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新课标回归教材不等式
1、不等式的性质:注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据.典例1)对于实数a.b.c中,给出下列命题:
①tzZ=ac2bc2:
②2bc°=ab;®abO=a2abb2;®ab0^——;®ab0^——\abab®ab0^\a\\b\;@cab0^;®ab——=fzO.b
0.c-ac-bab其中正确的命题是
②③⑥⑦⑧・己知一lx+y11x-y3K1]3x-y的取值范围是
[17];3)己知aZc且+》+c=0则—的取值范围是(—2—■-).a2_
2、不等式大小比较的常用方法
(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;
(2)作商(常用于分数指数幕的代数式);
(3)分析法;
(4)平方法;
(5)分子(或分母)有理化;
(6)利用函数的单调性;
(7)寻找中间量或放缩法;
(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.典例1)设〉0且主1,0比较上log”,和log“旦二的大小答案:
①当q1时-log^rlog“乏(在.=i时取二”);
②当0V1V1时「log.tlog“少(在/=1时取“=”);2)已知Q0QA1试比较p==/+I的大小.(答:p0)
1、3)设2〃=+舛=2_~+4”—2试比较pq的大小(答:pq);a-24)比较1+log、3与21ogv2(x0且x丰1)的大小.4答:当Ovxvl或尤〉一时1+logi321ogv2;44当1xv—时1+log3V2log2;当尤=一时』+logv3=2logv25)若qZce/+,且2=log°5々(
0.5)=log05h(
0.5)c=log2c比较abc的大小.(答cba)利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”.典例1)下列命题中正确的是(B)A.y=x+-的最小值是2B・y=2—3i—£(x0)的最大值是2—40C.y—:*3的最小值是2D.j=2—3x——(x0)的最小值是2—4\/3;Vx2+2x2)若尤+21则2V+
4、的最小值是2姻;Q93)已知工ye/+,且x+y=1则一+—的最小值为18;xyQ9变式
①:已知0vx1贝!J—+的最小值为18;x1-x41己知xyc且—+—=9,则x+y的最大值为1;:己知xy£7+且Ajy=工+4了,则x+y的最小值为9;常用不等式有
(1)了2了(ab€氏当=时取=号)1ab
(2)a2*”)2ab(abwR当=/时取=号)2上式从左至右的结构特征为:“平方种,不小于“和平方之半”不小于“积两倍”.⑶真分数性质定理:若/0/20则°+(糖水的浓度问题)・aa+m典例:若cibwR+满足ab=a+b+3则沥的取值范围是[9+oo).证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放一比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小然后作出结论.)常用的放缩技巧有上-一=——4—*—=—--(右边当心2时成立)n〃+1〃(〃+1)n〃(〃一1)〃一1n11—.』k+1+y[k2y[kJk_l+y[k典例:1)已知abc求证:a2b+b2c+c2aab+b+ca2;[2:注和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.绝对值不等式的解法了解]2)已知cibceR求证:疽屏+b2c2+c2a2abc(a+/+c);3)已矢口abxyeR+——xy,求证:乂—-—abx+ay+b4)若abc是不全相等的正数求证:lg%+炬捋+恒号5)若〃cM求证:J(免+1)2+1一(〃+1)+1-n;求证:1HH——+■•.——
2.2*32疽[3:1分域讨论法最后结果应取各段的并集][4:1典例:解不等式12——x|2-|x+-|;答:xe/;][5:23利用绝对值的定义;3数形结合;]常系数一元二次不等式的解法:判别式一图象法步骤:1化一般形式:M+/x+qOvO其中0;求根的情况:破2+/x+c=O—A0=00;由图写解集:考虑y=ax2-i-hx+ca0图象得解.典例:解不等式+2”.答ey0_2]d[_L+32注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点非正负无穷大是对应一元二次方程函数的根零点.典例:若关于x的不等式ax2+Zx+c的解集为{x\xm^x/}/m0解关于x的不等式er一版+.答%|x-—一~}nm简单的一元高次不等式的解法:标根法其步骤是1分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线奇穿偶回;根据曲线显现的符号变化规律写出不等式的解集.典例1解不等式x-lx+
