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一.选择题共2小题
1.已知锐角ZiABC的面积为3/jBC=4CA=3则角C的大小为A.75°B.60°C.45°D.30°
2.△ABC中,ab、c分别为ZAZB、ZC的对边如果ab、c成等差数列,4=3,△ABC的面积为3那么b等于A.冬2B.1+V3c.*D.2+V3二.填空题共2小题如图,ZkABC中,AB=AC=2BC=2必,点D在BC边上,匕ADC=45,则AD的长度等于若ZXABC的面积为用,BC=2C=60,则边AB的长度等于三.解答题共26小题设函数fx=sinxcosx-J^cosx+rcosxxGRI求fx的最小正周期;ID若函数y=fx的图象按比―—平移后得到的函数y=gx的图象,求y=gx在0上的424最大值.在^ABC中,角ABC所对的边分别为abc.已知sinA+sinC=psinBpGR.且ac=i
2.I当P=3b=时,求a,c的值;H若角B为锐角,求p的取值范围.在AABC中,内角ABC的对边分别为abc已知B二C2b二扼(I)求cosA的值;(口)cos(2A+—)的值.4叙述并证明余弦定理.
9.在AABC中,内角ABC的对边分别为abc.已知cosA-2cosC=2c-£cosBb
(1)求鸟区的值;
(2)若cosB=l△ABC的周长为5求b的长.sinA
410.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、casinAsinB+bcos2A=J^a.I求忑;U若C2=b2+V3a2求B.a
11.在左ABC中,角ABC的对边是abc已知3acosA=ccosB+bcosC1求cosA的值2若a=lcosB+cosC二方求边c的值.在△gC中,角A、B、C的对边分别为abc
(1)若sin(A+—)二2cosA,求A的值;
(2)若c0SA=—b=3c,求sinC的值.63设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=lb=2cosC—4I求△ABC的周长;II求cosA-C的值.TT已知函数fx=4cosxsinx+—一1・6I求fx的最小正周期U求fx在区间[-号,旨]上的最大值和最小值.15在八ABC中,角A、B、C所对的边分别为abc已知c°s2C=-*.I求sinC的值;口当a=22sinA=sinC时,求b及c的长.
16.设^ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c且3b2+3c2-I求sinA的值;TTTT2sinA+—sinB+C+—H求—的值.一cos2A在ZkABC中,已知B=45,D是BC边上的一点,AD=10AO14DO6求AB的长.在△ABC中,abc分别为内角ABC的对边,且2asinA=2b+csinB+2c+bsinC.求A的大小;求sinB+sinC的最大值.已知函数fx=J^sin2x-2sin2x.i求函数fx的最大值;H求函数fX的零点的集合.设函数fx=sin久^一二一23$2*^+1・468I求fx的最小正周期.n若y=gX与y=fx的图象关于直线x=l对称,求当[0巡]时y=gx的最大值.3在ZkABC中,ABC所对的边分别为abc人己,1+扼『2b61求C;2若五疝二1+必,求abc.在锐角△ABC中,abc分别为角ABC所对的边,且必*2csinA.确定角C的大小;若cM,且△ABC的面积为虫度,求a+b的值.2x=2sin兀-xcosx.的最小正周期;
24.在^ABC中,角ABC的对边分别为
③,bcB二兰,cosA二£b^.35I求sinC的值;口求左ABC的面积•设^ABC的内角ABC的对边分别为abc.己知b2+c2=a2+V3bcJ求:A的大小;2sinBcosC-sinB-C的值.巳知函数fx=2cos2ux+2sinuxcoscox+1xGRu0的最小值正周期是兰.2I求3的值;n求函数fX的最大值,并且求使fx取得最大值的x的集合.在^ABC中,内角ABC对边的边长分别是abc己知a2+c2=2b
2.若且A为钝角,求内角A与C的大小;4求sinB的最大值.s—3cos—.421求函数fX的最小正周期及最值;
30.在ZkABC中,内角ABC对边的边长分别是abc.已知c二2C=—•3若△ABC的面积等于求ab;若sinC+sinB-A=2sin2A求左ABC的面积.答案与评分标准选择题(共2小题)(2009>福建)己知锐角^ABC的面积为3扼,BC=4CA=3则角C的大小为()A.75°B.60°C.45°D.30°解三角形计算题先利用三角形面积公式表示出三角形面积,根据面积为3/和两边求得sinC的值,进而求得C.解S=」BC・AC・sinC=Jx4x3xsinC=3V^2・•・sinC=^2•.•三角形为锐角三角形••・060故选B点评本题主要考查了解三角形的实际应用.利用三角形的两边和夹角求三角形面积的问题,是三角形问题中常用的思路.(2004>贵州)^ABC中,ab、c分别为匕A、匕B、匕C的对边,如果ab、c成等差数列,ZB=30°△ABC的面积为旦那么b等于()2A.B.1+73C.D.2+732考点解三角形专题计算题分析先根据等差中项的性质可求得2b=a+c两边平方求得ab和c的关系式,利用三角形面积公式求得ac的值进而把ab和c的关系式代入余弦定理求得b的值.解答解..•ab、c成等差数列,二2b=a+c得a2+c2=4b2-2ac>又...△ABC的面积为皂ZB=30°2故由S△戚=^acsinB=^acsin30得ac=6・・.・a2+c2=4b2-
