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八年级下册数学知识点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一.不等关系
1.用符号“”(或“≤”),“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式
2.非负数=大于等于0=0和正数=不小于0非正数=小于等于0=0和负数=不大于0二.不等式基本性质1.不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即,如果ab,那么a+cb+ca-cb-c.2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即,如果ab,并且c0,那么acbc,.3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即,如果ab,并且c0,那么acbc,.三.不等式的解集1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同3.不等式的解集在数轴上的表示用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向边界有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;方向大向右,小向左四.一元一次不等式1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数为1,像这样的不等式叫做一元一次不等式2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别注意,当不等式两边都乘以或除以一个负数时,不等式方向改变3.解一元一次不等式的步骤
①去分母;
②去括号;
③移项;
④合并同类项;
⑤系数化为1(不等式的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为axb(或axb)
①当a0时,解为x;
②当a=0时,且b0,则x取一切实数;当a=0,且b≥时,则无解;
③当a0时,解为x5.不等式应用
①审认真审题,找出题中的不等式关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”,“小于”,“不大于”,“不小于”;
②设设出适当的未知数;
③列根据题中的不等式关系列出不等式;
④解解出所列的不等式的解集;
⑤答写出答案,并检验答案是否符合题意五.一元一次不等式与一次函数六.一元一次不等式组1.由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集如果这些不等式解集的无公共部分,就说这个不等式组无解3.解一元一次不等式组的步骤
①分别求出不等式组中各个不等式的解集;
②利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集第二章分解因式一.分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式2.因式分解与整式乘法是互逆关系
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘二.提公因式法1.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化为两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法如,ab+ac=ab+c.2.概念内涵
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配率3.易错点
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错,如,-ab+ac=-ab-ca3b+ab3=aba2+b2;
(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉,如,ab+a=ab+1三.运用公式法1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法2.主要公式
(1)平方差公式a2-b2=a+ba-b
(2)完全平方公式a2+2ab+b2=a+b2a2-2ab+b2=a-b
23.易错点因式分解要分解到底如,x4-y4=x2+y2x2-y2,就没有分解到底4.因式分解的解题步骤
(1)先看各项有没有公因式,若有,先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止四.分组分解法1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法如,am+an+bm+bn=am+n+bm+n=a+bm+n2.概念内涵分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可以继续分解,分组后是否可以利用公式法继续分解因式3.注意分组时要注意符号的变化五.添拆项法对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式,但对于二次三项式,就不能直接用公式法了,我们可以在二次三项式中先加上一项,使其成为完全平方式,再减去这项,使整个式子的值不变.于是有=+-===.像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添拆)项法.六.十字相乘法1.对于二次三项式ax2+bx+c,将a和c分别分解成两个因数的乘积,a=a1•a2c=c1•c2b=a1c2+a2c1往往写成的形式,将二次三项式进行分解ax2+bx+c=(a1x+c1)a2x+c22.二次三项式x2+px+q的分解p=a+bq=abx2+px+q=x+ax+b八年级下册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一.不等关系※
1.一般地用符号“”或“≤”“”或“≥”连接的式子叫做不等式.¤
2.要区别方程与不等式:方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.※
3.准确“翻译”不等式正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数===大于等于0≥0===0和正数===不小于0非正数===小于等于0≤0===0和负数===不大于0二.不等式的基本性质※
1.掌握不等式的基本性质并会灵活运用:1不等式的两边加上或减去同一个整式不等号的方向不变即:如果ab那么a+cb+ca-cb-c.2不等式的两边都乘以或除以同一个正数不等号的方向不变即如果ab并且c0那么acbc.3不等式的两边都乘以或除以同一个负数不等号的方向改变即:如果ab并且c0那么acbc※
