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1.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0)
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上师范存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由
(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-
8.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的最大值;
②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.4.如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0).⑴求b的值.⑵求x1•x2的值⑶分别过M、N作直线l y=-1的垂线,垂足分别是M
1、N1,判断△M1FN1的形状,并证明你的结论.⑷对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请法度出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.5.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为0°<<180°,得到△A1B1C.1如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于点D.证明△A1CD是等边三角形;【证】2如图2,连接AA
1、BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S
1、S2.求证S1∶S2=1∶3;【证】3如图3,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP.当=°时,EP的长度最大,最大值为.6.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l
1、l
2、l
3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h
1、h
2、h3h1>0,h2>0,h3>0.1求证h1=h2;【证】2设正方形ABCD的面积为S,求证S=h1+h22+h12;【证】3若h1+h2=1,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况.【解】7.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+m―3x―3m>0的图象与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧,与y轴交于点C.1求点A的坐标;2当∠ABC=45°时,求m的值;3已知一次函数y=kx+b,点Pn,0是x轴上的一个动点,在2的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y=mx2+m―3x―3m>0的图象于N.若只有当-2<n<2时,点M位于点N的上方,求这个一次函数的解析式.8.在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.1在图1中,证明CE=CF;2若∠ABC=90°,G是EF的中点如图2,直接写出∠BDG的度数;3若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结DB、DG如图3,求∠BDG的度数.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,我把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C注不含AB线段.已知A-1,0,B1,0,AE∥BF,且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上.1求两条射线AE、BF所在直线的距离;2当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时,写出b的取值范围;当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时,写出b的取值范围;3已知□AMPQ四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列的各顶点都在图形C上,且不都在两条射线上,求点M的横坐标x的取值范围.10.阅读下面材料小伟遇到这样一个问题如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.小伟是这样思考的要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC、BD、AD+BC的长度为三边长的三角形如图2.请你回答图2中△BDE的面积等于____________.参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题如图3,△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF.1在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形保留画图痕迹;2若△ABC的面积为1,则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于_______.11.如图,⊙O的直径为http://www.xuekewang.com/,⊙O1过点http://www.xuekewang.com/,且与⊙O内切于点http://www.xuekewang.com/.http://www.xuekewang.com/为⊙O上的点,http://www.xuekewang.com/与⊙O1交于点http://www.xuekewang.com/,且http://www.xuekewang.com/.点http://www.xuekewang.com/在http://www.xuekewang.com/上,且http://www.xuekewang.com/,BE的延长线与⊙O1交于点http://www.xuekewang.com/,求证△BOC∽△http://www.xuekewang.com/.12.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD=DC.分别延长BA,CD,交点为E.作BF⊥EC,并与EC的延长线交于点F.若AE=AO,BC=6,求CF的长13.如图,正方形ABCD的边长为2http://www.xuekewang.com/,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,求△DMN的面积14.如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的函数解析式;
(3)在抛物线上,是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
15.已知如图,四边形ABCD是等腰梯形,其中AD∥BC,AD=2,BC=4,AB=DC=2,点M从点B开始,以每秒1个单位的速度向点C运动;点N从点D开始,沿D—A—B方向,以每秒1个单位的速度向点B运动.若点M、N同时开始运动,其中一点到达终点,另一点也停止运动,运动时间为t(t>0).过点N作NP⊥BC与P,交BD于点Q.
(1)点D到BC的距离为;
(2)求出t为何值时,QM∥AB;
(3)设△BMQ的面积为S,求S与t的函数关系式;
(4)求出t为何值时,△BMQ为直角三角形.
16.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2cm2
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.
17.如图7,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=450,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上
(1)证明B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明MN=OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转
(00900)后,记为△D1CE1(图8),若M1是线段BE1的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=OM1是否成立?若是,请证明若不是,说明理由
18.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+ca0的图象经过点C01,且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)
(1)求c的值;
(2)求a的取值范围;
(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0a1时,求证S1-S2为常数,并求出该常数
19.如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A-2,0和B4,
0、与y轴交于点C.1求抛物线的解析式;2T是抛物线对称轴上的一点,且△ACT是以AC为底的等腰三角形,求点T的坐标;3点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行.当点M原点时,点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动,当点M到达抛物线的对称轴时,两点停止运动.过点M的直线l⊥轴,交AC或BC于点P.求点M的运动时间t秒与△APQ的面积S的函数关系式,并求出S的最大值.
