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【玩转压轴题】必考3:相似三角形的综合(原卷版)
一、单选题如图,是线段仙上的任一点,分别以ABACBC为直径在线段M同侧作半圆则这三个半圆周围成的图形被阿基米德称为“鞋匠刀形”(即图中阴影部分).当“鞋匠刀形”的面积等于以BC为直径的半圆的面积时,过作CDLAB交圆周于点,连结BD则CD与的比值为()如图,在AABC中,ZCAB=45°以其三边为边向外作正方形,连接GC并延长交BH于点、L过点C作CK±DE于点K.若L为BH中点,则侦的值为()CK如图,矩形ABCD中,A3=63C=
8.点E、F分别为边BC、AO上一点,连接使得点A落到边C7)上的点#处,且DA=2AC则折痕EFB.2面如图,在△ABC中,AE和是高,ZABE=45°点F是的中点,BD与FE、AE分别交于点GHZCAE=ZABD.有下列结论
①FD=FE;
②BH=2CD;
③4BD・BH=2BE\
④‘△*=四边形昭)尸.其中正确的有()如图,EFGH分别是矩形ABCD四条边上的点,连结EG*相交于点0EGHADFH//AB矩形BFOEs矩形OGDH连结AC交召GFH于点、PQ.下列一定能求出ABR2面积的条件是(如图,在△ABC中,ZACB=90°以△A3C的各边为边分别作正方形ACDE正方形BCFG与正方形BMVAN与FG相交于点H连结泌并延长交于点P且NF=2FP・记的面积为S4FNH的面积为禹,若§-S2=21则BC的长为()A.6B.6^3C.8D.
97.如图,将边长为6的正六边形ABCDEF沿HG折叠,点B恰好落在边AN的中点上延长在C交段于点A7则CM的长为()c・i
8.如图,等腰Rt^ABC中,ABAC=90°AD±BC于OZABC的平分线分别交AC、AD于E、尸两点,M为EF的中点,延长AM交于点N连接DM、MC下列结论
①DF=DN.ABE#或BN;
③切V是等腰三角形;
④AE=CN其中正确的是()
9.勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣・1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在及△ABC中,ZBAC=90\AC=aAB=b(ab).如图所示作矩形HFPQ延长交*于点G.若正方形BCDE的面积等于矩形HEFG面积的3倍,则的值为bC.2CE=2DE连接AE交位)于点G过点作DF±AE连接好并延长,交DC于点P过点作OQA.OP分别交AEAD于点NH交34的延长线于点Q现给出下列结论
①ZAFO=45°;
②D=NH.OH,@^Q=^OAG;@OG=DG.其中正确的结论有()OA.
①③B.
②④C.
①②③D.
①②③④
二、填空题如图,在矩形ABCD中,AB=6AD=S.连接8DZDBC的角平分线荫交DC于点E现把△BCE绕点8逆时针旋转,记旋转后的△BCE为△BCE.当射线BE和射线8都与线段4相交时,设交点分别为FG.若△3尸为等腰三角形,则线段G长为如图,点是等边△A3C边上一点,将等边△A3C折叠,使点A与点重合折痕为时(点E在边上).
(1)当点D为BC的中点时,AE:EB=_;
(2)当点D为BC的三等分点时,AE:EB=_.小明想设计一款如图1所示的喷水壶,于是他绘制了如图2所示的设计图,壶身的主视图呈矩形ABCD壶把手呈圆弧状,圆心落在AO上,圆弧交CD于点支撑架*所在直线恰好经过・壶嘴G/的端点/恰好在人所在直线上.已知25AD=8cmDE=4cm4F=—cmHF=FG=
6.5cm则半径AO的长为cm壶1嘴G/的长度为cm.如图,AB是半圆的直径.点C在半径OA上,过点C做CD1AB交半圆于点D.以CDCA为边分别向左、下作正方形CD以C4GH.过点8作GH的垂线与GH的延长线交于点/M为HI的中点.记正方形C0£FC4GH四边形BCH/的面积分别为S,S2,S3・
(1)若人C:BC=2:3则艾的值为S]+S条直线上,则的值为四个全等的直角三角形如图摆放成一个风车的形状,形成正方形ABCD和正方形UKL.若平分ZABKAF;FK=53风车周长为10+6右,则四个直角三角形的用一张正方形纸片折成一个“小蝌蚪”图案(如图1).如图2正方形ABCD的边长为2等腰直角△ACE的斜边AE过点点F为CE边上一点,连结AF交CD于点G将^AEF沿AF对称得^AEfFAEf与BC交于点、H.当FEf//CD时,ZETA=当点g为cd的中点时,则cr的长为・如图,点A、C分别是工轴、y轴正半轴上的点,矩形ABCO的边abbc分别交函数y=x(xOk〃O,、为常数)的图象于点PQ连接PQ.X
(1)若P为AB中点,则岑=__.BC
(2)若把ABR2沿PQ翻折,点3恰好落在]轴上的点矿且OE=6EA=2则C.