12.解得bJ+2必・又b为边长,・.・b二1+据・故选B点评本题主要考查了余弦定理的运用.考查了学生分析问题和基本的运算能力.填空题(共2小题)(2011-福建)如图,△ABC中,AB=AC=2BC=2橱,点D在BC边上,ZADO45,则AD的长度等于D考点解三角形专题计算题分析由A向BC作垂线,垂足为E根据三角形为等腰三角形求得BE进而再RtAABE中,利用BE和AB的长求得B则AE可求得,然后在RtAADE中利用AE和ZADC求得AD.解答解由A向BC作垂线,垂足为E.•AB=AC・•・be=Abc=Vs2AB=2・•・海日=耍如AB2・•・B=30°・•・AE=BE・tan30°=lZADC=45°.・.ad=———=V2sinZ^ADC故答案为Vs点评本题主要考查了解三角形问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力.2011・福建若△ABC的面积为M,BC=2C=60,则边AB的长度等于
2.考点解三角形专题计算题分析根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,让其等于化列出关于AC的方程,求出方程的解即可得到AC的值,然后根据有一个角为60的等腰三角形为等边三角形,得到AABC即可得到三角形的三边相等,即可得到边AB的长度.解答解根据三角形的面积公式得S=』BC・ACsinC=1x2ACsin60°=必AC=75,222解得AC=2又BC=2且C=60,所以^ABC为等边三角形,则边AB的长度等于
2.故答案为2点评此题考查学生灵活运用三角形的面积公式化简求值,掌握等边三角形的判别方法,是一道基础题.解答题共26小题2011*重庆设函数fx=sinxcosx-J^cosx+ncosxxGR求fx的最小正周期;若函数y=fx的图象按口―—平移后得到的函数y=gx的图象,求y=gx在0上的424最大值.考点三角函数的周期性及其求法;函数y=Asin3X+4的图象变换;三角函数的最值专题计算题;综合题分析I先利用诱导公式,二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理,然后利用周期公式可求得函数的最小正周期.II由I得函数y=fx利用函数图象的变换可得函数y=gx的解析式,通过探讨角的范围,即可的函数gx的最大值.解答解I.’fx=sinxcosx-J^cosx+ncosx=sinxcosx+V3cosxcosx=』sin2x+寸Mos2x+¥122=sin2x+—+业2「・fx的最小正周期T=2兀二爪2IDv函数y=fx的图象按膜―43平移后得到的函数y=gx的图象42・.・gx=sin2x+—-—+也+也=抽2x-—+J332226一——2x-————,663X在0兰]上的最大值为与142点评本题考查了三角函数的周期及其求法,函数图象的变换及三角函数的最值,各公式的熟练应用是解决问题的根本,体现了整体意识,是个中档题.2011*浙江在△ABC中,角ABC所对的边分别为abc.已知sinA+sinC=psinBpGR.且ac=-^b
2.当p芝b=l时,求ac的值;4若角B为锐角,求p的取值范围.解三角形计算题I利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边,解方程组求得a和c的值.先利用余弦定理求得ab和c的关系,把题设等式代入表示出p2进而利用cosB的范围确定p2的范围进而确定pd范围.故可知ac为方@x2-—x+—=0的两根44进而求得a=lc=【或a=—c=l44II解由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac-2accosB=p2b2-—b2cosB-—22即p2=§+LosB22因为OVcosBVl所以p2仁皂,2由题设知p0所以耍VpV桓22点评本题主要考查了解三角形问题.学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用.2011天津在AABC中,内角ABC的对边分别为abc已知B二C2b二够a.I求cosA的值;TTncos2A+——的值.4考点余弦定理;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦专题计算题分析I利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系;利用三角形的余弦定理求出角A的余弦.II利用三角函数的平方关系求出角A的正弦,利用二倍角公式求出角2A的正弦,余弦;利用两个角的和的余弦公式求出cos2A+—的值.4JI11II所以cos2A+—=cos2Acos—~sin2Asin—44=匝_屹匝二_8+M■9292~18点评本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式.2011・陕西叙述并证明余弦定理.