20.已知抛物线的图象向上平移m个单位()得到的新抛物线过点(1,8).
(1)求m的值,并将平移后的抛物线解析式写成的形式;
(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在≤时对应的函数值y的取值范围;
(3)设一次函数,问是否存在正整数使得
(2)中函数的函数值时,对应的x的值为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
21.已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数的图像与y轴交于点A,点M在正比例函数的图像上,且MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图像上,点D在一次函数的图像上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.图
122.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,.
(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;
(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.图1图2备用图23.如图
(1)在直角△ABC中∠ACB=90CD⊥AB垂足为D点E在AC上BE交CD于点GEF⊥BE交AB于点F若AC=mBCCE=nEAmn为实数.试探究线段EF与EG的数量关系.如图
(2)当m=1n=1时EF与EG的数量关系是证明:如图
(3)当m=1n为任意实数时EF与EG的数量关系是证明如图
(1)当mn均为任意实数时EF与EG的数量关系是写出关系式不必证明
24.已知顶点为A15的抛物线经过点B
51.1求抛物线的解析式;2如图
(1)设CD分别是轴、轴上的两个动点,求四边形ABCD周长的最小值;
(3)在
(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P是直线上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图
(2)所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR与直线CD有公共点时求的取值范围;
②在
①的条件下,记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式,并求S的最大值25在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,点.以点为旋转中心,把顺时针旋转,得.记旋转角为为.(Ⅰ)如图
①,当旋转后点恰好落在边上时,求点的坐标;(Ⅱ)如图
②,当旋转后满足轴时,求与之间的数量关系;(Ⅲ)当旋转后满足时,求直线的解析式(直接写出结果即可).
26.已知抛物线,点.(Ⅰ)求抛物线的顶点坐标;(Ⅱ)
①若抛物线与轴的交点为,连接,并延长交抛物线于点,求证;
②取抛物线上任意一点,连接,并延长交抛物线于点,试判断是否成立?请说明理由;(Ⅲ)将抛物线作适当的平移,得抛物线,若时,恒成立,求的最大值.
27.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP=3.一动点E从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿AO返回;另一动点F从P点发发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动,在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t使△AOH是等腰三角形?若存大,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
28.如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D⑴求点D的坐标(用含m的代数式表示);⑵当△APD是等腰三角形时,求m的值;⑶设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2),当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动请直接写出点H所经过的路径长(不必写解答过程)
1、解
(1)设所求抛物线的解析式为y=ax-12+4,依题意,将点B(3,0)代入,得a3-12+4=0解得a=-1∴所求抛物线的解析式为y=-x-12+4
(2)如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称,在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI…………………
①设过A、E两点的一次函数解析式为y=kx+b(k≠0),∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2,将x=2代入抛物线y=-x-12+4,得y=-2-12+4=3∴点E坐标为(2,3)又∵抛物线y=-x-12+4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D∴当y=0时,-x-12+4=0,∴x=-1或x=3当x=0时,y=-1+4=3∴点A(-1,0),点B(3,0),点D(0,3)又∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE…………………
②分别将点A(-1,0)、点E(2,3)代入y=kx+b,得解得过A、E两点的一次函数解析式为y=x+1∴当x=0时,y=1∴点F坐标为(0,1)∴………………………………………
③又∵点F与点I关于x轴对称,∴点I坐标为(0,-1)∴………
④又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,∴只要使DG+GH+HI最小即可由图形的对称性和
①、
②、
③,可知,DG+GH+HF=EG+GH+HI只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小设过E(2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为y=k1x+b1(k1≠0),分别将点E(2,3)、点I(0,-1)代入y=k1x+b1,得解得过A、E两点的一次函数解析式为y=2x-1∴当x=1时,y=1;当y=0时,x=;∴点G坐标为(1,1),点H坐标为(,0)∴四边形DFHG的周长最小为DF+DG+GH+HF=DF+EI由
③和
④,可知DF+EI=∴四边形DFHG的周长最小为
(3)如图7,由题意可知,∠NMD=∠MDB,要使,△DNM∽△BMD,只要使即可,即MD2=NM×BD………………………………
⑤设点M的坐标为(a,0),由MN∥BD,可得△AMN∽△ABD,∴再由
(1)、
(2)可知,AM=1+a,BD=,AB=4∴∵MD2=OD2+OM2=a2+9,∴
⑤式可写成a2+9=×解得a=或a=3(不合题意,舍去)∴点M的坐标为(,0)又∵点T在抛物线y=-x-12+4图像上,∴当x=时,y=∴点T的坐标为(,)
2.