2.比较大小:a、b分别表示两个实数或整式一般地:如果ab那么a-b是正数;反过来如果a-b是正数那么ab;如果a=b那么a-b等于0;反过来如果a-b等于0那么a=b;如果ab那么a-b是负数;反过来如果a-b是正数那么ab;即:ab===a-b0a=b===a-b=0ab===a-b0由此可见要比较两个实数的大小只要考察它们的差就可以了.三.不等式的解集:※
1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解;一个不等式的所有解组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程叫做解不等式.※
2.不等式的解可以有无数多个一般是在某个范围内的所有数与方程的解不同.¤
3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时要确定边界和方向:
①边界:有等号的是实心圆圈无等号的是空心圆圈;
②方向:大向右小向左四.一元一次不等式:※
1.只含有一个未知数且含未知数的式子是整式未知数的次数是
1.像这样的不等式叫做一元一次不等式.※
2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似特别要注意当不等式两边都乘以一个负数时不等号要改变方向.※
3.解一元一次不等式的步骤:
①去分母;
②去括号;
③移项;
④合并同类项;
⑤系数化为1不等号的改变问题※
4.一元一次不等式基本情形为axb或axb
①当a0时解为;
②当a=0时且b0则x取一切实数;当a=0时且b≥0则无解;
③当a0时解为;¤
5.不等式应用的探索利用不等式解决实际问题列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似即:
①审:认真审题找出题中的不等关系要抓住题中的关键字眼如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;
②设:设出适当的未知数;
③列:根据题中的不等关系列出不等式;
④解:解出所列的不等式的解集;
⑤答:写出答案并检验答案是否符合题意.五.一元一次不等式与一次函数六.一元一次不等式组※
1.定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.※
2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分通常是利用数轴来确定.※
3.解一元一次不等式组的步骤:1分别求出不等式组中各个不等式的解集;2利用数轴求出这些解集的公共部分即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况a、b为实数且ab一元一次不等式解集图示叙述语言表达xb两大取较大xa两小取小axb大小交叉中间找无解在大小分离没有解是空集第二章分解因式一.分解因式※
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式这种变形叫做把这个多项式分解因式.※
2.因式分解与整式乘法是互逆关系.因式分解与整式乘法的区别和联系:1整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式;2因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二.提公共因式法※
1.如果一个多项式的各项含有公因式那么就可以把这个公因式提出来从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:※
2.概念内涵:1因式分解的最后结果应当是“积”;2公因式可能是单项式也可能是多项式;3提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律即:※
3.易错点点评:1注意项的符号与幂指数是否搞错;2公因式是否提“干净”;3多项式中某一项恰为公因式提出后括号中这一项为+1不漏掉.三.运用公式法※
1.如果把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.※
2.主要公式:1平方差公式:2完全平方公式:¤
3.易错点点评:因式分解要分解到底.如就没有分解到底.※
4.运用公式法:1平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项不含符号都是一个单项式或多项式的平方;
③二项是异号.2完全平方公式:
①应是三项式;
②其中两项同号且各为一整式的平方;
③还有一项可正负且它是前两项幂的底数乘积的2倍.※
5.因式分解的思路与解题步骤:1先看各项有没有公因式若有则先提取公因式;2再看能否使用公式法;3用分组分解法即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;4因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积否则不是因式分解;5因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四.分组分解法:※
1.分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如:※
2.概念内涵:分组分解法的关键是如何分组要尝试通过分组后是否有公因式可提并且可继续分解分组后是否可利用公式法继续分解因式.※
3.注意:分组时要注意符号的变化.五.十字相乘法:※
1.对于二次三项式将a和c分别分解成两个因数的乘积且满足往往写成的形式将二次三项式进行分解.如:※
2.二次三项式的分解:※
3.规律内涵:1理解:把分解因式时如果常数项q是正数那么把它分解成两个同号因数它们的符号与一次项系数p的符号相同.2如果常数项q是负数那么把它分解成两个异号因数其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同对于分解的两个因数还要看它们的和是不是等于一次项系数p.※
4.易错点点评:1十字相乘法在对系数分解时易出错;2分解的结果与原式不等这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.第三章分式一.分式※
1.两个整数不能整除时出现了分数;类似地当两个整式不能整除时就出现了分式.整式A除以整式B可以表示成的形式.如果除式B中含有字母那么称为分式对于任意一个分式分母都不能为零.※
2.整式和分式统称为有理式即有:※
3.进行分数的化简与运算时常要进行约分和通分其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变.※
4.一个分式的分子、分母有公因式时可以运用分式的基本性质把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式也就是把分子、分母的公因式约去这叫做约分.二.分式的乘除法※
1.分式乘以分式用分子的积做积的分子分母的积做积的分母;分式除以以分式把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.即:※
2.分式乘方把分子、分母分别乘方.即:逆向运用当n为整数时仍然有成立.※