18.如图,在aABCD41,E是8C边上的中点,APA.CD于点P将《沿AE翻折点8的对称点3落在AP上,延长所恰好经过点,若AB=4则折痕AE的长为如图,点AB分别是反比例函数〉=刊(0尤0)和、二虹人罚^罚)图象上的SAB//x轴,点在x轴的正半轴上,连接AC交反比例函数y=-(aQx0)的图象于点,已知S®如=20Sws=8AD=2CD贝也一的值为如图1是护眼台灯,该台灯的活动示意图如图2所示.灯柱BC=6cm灯臂AC绕着支点可以旋转,灯罩呈圆弧形即弧和弧欧.在转动过程中,ADEF总是与桌面平行.当AC±BH时,AB=51cm・DMA.MH测得DM=42cm点M在墙壁MH上,且MH上BH;当灯臂AC转到CE位置时,FN上MH测得FN=15cm则点厅到桌面的距离为cm.若此时点CFM在同一条直线上孤EV的最低点到桌面的距离为31cm则孤欧所在圆的半径为cm保留一位小数.42cm
三、解答题特例感知1如图,己知在Rt^ABC中,ZBAC=90°AB=AC9取BC边上中点,连结4D点E为AB边上一点,连结庞,作DFA.DE交AC于点F求证BE=AF;探索发现2如图,已知在Rt^ABC中,ZBAC=90°AB=AC=39取BC边上中点,连结AD点E为BA延长线上一点,AE=1连结庞,作DFA.DE交AC延长线于点F类比迁移如图,巳知在△ABC中,ZBAC=120°AB=AC=4取边上中点,连结AD点E为射线84上一点不与点A、点3重合,连结DE将射线庞绕点顺时针旋转30交射线C4于点F当AE=4AF时,求A尸的长.证明体验1如图1AD为-ABC的角平分线,ZADC=60°点E在上,AE=AC.求思考探究如图2在1的条件下,F为曷上一点,连结FC交AD于点G.若FB=FCDG=2CD=3求剧9的长.拓展延伸如图3在四边形ABCD中,对角线AC平分ZBAZ4BC4=2/QC4点E在AC上,ZEDC=ZABC.BC=5CD=2^5AD=2AE求AC的长.推理如图1在正方形ABCD中,点E是C上一动点,将正方形沿着BE折叠,点落在试卷第8页,共12页角也(点E在直线位)右侧),连结CE.的面积为$2,△BCF的面积为S3贝\\^BC2=2S.-S2+S3,请说明理由.如图,四边形ABCD是矩形,AB=20BC=10以CQ为一边向矩形外部作等腰直角△CDGZG=90°.点M在线段AB上,且点P沿折线AD-如运动点沿折线BC-CG运动(P与点G不重合),在运动过程中终保持PQ//AB.设PQ与AB之间的距离为x四边形AMQP的面积为儿若^=12回答下列问题当点P在线段上时,若四边形AMQP的面积为48则・求整个运动过程中,V关于]的函数解析式,并求出y的最大值;如图2若点在线段OG上时,要使四边形AMQP的面积始终不小于50求々的取值范围.如图1在矩形ABCD中,动点P沿着边从点A运动到点8同时动点沿着边BCCO从点B运动到点D.它们同时到达终点,若点Q的运动路程工与线段8P4的长,满足y=--x+S9BD与PQ交于点E.求AB8C的长.BE如图
2.当在CD上时,求——DE图1图2求AB和8C的长.当VBPQ是以PQ为腰的等腰三角形时,求x的值.如图2直线/是线段FQ的垂直平分线.若直线/过点8交AC于点,请判断四边形BQDP的形状,并说明理由;4是点A关于直线I的对称点,若点/V落在△ABC的内部,请直接写出x的取值范围.
28.如图,四边形ABCD为边长等于7的菱形,其中ZB=60°9点E在对角线AC上,且AE=U点F在射线上运动,连接,作匕FEG=60交C延长线于点G.当点F与8点重合时,试判断的形状,并说明理由;以点B为原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,当CF=10时,平面内是否存在一点使得以点A/、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似?若存在,求M的坐标,若不存在,说明理由;记点F关于直线A8的轴对称点为点N若点N落在ZEDC的内部不含边界求C的取值范围.
29.如图,在4ABC中,AC=BC=2^VanZCAB=^P为AC上一点,PDA.AB交A8于点EADLAC交PD于点D连结8DCDCZ交AB于点0若CDLBC求证△RED-\QCB.若A8平分ZCBD求BQ的长;连结FQ并延长交于点
①当点P是AC的中点时,求t^nZBQM的值
②当PM平行于四边形ADBC中的某一边时,求丝的值.D
30.如图,己知人8是的弦,0=1是弦AB±的任意一点(不与点A、B重合),连接C并延长C交于点,连接设ZB=aZADC=・
(1)求/BOD的度数(用含a月的代数式表示);
(2)若=30,当AC的长度为多少时,以点A、、为顶点的三角形与B、C、0为顶点的三角形相似?请写出解答过程.
(3)若以=g连接A0记△A、△A、△COB的面积分别为SiS2S3如果S2是S和S3的比例中项,求的长.。