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文本内容:
三角形全等之倍长中线(讲义)
一、知识点睛辅助线的定义为了解决几何问题,在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线.辅助线通常画成虚线.辅助线的原则添加辅助线,构造新图形,形成新关系,建立己知和未知之间的桥梁,把问题转化成自己已经会解的情况.辅助线的作用
①把分散的条件转为集中;
②把复杂的图形转为基本图形.添加辅助线的注意事项明确目的,多次尝试.“三角形全等”辅助线见中线要,之后
6.倍长中线的作法BH——-^―n——C延长AD到E使DE=AD连接BE延长MD到E使DE=MD连接CE
二、精讲精练X.如图,AD为AABC的中线.求证AB+AC2AD.
2.如图,在Z\ABC中,AD平分ZBAC且BD=CD.求证AB=AC.
3.如图,CB是Z^AEC的中线,CD是八入日的中线,且AC=AB.求证
①CE=2CD;
②CB平分NDCE.
4.如图,在左ABC中,D是BC边的中点,E是AD±一点、BE=ACBE的
5.如图,在左ABC中,AD交BC于点D点E是BC中点,EF/7AD交CA的延长线于点F交AB于点GBG=CF.求证AD为Z\ABC的角平分线.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点的点GE_LEF.求证GF=AG+BF.
7.如图,在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点EAFEB为等腰直角三角形,ZFEB=90°连接FD取FD的中点G连接EGCG.求证EG=CG且EGJ_CG・
三、回顾与思考【参考答案】【知识点睛】见中线要倍长,倍长之后证全等.【精讲精练】
1.证明略(提示延长AD到点E使DE=AD连接BE证明△BED^ACAD
2.证明略(提示延长AD到点E使DE=AD连接BE证明△BED^ACAD
3.证明略(提示延长CD到点F使DF=CD连接BF证明△BDF^AADCACBE^ACBF证明略(提示延长AD到点M使DM=AD连接BM证明△ADC^AMDB证明略(提示延长EF到点M使EM=EF连接BM证明△CFE^ABME
4.已知如图,D为线段AB的中点,在AB上任取一点VAD//BCAZD=ZDCFZDAE=ZF•.•E是CD的中点DE=CE在AADE和AFCE中ZD=ZFCEZDAE=ZFDE=CEAAADE^AFCEAASAAD=FCAE=FEVAB=AD+BCAAB=CF+BC=BF在ZkABE和ZkFBE中AB=FBBE=BEAE=FE.•.aabe^afbeSSSAZABE=ZFBE=90°即AE±BE
2.证明延长AE到F使得EF=AE连接DF.VF•.•E为BD中点ABE=ED在Z\ABE和Z\FDE中BE=DEZBEA=ZDEFAE=FEAAABE^AFDESASAAB=FDZBAF=ZFZB=ZFDEVZBDA=ZBAD.BD=AB•.•D为BC边中点CD=BD=AB=FDVZBDA=ZBADAZADF=ZBDA+ZFDEZADC=ZB+ZBAD艮PZADF=ZADC在ZkFAD和ZkCAD中FD=CDZFDA=ZCDAAD=ADAAFAD^ACADSAS.\zf=zcAZC=ZBAE
3.解AF±DFAF=DF理由如下延长DF交AC于点P.VBA±ACED±BDAZBAC=ZEDA=90°ADE/7AC•\ZDEC=ZECA•.•F为EC中点AEF=FC在ZkEDF和ZkCPF中ZDEF=ZPCFZEFD=ZCFPEF=CFAAEDF^ACPFAASADE=CPDF=PFVAABC与ABDE均为等腰直角三角形•\AB=ACDE=BDAB-BD=AB-DE=AC-CP即AD=AP在ZkDAF和Z\PAF中DF=PFAF=AFAD=APAADAF^APAFSSSAZDFA=ZPFA=90°ZDAF=ZPAF=45°AAF1DFAF=DF
4.证明延长ED到点G使得DG=DE连接BGFG•.•D为线段AB的中点AAD=BD在Z\EDA和Z\GDB中ED=GDZEDA=ZGDBDA=DBAAEDA^AGDBSASAEA=GBZA=ZGBDVAACE与4BCF是等腰直角三角形AAE=CE=BGCF=FBZA=ZECA=ZFCB=ZFBC=45°AZECF=90°ZFBG=ZFBD+ZGBD=90°在z^ECF和Z\GBF中EC=BGZECF=ZGBFCF=BFAAECF^AGBFSASAEF=GFZEFC=ZGFBVZCFB=ZCFG+ZGFB=90°:.ZEFG=ZEFC+ZCFG=90°在Z\EFD和△GFD中,EF=GFFD=FDED=GD.•.△EFD丝△GFDSSSAZEDF=ZGDF=90°ZEFD=ZGFD=45°ED=DF
5.解AB=AF+CF理由如下延长AE交DF的延长线于点G.•.•E为BC边的中点:.BE=CEVAB/7DCAZB=ZBCGZBAG=ZG在AABE和AGCE中ZB=ZGCEZBAE=ZGBE=CEAAABE^AGCEAASAAB=GCVZBAE=ZEAF.\ZG=ZEAF•••AF=GFVGC=GF+FC•••AB=AF+CF三角形全等之倍长中线(随堂测试)
1.在Z\ABC中,AC=5,中线AD=4则边AB的取值范围是
2.已知如图,在ZkABC中,AB产ACDE在BC上,且DE=EC过D作DF/7BA交AE于点FDF=AC.求证AE平分匕BAC・【参考答案】
1.3VABV
132.证明略(提示延长AE到点M使EM=AE连接DM证明△DME丝ACAE)三角形全等之倍长中线(作业)
3.己知如图,在Z\ABC中,AB=5AC=3则中线AD的取值范围是
4.如图,在梯形ABCD中,AD〃BC点E在BC上,点F是CD的中点,且AF1AB若AD=
2.7BE=AE=5求CE的长.
5.已知如图,在Z\ABC中,AD是BC边上的中线,分别以ABAC为直角边向外作等腰直角三角形.求证EF=2AD.
6.如图,在ZkABC中,ABACE为BC边的中点,AD为NBAC的平分线过E作AD的平行线,交AB于F交CA的延长线于G・求证BF=CG.
7.如图,在正方形ABCD的边AB±任取一点E作EF±AB交BD于点F取FD的中点G连接EGCG.求证EG=CG且EG1CG.
8.已知如图,ZACB=90°AC=BCD为AB上一点,连接CDAE±CD于EBFJLCD交CD的延长线于F.求证ABCF^ACAE.【参考答案】
1.1AD
42.3(提示延长AF交BC于点G导角证明AE=EG)证明略(提示延长AD到点P使得AD=PD连接CP证明△ABD^APCDAEAF^APCA)证明略(提示延长FE到点H使得FE=EH连接CH证明△BFE^ACHE导角)证明略(提示延长EG交AD于点P连接CECP)
6.证明略。