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数的整除数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之
一一、基本概念和知识.整除一一约数和倍数例如154-3=5634-7=9一般地,如a、b、c为整数,b”且a+b=c即整数a除以整除b(b不等于0)除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0)我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)o记作bIa.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a)记作ba如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数例如在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数.数的整除性质性质1如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除例如如果2I102I6那么2I10+6并且2I10—6o性质2如果b与c的积能整除a那么b与c都能整除a.即如果beI例如如果2I287I28且27=1那么(2x7)I28o性质4如果c能整除bb能整除a那么c能整除a即如果cIbbIa那么cIa例如如果3I99I27那么3I27o.数的整除特征能被2整除的数的特征个位数字是
0、
2、
4、
6、8的整数.〃特征〃包含两方面的意义一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0)・下面〃特征〃含义相似能被5整除的数的特征个位是或5能被3(或9)整除的数的特征各个数位数字之和能被3(或9)整除能被4(或25)整除的数的特征末两位数能被4(或25)整除例如1864=1800+64因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64所以1864能被4整除.但因为2564所以1864不能被25整除.能被8(或125)整除的数的特征末三位数能被8(或125)整除例如29375=29000+375因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为1251375所以29375能被125整除.但因为8375所以829375能被11整除的数的特征这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是M的倍数例如判断123456789这九位数能否被11整除?解这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=
20.因为25-20=5又因为115所以11123456789再例如判断13574是否是11的倍数?解这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是(4+5+1)-(7+3)=
0.因为0是任何整数的倍数,所以11I
0.因此13574是11的倍数能被711或13整除的数的特征一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差以大减小能被711或13整除例如判断1059282是否是7的倍数?解把1059282分为1059和282两个数.因为1059・282=777又7I777所以7I
1059282.因此1059282是7的倍数再例如判断3546725能否被13整除?解把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=
2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819又13I819所以13I2821进而13I
3546725.能被30以下质数整除的数的特征大家知道,一个整数能被2整除,那么它的个位数能被2整除;反过来也对,也就是一个数的个位数能被2整除,那么这个数本身能被2整除因此,我们说一个数的个位数能被2整除”是这个数能被2整除”的特征在这一讲中,我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的特征为了叙述起见,我们把讨论的数N记为N=...a必必1%=-+a3X103+a X10-+1X10+a
0.W时也表示为N=ZC朋°3我们已学过同余,用mod2表示除以2取余数有公式N三a0mod2N三alaOmod4N三a2ala0mod8N三a3a2ala0mod16这几个公式表明一个数被24816整除的特性,而且表明了不能整除时,如何求余数此外,被39整除的数的特征为它的各位数字之和可以被39整除我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下如mod9如果N=a3a2ala0=a3xl000+a2xl00+alxlO+aO=a3x999+l+a2x99+l+alx9+l+aO=a3+a2+al+aO+a3x999+a2x99+alx9那么,等式右边第二个括号中的数是9的倍数,从而有N=a3+a2+al+aOmod9对于mod3理由相仿,从而有公式N三…+a3+a2+al+aOmod9N三…+a3+a2+al+aOmod3。