(1)在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t.又∵AE=t,∴AE=DF.…………………………………………………………………………2分
(2)能.理由如下∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.又AE=DF,∴四边形AEFD为平行四边形.…………………………………………………3分∵AB=BC·tan30°=若使为菱形,则需即当时,四边形AEFD为菱形.……………………………………………………5分
(3)
①∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE.即10-2t=2t,.………………7分
②∠DEF=90°时,由
(2)知EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠A=90°-∠C=60°,∴AD=AE·cos60°.即…………………………………………………………………………9分
③∠EFD=90°时,此种情况不存在.综上所述,当或4时,△DEF为直角三角形.……………………………………10分
3.
(1)对于,当y=0,x=
2.当x=-8时,y=-.解得…………………………………………3分
(2)
①设直线与y轴交于点M当x=0时,y=.∴OM=.∵点A的坐标为(2,0),∴OA=
2.∴AM=……………………4分∵OM OAAM=3∶
45.由题意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM~△PED.∴DE PEPD=3∶
45.…………………………………………………………………5分∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点,∴PD=yP-yD=.………………………………………………………………………6分∴…………………………………………………………………7分……………………………………8分
②满足题意的点P有三个,分别是……………………………………………………………11分【解法提示】当点G落在y轴上时,由△ACP≌△GOA得PC=AO=2,即,解得,所以当点F落在y轴上时,同法可得,(舍去).4.解⑴b=1⑵显然和是方程组的两组解,解方程组消元得,依据“根与系数关系”得=-4⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形,理由如下由题知M1的横坐标为x1,N1的横坐标为x2,设M1N1交y轴于F1,则F1M1•F1N1=-x1•x2=4,而FF1=2,所以F1M1•F1N1=F1F2,另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1,故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1是直角三角形.⑷存在,该直线为y=-1.理由如下直线y=-1即为直线M1N1.如图,设N点横坐标为m,则N点纵坐标为计算知NN1=,NF=,得NN1=NF同理MM1=MF.那么MN=MM1+NN1,作梯形MM1N1N的中位线PQ,由中位线性质知PQ=(MM1+NN1)=MN,即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径,所以y=-1总与该圆相切.
5.
(1)易求得因此得证.2易证得∽且相似比为,得证.
(3)120°,
6.
(1)过A点作AF⊥l3分别交l
2、l3于点E、F,过C点作CH⊥l2分别交l
2、l3于点H、G,证△ABE≌△CDG即可.
(2)易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF且两直角边长分别为h
1、h1+h2四边形EFGH是边长为h2的正方形,所以.3由题意,得所以又解得0<h1<∴当0<h1<时,S随h1的增大而减小;当h1=时,S取得最小值;当<h1<时,S随h1的增大而增大.
7.解⑴∵点是二次函数的图象与轴的交点,∴令即.解得.又∵点在点左侧且∴点的坐标为.⑵由⑴可知点的坐标为.∵二次函数的图象与轴交于点∴点的坐标为.∵,∴.∴.⑶由⑵得,二次函数解析式为.依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为和2,由此可得交点坐标为和.将交点坐标分别代入一次函数解析式中,得解得∴一次函数的解析式为.
8.⑴证明如图
1.∵平分∴.∵四边形是平行四边形,∴.∴.∴.∴.⑵.⑶解分别连结、、(如图2)∵∴∵且∴四边形是平行四边形.由⑴得∴是菱形.∴.∴是等边三角形.∴
①.∴.∴.
②由及平分可得.∴.在中,.∴.
③由
①②③得.∴.∴.∴.
9.解⑴分别连结、,则点在直线上,如图
1.∵点在以为直径的半圆上,∴.∴.在中,由勾股定理得.∵∴两条射线、所在直线的距离为.⑵当一次函数的图象与图形恰好只有一个公共点时,的取值是或;⑶假设存在满足题意的,根据点的位置,分以下四种情况讨论
①当点在射线上时,如图
2.∵四点按顺时针方向排列,∴直线必在直线的上方.∴两点都在上,且不与点重合.∴.∵且∴.∴.
②当点在(不包括点)上时,如图
3.∵四点按顺针方向排列,∴直线必在直线的下方.此时,不存在满足题意的平行四边形.