考点余弦定理专题证明题分析先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容,并画出图形,写出已知与求证,然后开始证明.方法一采用向量法证明,由a的平方等于反的平方,利用向量的三角形法则,由瑟-疝表示出丘,然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后,即可得到a2=b2+c2-2bccosA同理可证b2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC;方法二采用坐标法证明,方法是以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,表示出点C和点B的坐标,利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方,化简后即可得到a2=b2+c2-2bccosA同理可证b2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC.解答解余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍;或在左ABC中,abc为ABC的对边有a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC.证法一如图,a2=BC2=AC-AB*AC-AB=AC-2AC*AB+AB=AC-2|AC|AB|cosA+AB=b2_2bccosA+c2即a2=b2+c2-2bccosA同理可证b2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC;证法二已知AABC中ABC所对边分别为abc以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则CbcosAbsinABc0/.a2=|BC|2=bcosA-c2+bsinA2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2-2bccosA同理可证b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC.点评此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理,以及对命题形式出现的证明题,要写出己知求证再进行证明,是一道基础题.2011・山东在^ABC中,内角ABC的对边分别为abc.已知cosA-2cosC=2c-acosBb粤区的值;sinA
(2)若cosB=1△ABC的周长为5求b的长.4考点正弦定理的应用;余弦定理专题计算题;函数思想;方程思想
(2)利用
(1)可知c=2a结合余弦定理,三角形的周长,即可求出b的值.即cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-COSbsinA所以sinA+B=2sinB+C艮PsinC=2sinA所以粤匹二2sinA
(2)由
(1)可知c=2a...@a+b+c=5…
②b2=a2+c2-2accosB…
③cosB=—...
(4)4解
①②③④可得a=lb=c=2;所以b=2点评本题是中档题,考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用,函数与方程的思想,考查计算能力,常考题型.(2011・辽宁)3ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、casinAsinB+bcos2A=V2a.(i)求e;a(H)若C2=b2+扼a2求B.考点解三角形专题计算题分析(I)先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦,化简整理求得sinB和sinA的关系式,进而求得a和b的关系.(□)把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式,把(I)中a和b的关系代入求得cosB的值,进而求得B.解答解(I)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A=V2sinA即sinB(sin2A+cos2A)=J^sinA二sinB=2sinA—=a/2a(U)由余弦定理和C2=b2+V3a2,得cosB=(1+扼)a由I知b2=2a2故c2二2+V3a2可得cos2B=A又cosB0故cosB=」222所以B=45°点评本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化.2011*江西在^ABC中,角ABC的对边是abc已知3acosA二ccosB+bcosC1求cosA的值
(2)若a=lcosB+cosC二求边c的值•考点正弦定理;同角三角函数基本关系的运用专题计算题分析
(1)利用正弦定理分别表示出cosBcosC代入题设等式求得cosA的值.
