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第2章推理与证明章末综合检测(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)在ZVIBC中,sinAsinCcosAcosC则ZvlBC一定是()锐角三角形直角三角形钝角三角形不确定解析选D.由sinAsinOcosAcosC可得cos(A+C)0即cosB0所以B为锐角,但并不能判断AC故选D.如果两个数的和为正数,则这两个数()一个是正数,一个是负数两个都是正数至少有一个是正数两个都是负数解析选C.两个数的和为正数,则有三种情况
(1)一个是正数,一个是负数且正数的绝对值大于员数的绝对值;
(2)一个是正数,一个是零;
(3)两个数都是正数.可综合为“至少有一个是正数”・已知s若好b且+/=2贝1()cr+b21ab_2~cr+b2B・ab1v---a2+b2ab_2~1cr+b1-2~ab1解析选B.V/=2—6/ab—a2—a=—{cv—2a=一俗一12+11之+朋2+2_22q2—%+42=2=2在面积为S(S为定值)的扇形中,当扇形的中心角为、半径为时,扇形周长最小这时0尸的值分别是()1yfs2如2纭2y[s]29c解析选D.由S=尹尸可得又因为扇形周长P=2尸+伽=2(尸+)N4而,所以当CP最小时,r=-解得r=y/S9此时0=
2.观察式子1+土v|,1+土+§1+土+玄+土vj…,则可归纳出一般式子为()解析选C.由合情推理可归纳出1+土+*,七1〃
32.故选C.有以下结论已知p3+g=2求证p+qW2用反证法证明时,可假设p+gN2;已知/CR|o|+|/|vl求证方程x2+ax+b=的两根的绝对值都小于1用反证法证明时可假设方程有一根为的绝对值大于或等于1即假设kil^l.下列说法中正确的是1与2的假设都错误B・1与⑵的假设都正确1的假设正确;2的假设错误1的假设错误;2的假设正确解析选D.用反证法证题时一定要将对立面找全.在⑴中应假设p+q
2.故⑴的假设是错误的,而2的假设是正确的,故选D.若abc£R且ab+bc+ca—\则下列不等式成立的是6z2+/2+c2^2a+b+cf^3D.解析选B.Vab+bc+ca=1二a1+b1+c1^ab+bc+ca=1Aa+b+c2=a1+b2+c2+2ab+2bc+2ca^1+2o+Z+c=
3.对于o人£0+°°a+b^2y[ab大前提,小前提所以x+!n2结论以上推理过程中的错误为大前提小前提结论无错误解析选B.大前提中aZWO+°°而小前提中xER故小前提出错,应改为x^0+°°.
9.如图所示的是某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H不同的旅游路线的条数是15161718解析选C.这是图论中的一个问题,如果一条一条的去数,由于道路错综复杂,哪些已算过,哪些没有算过就搞不清了,所以我们换一个思路,用分析法来试试.要到H点,需从几EG走过来,那几EG各点又可由哪些点走过来呢,…,这样一步一步地倒推,最后归结到4然后再反推过去得到如下的计算法A至BC的路数记在8CD圆圈内BC分别到FEG的路数亦记在FEG圆圈内,最后FEG各个路数之和,即得至H的总路数,如图所示.
10.若0b09则p=瓦0与q=M的大小关系是p2qpWqpqpg时圮正a2ci—bb—ad\a—b解析选a.捉若ab0则|1a-b
0.•/1:若0ab则|1a-b
09.专1;若a=b9则;=1:・pNq.H.己知Xx+y=/%+»且=2则只1+犬2+・・・+加不能等于A.只1+顶1+・・・+研1n/+1〃〃+1成解析选D.由已知Xx+y=Xx+»及川=2得贝2=大1+1=/⑴+人1=欢1=4犬3=犬2+1=人2+犬1=3贝=6…,依此类推,加=/〃一1+1=人〃一1+犬1=...=状1=2〃,所以只1+人2+・・・+/〃=2+4+6+・・・+2〃=;2〃=〃3+]・故正确,显然aB也正确,只有D不可能成立.从一楼到二楼的楼梯共有〃级台阶,每步只能跨上1级或2级台阶,走完这〃级台阶共有犬〃种走法,则下面的猜想正确的是/〃=/〃—1+犬〃—2〃N
3.如=2/〃T〃N
2.人〃=2/〃—1—1〃N2/〃=/〃一1/〃—2〃》3解析选AS〃=1时,Jl=l;当〃=2时,只2=2;当〃=3时,汽3=3;当n=4时,犬4=5由上面可推知选A猜想.