③当点在上时,设的中点为则.当点在(不包括点)上时,如图4.过点作的垂线交于点垂足为点可得是的中点.连结并延长交直线于点.∵为的中点,可证为的中点.∴四边形为满足题意的平行四边形.∴.2)当点在上时,如图5.直线必在直线的下方.此时,不存在满足题意的平行四边形.
④当点的射线(不包括点)上时,如图6.直线必在直线的下方.此时,不存在满足题意的平行四边形.综上,点的横坐标的取值范围是或.
10.解的面积等于
1.⑴如图.以、、的长度为三边长的一个三角形是.⑵以、、的长度为三边长的三角形的面积等于.11.证明连接BD,因为http://www.xuekewang.com/为http://www.xuekewang.com/的直径,所以http://www.xuekewang.com/.又因为http://www.xuekewang.com/,所以△CBE是等腰三角形.…………(5分)设http://www.xuekewang.com/与http://www.xuekewang.com/交于点http://www.xuekewang.com/,连接OM,则http://www.xuekewang.com/.又因为http://www.xuekewang.com/,所以http://www.xuekewang.com/http://www.xuekewang.com/.…………(15分)又因为http://www.xuekewang.com/分别是等腰△http://www.xuekewang.com/,等腰△http://www.xuekewang.com/的顶角,所以△BOC∽△http://www.xuekewang.com/.…………(20分)
12.解如图,连接AC,BD,OD.由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°.依题设∠BFC=90°,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,所以∠BCF=∠BAD所以Rt△BCF∽Rt△BAD,因此http://www.xuekewang.com/.因为OD是⊙O的半径,AD=CD,所以OD垂直平分AC,OD∥BC,于是http://www.xuekewang.com/.因此http://www.xuekewang.com/.由△http://www.xuekewang.com/∽△http://www.xuekewang.com/,知http://www.xuekewang.com/.因为http://www.xuekewang.com/,所以http://www.xuekewang.com/,BA=http://www.xuekewang.com/AD,故http://www.xuekewang.com/http://www.xuekewang.com/.
13.解连接DF,记正方形http://www.xuekewang.com/的边长为2http://www.xuekewang.com/.由题设易知△http://www.xuekewang.com/∽△http://www.xuekewang.com/,所以http://www.xuekewang.com/,由此得http://www.xuekewang.com/,所以http://www.xuekewang.com/.在Rt△ABF中,因为http://www.xuekewang.com/,所以http://www.xuekewang.com/,于是http://www.xuekewang.com/.由题设可知△ADE≌△BAF,所以http://www.xuekewang.com/,http://www.xuekewang.com/.于是http://www.xuekewang.com/,http://www.xuekewang.com/,http://www.xuekewang.com/.又http://www.xuekewang.com/,所以http://www.xuekewang.com/.因为http://www.xuekewang.com/,所以http://www.xuekewang.com/.
14.解
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c∵抛物线与y轴交于点C的坐标
(03)∴y=ax2+bx+3又∵抛物线与x轴交于点A(-10)、B
(40)∴∴抛物线的解析式为
(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b∴,解得所以直线BC的函数解析式为y=x+3
(3)存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积∵△ABC的底边AB上的高为3设△PAB的高为h,则│h│=3,则点P的纵坐标为3或-3∴∴点P的坐标为(0,3),(3,3),而点(0,3)与C点重合,故舍去∴点P的坐标为,∴点P的坐标为P1(3,3),P2,P
315.解
(1)-----2分2t=
1.2s------------------5分
(3)当时s=------------------------------8分当时s=-----------------------11分4t=
1.5s或者t=12/7s-----------------14分