(2)利用
(1)中cosA的值,可求得sinA的值,进而利用两角和公式把cosC展开,把题设中的等式代入,利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值,最后利用正弦定理求得c.解答:解
(1)由余弦定理可知2accosB=a2+c2-b2;2abcosc=a2+b2-c2;代入3acosA=ccosB+bcosC;得cosA=—;3
(2)*.*cosA—3・•・sinA=-2^3cosB=-cosA+C=-cosAcosC+sinAsinC=-LosC+-^^sinC
③33又已知cosB+cosC二次后代入
③cosC+J^sinC=J^与cos2C+sin2C=l联立解得前2=史3已知a=lV6正弦定理:c=asinC3sinA2V223点评本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用.考查了基础知识的综合运用.(2011・江苏)在ZkABC中,角A、B、C的对边分别为abc
(1)若sin(A+二)二2cosA,求A的值;62若cosA二b二3c,求sinC的值.3考点正弦定理;两角和与差的正弦函数专题计算题分析1利用两角和的正弦函数化简,求出tanA然后求出A的值即可.2利用余弦定理以及b=3c求出a与c的关系式,利用正弦定理求出sinC的值.解答解1因为sinA+—--2cosA6所以专sinA=*|ccisA所以tanA=M,所以A=60°2由C0SA=-|b=3c及a2=b2+c2-2bccosA得a2=b2-c2故左ABC是直角三角形且B=—2所以sinC=cosA=—3点评本题是基础题,考查正弦定理的应用,两角和的正弦函数的应用,余弦定理的应用,考查计算能力,常考题型.201!•湖北设AABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=lb=2cosC二〔4求左ABC的周长;求cosA-C的值.考点余弦定理;两角和与差的余弦函数专题计算题分析I利用余弦定理表示出c的平方,把ab及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长;II根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由ac及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值.解答解I・.・c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4x1=44二c二2・•.△ABC的周长为a+b+c=l+2+2=
5.II..•cosC*...sinC=d1_cos2C=J1-|V15・.sinA二ginC二里二我.c28•.・aVc・・・AC故A为锐角.则cosA=Ji-/.cosA-C=cosAcosC+sinAsinC=848416点评本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查学生的基本运算能力,是一道基础题.TT2011*北京已知函数fx-4cosxsinx+——一1・6I求fx的最小正周期:考点三角函数的周期性及其求法;两角和与差的余弦函数;三角函数的最值专题计算题分析I利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后,利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期.n利用的范围确定
2、壬的范围,进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值•解答解I•.•fx=4cosxsinx+二-16=4cosx^^sinx+^cosx-1=V3sin2x+2cos2x-13sin2x+cos2x=2sin2x+—6所以函数的最小正周期为71□•.•-—X2L64-匹2x+匹四
663.••当2x4-—=—即x=—fx取最大值2626当2x+—=-兰时即x=-兰时,fx取得最小值-1666点评本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值.解题的关键是对函数解析式的化简整理.2010浙江在^ABC中,角A、B、C所对的边分别为abc已知cos2C=4求sinC的值;□当a=22sinA=sinC时,求b及c的长.考点正弦定理;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理专题计算题分析1注意角的范围,利用二倍角公式.利用正弦定理先求出边长c由二倍角公式求cosC用余弦定理解方程求边长b.解答解I解因为cos2C=l-2siiC=-【,及0Cn4所以sinO匝.4II解当a=22sinA=sinC时由正弦定理F二三,得c=4sinAsinC由cos2C=2cos2C-1=-1及OVCVn得4cosC=士乂^4由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得b2±V6b-12=0解得b=或2^6所以=捻或b=2c=
4.点评本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力.2010・重庆设△C的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c且3b2+3c2-3a2=4V2bc.I求sinA的值;TTTT2sinA+—sinB+C+—H求—的值.1-cos2A考点余弦定理的应用;弦切互化专题计算题分析I先把题设条件代入关于A的余弦定理中,求得cosA的值,进而利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值.H利用三角形的内角和,把sinB+C+—转化为sinr-A+—进而利用诱导公式,两角和公式和化简整4理后,把sinA和cosA的值代入即可.