二、填空题本大题共4小题.把正确答案填在题中横线上在△旭C中,D为BC的中点,则AZ=|AB+AC将命题类比到四面体中去,得到一个类比命题:解析△A8C中边上的中点类比为四面体中一个面的重心.答案在四面体ABCQ中,G为-BCD的重心,则AG=|AB+AC+Ab写出用三段论证明Xx=x3+sinxUeR为奇函数的步骤是.解析按照三段论的要求写出即可.答案满足只一x=一/U的函数是奇函数,大前提7—%=—x3+sin—%=—x3—sinr=—x3+sinx=小前提所以/x=x3+sinx是奇函数・结论设/U是定义在R上的奇函数,且y=/U的图象关于直线尤=§寸称,则只1+只2+用+/4+只5=•解析因为yu在R上是奇函数,所以只=0只一工=一心,又因为/U的图象关于直线x=|对称,所以尤,所以汽1—工=/3=—/—X设t=-X则人1+「=—..所以人2+,=/[1+1+圳=—人1+»=—[—冷]=冷,即犬2+,=冷,所以必的周期为
2.所以J1=/3=J5/2=只
4.又因为/1=/1—1=犬0=0爪2=/1—2=/—1=一只1=0所以/l+A2+/3+X4+/5=
0.答案0将正△ABC分割成〃EN个全等的小正三角形图
①,图
②分别给出了n=23的情形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于△A8C的三边及平行于某边的任一直线上的数当数的个数不少于3时都分别依次成等差数列.若顶点ABC处的三个数互不相同且和为1记所有顶点上的数之和为伽则有.人2=
2.人3=….伽=.B图
①解析当71=3时,如下图所示,各顶点的数用小写字母来表示,即由条件知a+b+c=1x\+x2=a+byi+y2=b+cz\+z2=c+a.+^2+yi+2+z]+z2=2q+/+c=
2.2g=xj+y2=2+zi=y\+z2「・6g=ii+x2+yi+y2+zi+z2=2Q+/+c=2即g=\.=€/+/+c+xi+、2+yi+y2+zi+z+g=1+2+^=^.进一步可求得犬4=
5.由川=1=弓顶2=§=/1+§顶3=亍=犬2+§犬4=于=/3+|可得所=A〃一1+芒p■〃+1〃=只〃一2+^—+顼…〃+In.n~
13.=丁+耳+丁+…+gl=上〃+1〃+2・答案¥/〃+1〃+2
三、解答题本大题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知是整数,X是偶数,求证是偶数.证明反证法假设不是偶数,即是奇数,则设6/=2n+l7eZ.6Z2=4h2+4h+
1.V4n2+n是偶数,/.4n2+4n+1是奇数,这与已知*是偶数矛盾,所以假设错误,即a一定是偶数.用三段论证明直角三角形两锐角之和是
90.证明任意三角形的内角和为
180.大前提直角三角形是三角形.小前提直角三角形的三内角之和为
180.结论设直角三角形的两个内角分别为NAZB则有ZA+ZB+90°=180°.等量减等量差相等.大前提ZA+ZB+90°-90°=180°-90°.小前提ZA+ZB=90°.结论观察下表123456789101112131415问1此表第〃行的最后一个数是多少?此表第〃行的各个数之和是多少?2011是第几行的第几个数?解1由表知,每行的第一个数为偶数,所以第〃+1行的第一个数为2〃,所以第〃行的最后一个数为2〃一
1.由1知第〃一1行的最后一个数为第〃行的第一个数为2〃一】,第〃行的最后一个数为2〃一
1.又由观察知,每行数字的个数与这一行的第一个数相同,所以由等差数列求和公式得,=2E堂21=2心+2心_次因为21°=10242=2048又第11行最后一个数为211-1=2047所以2011是在第11行中,由等差数列的通项公式得,2011=1024+/2-14所以n=988所以2011是第11行的第988个数.
20.如图所示,在四棱锥F-BCZ中,四边形ABCD为正方形,F点在平面ABCD内的射影为A且PA=AB=29E为PD的中点.求证:朋〃平面曲;平面PCD
1.平面PAD.证明如图所示,连结BD交AC于点0连结E
0.*.•0为BD中点,E为PD中点,:・E0〃PB.•:E0U平面AECPBG平面AEC:.PB〃平面AEC....P点在平面ABCD内的射影为A31J_平面ABCD..:CDU平面ABCD:.PAA.CD.•.•在正方形ABCD中CDLAD且网:.CDA.平面PAD.史CDU平面PCD・.・平面PCD±平面PAD.设函数./U=|lgx|若0ab且.如证明:0ab
1.证明法一由已知/U=|lgM[IgA*xNll-lgxOVxVl・.・OVqV,RaKb.:.a不能同时在区间[1+8上,又由于0ab故必有6/e0l.若关01显然有0abl;若+8由脆一仰0有一IgQ—lg》0/.lgab0Aabl.法二由题设MKb即|igd|妙I上式等价于Igcz2lg/2Igo+lg/lgtz—IgZ
0..Ig沥.lg|0由已知baQ
1.\lg沥VO「•OVciOVl.已知数列{□〃}的前〃项和〃一*2〃为正整数・令.=2〃如1求证数列{勿}是等差数列;⑵求数列{“〃}的通项公式.解⑴证明在Sn=—afJ—[^令〃=1可得Si=—勿一1+2=勿「・an=S〃一S〃-1=—an+an-\+2cin=0L1+^2Jn,即2〃〃=2〃一0_]+
1.•.•为=2%〃,bn=bn-\^r
1.即当时,bn-bnT=l又bi=2ai=l..•数列化〃}是首项和公差均为1的等差数列.2由1可知bn=1+n—\y\=n=Tanyirtan=须.即数列{〃}的通项公式为另。