16.解:1据题意知:A0-2B2-2,D(4,—)则解得∴抛物线的解析式为:----------------------------4分2
①由图象知:PB=2-2tBQ=t∴S=PQ2=PB2+BQ2=2-2t2+t2即S=5t2-8t+40≤t≤1--------------------6分
②假设存在点R可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.∵S=5t2-8t+40≤t≤1∴当S=时5t2-8t+4=得20t2-32t+11=0解得t=,t=(不合题意,舍去)-------------------------------7分此时点P的坐标为(1,-2),Q点的坐标为(2,—)若R点存在,分情况讨论:【A】假设R在BQ的右边这时QRPB则,R的横坐标为3R的纵坐标为—即R3-,代入左右两边相等,∴这时存在R3-满足题意.【B】假设R在BQ的左边这时PRQB则R的横坐标为1纵坐标为-即1-代入左右两边不相等R不在抛物线上.【C】假设R在PB的下方这时PRQB则R1,—代入左右不相等∴R不在抛物线上.综上所述存点一点R3-满足题意.---------------------11分
(3)∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,M的坐标为(1,—)---------------------------------------14分
17、
(1)证明∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∵∠DCE=90°∴∠ACB+∠DCE=180°∴B、C、E三点共线2证明连接ON、AE、BD,延长BD交AE于点F∵∠ABC=45°,∠ACB=90°∴BC=AC,又∠ACB=∠DCE=90°,DC=EC∴△BCD≌△ACE∴BD=AE,∠DBC=∠CAE∴∠DBC+∠AEC=∠CAE+∠AEC=90°∴BF⊥AE∵AO=OB,AN=ND∴ON=BD,ON∥BD∵AO=OB,EM=MB∴OM=AE,OM∥AE∴OM=ON,OM⊥ON∴∠OMN=45°,又cos∠OMN=∴3成立,证明同
(2)
18、解1将点C(0,1)代入得
(2)由1知,将点A(1,0)代入得,∴∴二次函数为∵二次函数为的图像与x轴交于不同的两点∴,而∴的取值范围是且3证明∵∴对称轴为∴把代入得,解得∴∴===1∴为常数,这个常数为
119.解
(1)把A、B4,0代入,得解得∴抛物线的解析式为由,得抛物线的对称轴为直线,直线交x轴于点D,设直线上一点T1,h,连结TC,TA,作CE⊥直线,垂足为E,由C0,4得点E1,4,在Rt△ADT和Rt△TEC中,由TA=TC得解得,∴点T的坐标为
11.
(3)解(Ⅰ)当时,△AMP∽△AOC∴∴当时,S的最大值为
8.(Ⅱ)当时,作PF⊥y轴于F,有△COB∽△CFP,又CO=OB∴FP=FC=,∴∴当时,则S的最大值为综合Ⅰ、Ⅱ,S的最大值为
20、解
(1)由题意可得又点(1,8)在图象上∴∴………………………………………………………(1分)∴……………………………………………………………(3分)
(2)图略………………………………………………(7分)当时,………………(9分)
(3)不存在………………………………………………(10分)理由当且对应的时,∴,………………………………………(11分)且得∴不存在正整数n满足条件……………………………(12分)
21.[解]1根据两点之间距离公式,设Maa,由|MO|=|MA|解得a=1,则M1即AM=2∵A03,∴c=3,将点M代入y=x2bx3,解得b=,即y=x2x33C22根据以AC、BD为对角线的菱形注意A、B、C、D是按顺序的[解]设B0mm3,Cnn2n3,Dnn3,|AB|=3m,|DC|=yDyC=n3n2n3=nn2,|AD|==n,|AB|=|DC|3m=nn2…,|AB|=|AD|3m=n…解,,得n1=0舍去,或者n2=2,将n=2代入Cnn2n3,得C
2222.[解]1由AE=40,BC=30,AB=50,CP=24,又sinEMP=CM=262在Rt△AEP与Rt△ABC中,∵EAP=BAC,∴Rt△AEP~Rt△ABC,∴,即,∴EP=x,又sinEMP=tgEMP===,∴MP=x=PN,BN=ABAPPN=50xx=50x0x323当E在线段AC上时,由2知,,即,EM=x=EN,又AM=APMP=xx=x,由题设△AME~△ENB,∴,=,解得x=22=AP当E在线段BC上时,由题设△AME~△ENB,∴AEM=EBN由外角定理,AEC=EABEBN=EABAEM=EMP,∴Rt△ACE~Rt△EPM,,即,CE=…设AP=z,∴PB=50z,由Rt△BEP~Rt△BAC,,即=,BE=50z,∴CE=BCBE=3050z…由,,解=3050z,得z=42=AP
23.
(1)图甲连接DE,∵AC=mBC,CD⊥AB,当m=1,n=1时∴AD=BD,∠ACD=45°,∴CD=AD=AB,∵AE=nEC,∴DE=AE=EC=AC,∴∠EDC=45°,DE⊥AC,∵∠A=45°,∴∠A=∠EDG,∵EF⊥BE,∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°,∴∠AEF=∠DEG,∴△AEF≌△DEG(ASA),∴EF=EG.