解答解I由余弦定理得cosA二您+产-,二瓯2bc3又OVAV兀,故sinA-71-cos2A-|TTTT2sin(A+—)sin(兀一A+丁)(H)原式二H一1-cos2A2sin(A+号)sin(A-寻)2(半sinA+gcosA)(季sinA-.cosA)2sin2A2sin2A■22_sinA-cosA__72sin2A2点评本题主要考查了余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系的应用以及用诱导公式和两角和公式化简求值.考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力.2010>陕西在^ABC中,已知B=45,D是BC边上的一点,AD=10AO14DC=6求AB的长.考点余弦定理;正弦定理分析先根据余弦定理求出ZADC的值,即可得到ZADB的值,最后根据正弦定理可得答案.解答解在^ADC中,AD=10AC=14DC=6・.・ZADC=120°ZADB=60°在AABD中,AD=10ZB=45°ZADB=60°由正弦定理得一sinZ^ADBsinBbAD,sinZADB_10sin60°_2rr•••AB二—二药函5二也部,T点评本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用.属基础题.2010<辽宁在^ABC中,abc分别为内角ABC的对边,且2asinA=2b+csinB+2c+bsinC.求A的大小;求sinB+sinC的最大值.考点余弦定理的应用分析I根据正弦定理,设一—-_-—zz_-—二2R把sinAsinBsinC代入2asinA=2b+csinB+2c+bsinAsinBsinCsinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程,可求出cosA的值,进而求出A的值.H根据I中A的值,可知c=60°-B,化简得sin60°+B根据三角函数的性质,得出最大值.解答解I设..sinAsinBsinC则a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC*.*2asinA=2a+csinB+2C+bsinC方程两边同乘以2R2a2=2b+cb+2c+bc整理得a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA故cosA=-—A=120°2II由I得sinB+sinC=sinB+sin60°-B=2/icosB+iinB22=sin60°+B故当B=30时,sinB+sinC取得最大值
1.点评本题主要考查了余弦函数的应用.其主要用来解决三角形中边、角问题,故应熟练掌握.2010*湖南已知函数fx=V3sin2x-2sin2x.求函数fx的最大值;H求函数fx的零点的集合.考点三角函数的最值;集合的含义;函数的零点专题计算题分析I先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简,再由正弦函数的最值可得到答案.H令fx=0可得至lj2V3sinxcosx=2sin2x进而可得至Usinx=0或tanx二如即可求出对应的x的取值集合得到答案.解答:解:Ifx=V3sin2x-2sin2x=V3sin2x+cos2x-l=2sin2x+—-16故函数fx的最大值等于2-1=1由fx=0得2j^sinxcosx=2sin2x于是sinx=0或J^cosx=sinx即tanx=^341I由tanx=可知x=kn+——.3故函数fx的零点的集合为{x|x=kTi或乂=1<兀+^kGZ}点评本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质.三角函数是高考的重点每年必考,要强化复习.2009®重庆设函数fx=sin~—--2co468I求fX的最小正周期.H若y=gx与y=fx的图象关于直线x=l对称,求当[0当时y=gx的最大值.3考点三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法专题计算题分析1利用两角差的正弦公式及二倍角公式及asinx+bcosx=7a2+b2sinx+0化简三角函数;再利用三角函数的周期公式求出周期.2在y=gx上任取一点,据对称行求出其对称点,利用对称点在y=fx上,求出gx的解析式,求出整体角的范围,据三角函数的有界性求出最值.解答解1fx_TT7TTTJTTT_7T3兀_—・兀兀、=siiryxcos—-cos—xsin—-cos—x=—sirryx--cos-^-x=V3sin工27T故fx的最小正周期为T=兀=8T2在y=gx的图象上任取一点xgx它关于x=l的对称点2-xgx.由题设条件,点2-xgx在y=fx的图象上,从而gx=f2-X二如sin[寻2-X一§]=V5sin[奇一旨x-旨]=V^cos旨乂号*C/3n-+兀/兀兀/2兀时,—因此y=gx在区间[0虺]上的最大值为目呻*3〈孕3JR2X32点评本题考查常利用三角函数的二倍角公式及公式asinx+bcosx=Va2+b2sinx+6化简三角函数、利用轴对称性求函数的解析式、利用整体角处理的思想求出最值.2009<江西在△佛C中,ABC所对的边分别为abcaE,】+扼c二2b61求C;2若EX二1+化,求abc.考点正弦定理;平面向量数量积的运算专题计算题分析1先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦,进而利用两角和的公式化简整理求的cotC的值进而求得C.2根据五.二1+楫求得ab的值,进而利用题设中1+扼C二2b和正弦定理联立方程组,求得ab^c.sinC得cotOl即cM、42由cbCA=1+J^推出abcosC二1+而c二即得条b=l+宙专B+电仲M则有,(1+扼)C二2b解得{b二1+而.■二一c[c=2sinAsinC点评本题主要考查了正弦定理得应用.解题的关键是利用正弦定理解决解决三角形问题中的边,角问题.(2009•湖北)在锐角△ABC中,abc分别为角ABC所对的边,且扼砂2csinA・
(1)确定角C的大小;
(2)若cM,且AABC的面积为虫度,求a+b的值.2考点余弦定理的应用;正弦定理专题计算题分析
(1)通过正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理求得sinC的值,进而求得C.