220.答:{田论1或X=-2};不等式%-2Vx2-2x-30的解集是{x\x3或x=-1;设函数、gx的定义域都是R,且/%0的解集为x|lx2gx20的解集为0,则不等式/%-gx0的解集为yo1U[2心;要使满足关于x的不等式2x2-9x+«0解集非空的每一个尤的值至少满足不等式Q1x2-4x+30和x2-6x+80中的一个,则实数的取值范围是[7—.8分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母..5—x典例1解不等式v-1答-11U23;x2-2x-32关于尤的不等式ax-b的解集为1心,则关于尤的不等式竺丑0的解集为x-2―-lU2+
8.典例:解不等式E+|xT|3;答—8—1U2+s两边平方典例:若不等式|3x+2|Z|2x+a\对xcR恒成立,则实数的取值范围为{}
10、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讦还是关键・”洋音眠守夕后尊写卜•“幺字F原不等式的陋隼是…”按参数讨论,最后危按分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集._典例1若log—1,则的取值范围是1或0a—\3_22解不等式—xaeR.ax-\答口=0H寸{工|工0};0日寸{工|工上或工0};.〈011寸{%|—x0gJcx0含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法.一般地设关于x的含参数的一元二次形式的不等式为fax2+gax+ra
00.第一级讨论:讨论二次项系数八是否为零;第二级讨论:若时先观察其左边能否因式分解,否则讨论△的符号;⑶第三级讨论:若/6Z^OAO0^先观察两根而易大小是否确定,否则讨论两根的大小.注意:每一级的讨论中,都有三种情况可能出现,即“泌,J,应做到不重不漏.典例1解关于工的不等式心2-2工+06R・答:
①当qZI时,xeO;
②当Ovqvl时,xe-,—~;aa当0=0时,xg0+go;@当-l〈czvO时,xg-oo—_i_d+coaa
⑤当v-l时,xwR2解关于工的不等式ax2-22x-ax{agR.2答
①当Q0时,XG-X-1]U[—4-00;1当=0时,XG-00-1]
③当—2vqv0时,xe[--l];
④当q=—2时,e{-1};
⑤当v—2时,戏[-1一]aa提醒:解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示.
11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题也可抓住所给不等式的结构特征利用数形结合法.
1.恒成立问题★★★若不等式fxA在区间上恒成立,则等价于在区间上/xm.nA若不等式fxB在区间上恒成立,则等价于在区间Z±/xmaxB典例1设实数工满足J+y_l2=1,当工+y+ckO时C的取值范围是[皿-1+00;2不等式|x-4|+|x-3|a对一切实数工恒成立,求实数的取值范围ovl;若2x-lmx2-1对满足g|2的所有m都成立,则x的取值范围足1足1;一1中3若不等式_1〃2+〔、对于任意正整数〃恒成立,则实数的取值范围是[-2-n2若不等式x2一2mx+2m+10M0a:P恒成立,则m的取值范围m
22.能成立问题若在区间上存在实数X使不等式/xA成立,则等价于在区间r±/xmaxA;若在区间上存在实数x使不等式/xB成立,则等价于在区间上的/xminB.注意:若方程a=fxxgD有解,则等价于a^{y\y=/xxgD}典例:1已知|x-4|+|x-3|6/在实数集R上的解集不是空集,求实数的取值范围々12己知P=x||x2函数y=log2a『-2x+2的定义域为Q・若PcQaS求实数的取值范围.答口-412若方程log2or2-2x+2=2在顷2]内有解,求实数的取值范围.答日亍⑵
3.恰成立问题若不等式fx}A在区间上恰成立,则等价于不等式/xA的解集为D;若不等式/xB在区间上恰成立,则等价于不等式/xB的解集为D・
12..简单的线性规划问题1二元一次不等式组表示平面区域
①一般地,二元一次不等式Ar+5y+C0«0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O某一侧的所有点组成的平面区域半平面不含边界线;名称不等式名称不等式对称性ab=ba(充要条件)传递性abbc=ac可加性ah=a+ch+c(充要条件)同向不等式可加性ab.cd=a+cb+d异向不等式可减性abcd^a—cb-d可乘性abc0^acbeZcv0=acvbe同向正数不等式可乘性abQcdQnacbd异向正数不等式可除性0vcvdn%%乘方法则cib0nabnnwNnN2开方法则Z0=y[a\[bneNn2倒数法则abQab=——ab常用结论ab^a3b3充要条件。