(2)解EF=EG证明作EM⊥AB于点M,EN⊥CD于点N,∵EM∥CD,∴△AEM∽△ACD,∴即EM=CD,同理可得,EN=AD,∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴tanA=,∴,又∵EM⊥AB,EN⊥CD,∴∠EMF=∠ENG=90°,∵EF⊥BE,∴∠FEM=∠GEN,∴△EFM∽△EGN,∴,即EF=EG;
(3)EF=EG.
24.解
(1)∵抛物线的顶点为A(1,5),∴设抛物线的解析式为,将点B(5,1)代入,得,解得,∴
(2)作A关于y轴的对称点,作B关于x轴的对称点,显然,如图
5.1,连结分别交x轴、y轴于C、D两点,∵,∴此时四边形ABCD的周长最小,最小值就是而,∴四边形ABCD周长的的最小值为
(3)
①点B关于x轴的对称点B′(),点A关于y轴的对称点A′(﹣1,5),连接A′B′,与x轴,y轴交于C,D点,∴CD的解析式为,联立,得∵点P在上,点Q是OP的中点,∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点,则.故的取值范围是.
②如图点E(2,2),当EP=EQ时,,得,当时,当时,.当时,当时,.故的最大值为.
25.解(Ⅰ)点,得,在中,由勾股定理,得.根据题意,有.如图,过点作轴于点,则,.有,得.又,得.点的坐标为.(Ⅱ)如图,由已知,得..在中,由,得.又轴,得,有,.(Ⅲ)直线的解析式为或.
26.解(Ⅰ),抛物线的顶点坐标为.(Ⅱ)根据题意,可得点,,轴,得,.成立.理由如下如图,过点作于点,则中,由勾股定理,得.又点在抛物线上,得,即.,即.过点作,与的延长线交于点,同理可得.,.有.这里,,即.(Ⅲ)令,设其图象与抛物线交点的横坐标为,且,抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的,观察图象,随着抛物线向右不断平移,的值不断增大,当满足,恒成立时,的最大值在处取得.可得,将代入,有,解得或(舍去),.此时,由,得,解得,的最大值为8.27.解
(1)当边恰好经过点时,(如图
①).在Rt中,,,..即.当边恰好经过点时,.
(2)当时,.当时,.当时,.当时,.
(3)存在.理由如下在Rt中,,又,.(ⅰ)当时(如图
②),过点作于.则.在Rt中,,即,.即..(ⅱ)当时,(如图
③),则,又,.又..即或..(ⅲ)当时(如图
④)则.[来源:学*科*网].点和重合..即..综上所述,存在5个这样的值,使是等腰三角形,即.28解⑴由题意得CM=BM,∵∠PMC=∠DMB,∴Rt△PMC≌Rt△DMB,………………………………………………………………2分∴DB=PC,∴DB=2-m,AD=4-m………………………………………………………………1分∴点D的坐标为(2,4-m).…………………………………………………………1分⑵分三种情况若AP=AD,则4+m2=4-m2,解得………………………………………2分若PD=PA过P作PF⊥AB于点F(如图),则AF=FD=AD=(4-m)又OP=AF,∴…………………………………………2分
③若PD=DA,∵△PMC≌△DMB,∴PM=PD=AD=(4-m)∵PC2+CM2=PM2,∴解得舍去………………………………………………………………2分综上所述,当△APD是等腰三角形时,m的值为或或⑶点H所经过的路径长为………………………………………………………2分图1ABxyODC图2ABxyODCPQEF图3ABxyODCFMNN1M1F1Oyxl 第4题图AA1ACCCA1A1ADB1BBBB1B1EP图1图2图3ABCDl1l2l3l4h1h2h3Oyx35-5-3BBADADCCEFEGFABCDEGF图1图2图3EADFOBxyBBCADOADCEO图2图1ABDCEF图3OC第14题ABxyABCDMNPQ(第16题)CAOQBMPTyxlAOCPBDMxyAOCPBDMxy(第24题图)图1图2EEF图6ABxyODCQIGHP图7ABxyODCMTNFMNN1M1F1Oyxl 第4题解答用图PQOC第14题ABxyADCOBPFEG26题答图
①ADCOBPEHM26题答图
②ADCOBPEH26题答图
③ADCOEBPH26题答图
④AOCPBDMxyF。