(2)先利用面积公式求得ab的值,进而利用余弦定理求得a2+b2-ab最后联立变形求得a+b的值.解答解
(1)由V3a=2csinA及正弦定理得J^gsinA^sjnAycv3sinC•sinArO在锐角^ABC中,C二・七3
(2)c二柝「=匹3由面积公式得labsin2L^Zl即ab=6
①232由余弦定理得a2+b2~2abcos—=7»即a2+b2-ab=7
②3由
②变形得(a+b)2=25故a+b=
5.点评本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.对于这两个定理的基本公式和变形公式应熟练记忆,并能灵活运用.2009*北京己知函数fx=2sinn-xcosx.I求fx的最小正周期;求在区间等]上的最大值和最小值.正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用分析
(1)先将函数f(X)化简为f(x)=sin2x再由T=22L可得答案.2
(2)先由x的范围确定2x的范围,再根据三角函数的单调性可求出最值.解答解(I)•.•f(x)=2sin(n-x)cosx=2sinxcosx=sin2x••・函数f(X)的最小正周期为(U)由--—2xn6%%23二-寸Msin2x《l
2.-.f(X)在区间[-号,奇]上的最大值为1最小值为-手.点评本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识,主要考查基本运算能力.(2009•北京)在^ABC中,角ABC的对边分别为abcB二兰,C0SA=-,比如・5求sinC的值;求左ABC的面积.正弦定理;同角三角函数基本关系的运用计算题⑴由c°sA=W得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出M的值,根据三角形的内角和定理得到c=「专-A然后将C的值代入smc利用两角差的正弦函数公式化简后,将S.A和cosA代入即可求出值;要求三角形的面积,根据面积公式S=®蜘C和⑴可知公式里边的a不知道,所以利用正弦定理求出a即可.解(I)・.・A、B、C为ZkABC的内角,且cosA=-0所以A为锐角,贝ijsinA=J]_喝决号355・—•f2兀_mA
1.A3+4必--smC-sink—A;—^-cosA+—sinA=-—-;口由I知sinA二吝sinC二岑屋,10又B=yb*.••在△ABC中,由正弦定理,得・_bsinA
6..3==—•sinB5△ABC的面积S^absinC二岑X-|X厄X堂藉竺亲匹.zzb1UbU点评考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值.灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值.
25.(2008*重庆)设^ABC的内角ABC的对边分别为abc且A=60,c=3b.求:(I)三的值;CIIcotB+cotC的值.故cotB+cotC=I,点评本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常使用的方法,应熟练掌握.
