培优专题11三角形及其有关概念含答案

3、三角形及其有关概念【知识精读】三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形中的几条重要线段

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）

（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）

（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；

（2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和;

（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；

（5）三角形具有稳定性补充性质在A4BC中，D是BC边上任意一点，E是AD±任意一点，则三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形利用三角形的性质去研究多边形实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例

1.锐角三角形ABC中，ZC=2ZB则/B的范围是（）10°ZB20°B.20°ZB30°C.30°ZB45°D.45°ZB60°分析因为MBC为锐角三角形，所以0°ZB90°又ZC=2ZB/.0°2ZB90°.・.0°ZB45°又..・ZA为锐角，ZA=180°-（ZS+匕C）为锐角・•・ZB+ZC90°3ZB90°即ZB30°/.30°ZB45°故选择C例

2.选择题己知三角形的一个外角等于160°另两个外角的比为2:3则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定分析由于三角形的外角和等于360°其中一个角己知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状解..•三角形的一个外角等于

160...另两个外角的和等于200°设这两个外角的度数为2x3x解得x=402x=803x=120与80相邻的内角为100・..这个三角形为钝角三角形应选C例

3.如图，已知在MBC中，AB-AC求证ZC-ZBO22分析:欲证ZC-Z5可作ZABC的平分线BE交AC于E只要证ZCZEBC2即可为与题设AB-AC联系，又作AF//BE交CB的延长线于F2显然ZEBC=ZF只要证ZCZF即可由AF2ABAC可得证证明作匕ABC的角平分线BE交AC于E过点A作AF//BE交CB的延长线于F・.・AF//BEZF=/EBCZFAB=ZABE又VBE平分ZABCAZEBC=ZABEAZF=ZFABAAB=BF又・.・AB+FBAF即2ABAF又VAB-AC:.ACAF2・•・ZFZC又..・ZF=-ZABC2二ZC-ZB2例

4.己知三角形的一边是另一边的两倍求证它的最小边在它的周长的［与』之间64分析首先应根据己知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明证明如图，设宜剧？的三边为a、b、c其中a=2cvha-ca=2c/.hc因此，c是最小边，:・b〈3c因it匕，q+/+cv2c+3c+c即cLq+/+c6—Q+/+CVCV—€Z+/+C64故最小边在周长的［与上之间64【实战模拟】己知三角形的三边长为381+2%求x的取值范围分析本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可解..•三边长分别为381+2%由三边关系定理得A42x102x5已知A43C中，AB=BCD点在BC的延长线上，使AD=BCZBCA=a』CAD=求a和B间的关系为？解・.・AB=BCZBCA=ABAC=a又・.・AD=BC:.AD=AB.・CD=/B又-BCA=/D+-B・・./D=a/.ZB=a-/3根据三角形内角和，得2a+a-[3=180°・•・3a-/7=18O°如图，A48C中，ZABC.£4C3的平分线交于P点，匕BPC=134，则ZBAC=A.68°80°88°46°A解・.・£BPC=134••・ZPBC+ZPCB=46XVBP.CP为匕B、匕C的平分线ZPBC=-ZABCZPCB=-ZACB22ZPBC+ZPCfi=-ZABC+ZACBZABC+ZACB=2x46=92°・•./BAC=180°-ZABC-ZACB=88°己知如图，AD是AABC的BC边上高，AE平分ABACA求证ZEAD=-ZC-ZB证明ZEAD=ZEAC-ZCADVAEWZBAC..ZEACUZBAC又BC・』心9:.ZG4D=90°-ZC又ZBAC=ISO°-ZB-ZC=-180°-ZB-ZC-90°-ZC.•・ZE4D=-ZC-ZB22^=-ZC--ZB22求证三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半证明如图，设AABC的匕BAC和NABC的外角平分线交于点DIZFAB=ZABC+ZACBZEBA=ZBAC+ZACB••・ZZJA5+/DBA=|ZFAB+ZEBA=；匕ABC+ABAC+ZACB则ZADB=180°-ZDAB+ADBA=匕人BC+ZACB+ZBAC--ZABC+ABAC]=；匕ABC+ABAC又v-ZACG=-ZABC+ABAC・•・ZADB=-ZACGO2。