACE=45°,∴四边形AFCE是正方形.设AF=FC=CE=AE=x,则FD=x+30,∵tanD=,∠AFD=90°,∠D=30°,∴=,解得x=15+15,∴AE=CE=15+
15.∵tan∠BCE=,∠CEB=90°,∠BCE=30°,∴=,解得BE=15+
5.∴AB=AE+BE=15+15+15+5=20+
30.∴A,B间的距离为20+30海里.图35-1图35-2图35-3图35-4图35-51第5题答图图35-6图35-7第8题答图第11题答图图35-12第12题答图PAGE。