3.分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.三.分式的加减法※
1.分式与分数类似也可以通分.根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分.※
2.分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.1同分母的分式相加减分母不变把分子相加减;上述法则用式子表示是:2异号分母的分式相加减先通分变为同分母的分式然后再加减;上述法则用式子表示是:※
3.概念内涵:通分的关键是确定最简分母其方法如下:最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母取各分母所有字母的最高次幂的积如果分母是多项式则首先对多项式进行因式分解.四.分式方程※
1.解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母约去分母化成整式方程;
②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母看结果是不是零使最简公母为零的根是原方程的增根必须舍去.※
2.列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意;
②设未知数;
③根据题意找相等关系列出分式方程;
④解方程并验根;
⑤写出答案.第四章相似图形一.线段的比※
1.如果选用同一个长度单位量得两条线段ABCD的长度分别是m、n那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n或写成.※
2.四条线段a、b、c、d中如果a与b的比等于c与d的比即那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段简称比例线段.※
3.注意点:
①a:b=k说明a是b的k倍;
②由于线段a、b的长度都是正数所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外a:b≠b:a与互为倒数;
⑤比例的基本性质:若则ad=bc;若ad=bc则二.黄金分割※
1.如图1点C把线段AB分成两条线段AC和BC如果那么称线段AB被点C黄金分割点C叫做线段AB的黄金分割点AC与AB的比叫做黄金比.※
2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.四.相似多边形¤
1.一般地形状相同的图形称为相似图形.※
2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五.相似三角形※
1.在相似多边形中最为简简单的就是相似三角形.※
2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※
3.全等三角形是相似三角的特例这时相似比等于
1.注意:证两个相似三角形与证两个全等三角形一样应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※
4.相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※
5.相似三角形周长的比等于相似比.※
6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的条件※
1.相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边或两边的延长线相交的直线所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等;
②两边对应成比例且夹角相等;
③三边对应成比例.
①一个锐角对应相等;
②两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.如图2l1//l2//l3则.※
3.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似.八.相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九.图形的放大与缩小※
1.如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.※
2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎
3.位似变换:
①变换后的图形不仅与原图相似而且对应顶点的连线相交于一点并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法可以把一个图形放大或缩小.第五章数据的收集与处理一.每周干家务活的时间※
1.所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.※
2.为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.二.数据的收集※
1.抽样调查的特点:调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确它得到的只是估计值.而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章证明一二.定义与命题※
1.一般地能明确指出概念含义或特征的句子称为定义.定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.※
2.可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题错误的命题称为假命题.※
3.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据这样的真命题叫做公理.※
4.有些命题可以从公理或其他真命题出发用逻辑推理的方法判断它们是正确的并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据这样的真命题叫做定理.¤
5.根据题设、定义以及公理、定理等经过逻辑推理来判断一个命题是否正确这样的推理过程叫做证明.三.为什么它们平行※
1.平行判定公理:同位角相等两直线平行.并由此得到平行的判定定理※
2.平行判定定理:同旁内互补两直线平行.※
3.平行判定定理:同错角相等两直线平行.四.如果两条直线平行※
1.两条直线平行的性质公理:两直线平行同位角相等;※
2.两条直线平行的性质定理:两直线平行内错角相等;※
3.两条直线平行的性质定理:两直线平行同旁内角互补.五.三角形和定理的证明※
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°¤
2.一个三角形中至多只有一个直角¤
3.一个三角形中至多只有一个钝角¤
4.一个三角形中至少有两个锐角六.关注三角形的外角※
1.三角形内角和定理的两个推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(注※表示重点部分;¤表示了解部分;◎表示仅供参阅部分;)。