26.2008•重庆设^ABC的内角ABC的对边分别为abc.已知b2+c2=a2+V3bcJ求:A的大小;2sinBcosC-sinB-C的值.余弦定理的应用;两角和与差的正弦函数计算题I把题设中ab和c关系式代入余弦定理中求得cosA的值,进而求得A.利用两角和公式把sinB-C展开,整理后利用两角和公式化简求得结果为sinA把I中A的值代入即可求得答案.解答解I由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosAAb2+c2-a2V3bc如ftXrnsA二=二2bc2bc2所以A=WII2sinBcosC-sinB-C=2sinBcosC-sinBcosC-cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC=sinB+C=sin7i-A=sinA=—.2点评本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、余弦定理等基本知识.以及推理和计算能力.三角函数的化简经常用到降幕、切化弦、和角差角公式的逆向应用.2008®天津己知函数fx=2cos2ux4-2sinjoxcosux+1xGRu0的最小值正周期是I求3的值;n求函数fx的最大值,并且求使fx取得最大值的x的集合.考点三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值专题计算题分析1先用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简,进而根据函数的最小正周期求得
3.2根据正弦函数的性质可知4x+2LJl+2kK时,函数取最大值2+据,进而求得x的集合.2解答解I解fx1+c与2X+sin2Gx+1=sin2cox+cos2ux+2=y/~2sin23x+-^~+2由题设,函数fx的最小正周期是可得2兀二兀所以3=
2.2232TT口由I知,fx二J^sin4x+—+2-当4x七奇*+2k兀,即kEZ时,sin4x+^所以函数fX的最大值是2+^2此时x的集合为|x二kEZ}.点评本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数y=Asinux+4的性质等基础知识,考查基本运算能力.2008*四川在^ABC中,内角ABC对边的边长分别是abc己知a2+c2=2b
2.I若巳己,且A为钝角,求内角A与C的大小;4H求sinB的最大值.考点余弦定理;正弦定理专题计算题分析I利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦,化简整理求得sinC=-cosA.进而求得C和A的值.II由余弦定理求得b的表达式,根据基本不等式求得cosB的范围,进而求得sinB的大值.解答解I由题设及正弦定理,有sin2A+sin2C=2sin2B=l.故sin2C=cos2A.因为A为钝角,所以sinC=-cosA.由c好cos兀-寻-c,可得sinOsin寻-C,得C=|,222H由余弦定理及条件b2^a2+c2,有cosB二a+c—ba=c时,等号成立.从而,sinB的最大值为寸12点评本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.考查了三角函数与不等式基础知识的结合.28•陕西已知函数fx=2叫.叫+但号1求函数fX的最小正周期及最值;考点三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性;三角函数的最值专题计算题分析利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数fx=2叫・c°s才岳咛为y=2sm技I直接利用周期公式求出周期,求出最值.的表达式,gx=2cos—.然后判断出奇偶性即可.2解答解1fx=sinH+J妥os臭=2sin―2222兀二fx的最小正周期T=]=4n.当血奇日=-1时,fx取得最小值-2;当sin=1时,fx取得最大值
2.2gx是偶函数.理由如下由1知fx=2sin,g-x=2cos-—=2cos—gx2匕・•・函数gx是偶函数.点评本题是基础题,考查三角函数的化简与求值,考查三角函数的基本性质,常考题型.2008*辽宁在^ABC中,内角ABC对边的边长分别是abc.已知『2C=—•3若^ABC的面积等于求ab;若sinC+sinB-A=2sin2A求左ABC的面积.考点余弦定理的应用分析I先通过余弦定理求出ab的关系式;再通过正弦定理及三角形的面积求出ab的另一关系式,最后联立方程求出ab的值.II通过C=ti-A+B及二倍角公式及sinC+sinB-A=2sin2A求出sinBcosA=2sinAcosA.当cosA=0时求出ab的值进而通过—absinC求出三角形的面积;当cosA/0时,由正弦定理得b=2a联立方程解得ab的值2进而通过labsinC求出三角形的面积.2解答解:I•.•c=2C=—c2=a2+b2-2abcosC3/.a2+b2-ab=4又△ABC的面积等于化二■|absinC=V3/.ab=422a+b一北二4解得点,b=2ab二4IIsinC+sinB-A=sinB+A+sinB-A=2sin2A=4sinAcosAsinBcosA=2sinAcosA当c°sA=0时日,B《‘a若当cosArO时,得sinB=2sinA由正弦定理得b=2a联立方程组J+b2-北二4解得亓瓯b=2a3所以△ABC的面积sgabsinC二等综上知△ABC的面积sinC二点评本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.。