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【玩转压轴题】必考4解直角三角形综合(解析版)
一、单选题如图,将长、宽分别为12cm3cm的长方形纸片分别沿ABAC折叠,点MN恰好重合于点P.若Za=60°则折叠后的图案(阴影部分)面积为()mAnA.(36-6a/3)cm2B.(36-12右)cm2C.24cm2【答案】A【分析】过点作CFLMN过点B作BEVMN根据折叠的性质求出ZPAC=Za=60°ZEAB=ZPAB=30°分别解直角三角形求出A3和AC的长度,即可求解.【详解】解如图,过点作CFLMN过点8作BEJLMNMEAFn.••长方形纸片分别沿人RAC折叠,点N恰好重合于点P/.ZPAC=Za=60°.:.ZEAB=ZPAB=30°BF:.ABAC=90°AB==6cmAC=sinZEABsma・.・S^abc=^ABAC=6^3=12x3-6右=(36-6右)新故选A.【点睛】本题考查折叠的性质、解直角三角形,掌握折叠的性质是解题的关键.
2.如图,扇形AOB的圆心角是60,半径是0点为弧AB的中点,过点作CD//OB交OA于点D过点B作BE//OA交OC延长线于点E则图中阴影部分面积为()【答案】B【分析】连接过作CF//OA交OB于F作CHLOB与H求出67/和CF长,从图中可看出阴影部分的面积=S四边形况哥,然后依面积公式计算即可.【详解】解连接OC过C作CF//OA交OB于F作CH±OB与H•.•点C为弧的中点•.•E5=K寺6=30QCF//OA...ZCFB=ZAOB=.*6=匹CF
73..CF=g=l2•.•CDIIOB..ZBOC=/DCOOD=CD-CDHOB.CF//OA・•・四边形CDO仃是菱形・・・OF=OD=CF=1/.BF=OB-OF=y/3-l,•・・OA=OB..AD=BF・・s阴影故选B.【点睛】本题考查了菱形的判定性质,解直角三角形,扇形的面积的应用,利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力,再把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积求解.
3.如图,将矩形纸片ABCD沿EFM翻折,使点8落在点G处,点AZ同时落在点H处,EH交FC于点
0.已知OH=3cmtan/DEC=|则该矩形纸片的面积为A.32cm2B.48cm2C.64cm2D.108cm2【答案】C【分析】先根据矩形的性质、平行线的性质可得ZZ=90°ZDEC=ZBCE再根据翻折的性质可得AE=EH=DECH=CDACHE=ZD=90°ACEH=ZDEC,根据等腰三角形的判定CD1可得OC=OE然后根据正切三角函数的定义可得三£=%设CH=CD=xcmx0DE2从而可得AE=EH=DE=2xcmOC=2x-3cm最后在Rt^COH中,利用勾股定理求出x的值,从而可得CDAD的长,利用矩形的面积公式即可得.【详解】解•.•四边形ABCD是矩形ZD=90°AD//BCZDEC=ZBCE由翻折的性质得AE=EH=DECH=CD/CHE=ZD=90°ACEH=ZDEC.ZBCE=ZCEHOC=OECD1在RtACDE中,tanZDEC=——=一,DE2设CH=CD=xcmx0则AE=EH=DE=2xcm•/OH=3cmOC=OE=EH-OH=2x-3cm在Rt^COH中,CH2+OH2=OC2即x2+32=2x-32解得x=4或x=0舍去,CD=x=4cmAD=AE+DE=4x=16cm则该矩形纸片的面积为AD-CD=16x4=64cm2故选C.【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、正切三角函数等知识点,熟练掌握翻折的性质是解题关键.
4.图1是某公园的一个滑梯,图2是其示意图.滑梯的高8C为2m坡角NA为60由于滑梯坡角过大存在安全隐忠,公园管理局决定对滑梯进行整改,要在高度不变的前提下,通过加长滑梯的水平距离A8使得坡角NA满足30°ZA45°则AB加长的距离可以是参考数据V2-
1.414V3-
1.732【答案】B【分析】分别求出当坡角为
45、30时A8加长的距离,进而得出答案.【详解】解如图,在施ABCZCA5=60°BC=2•••曷=书京=隽=芋,当坡角为45时,有BD=BC=2:.DA=2-AB=2-^1-
0.85m3BC三=20当坡角为30时,有BE==V3tan30°=3:・EA=BE-AB=2也-匝京
2.31m3当坡角满足30°ZA45°:.AB加长的距离尤的取值范围为
0.85笠
2.31故选B.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,理解坡角、坡度的意义是解决问题的关键.
5.如图,在菱形ABCD中,ZABC=120°9AB=
2.动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿折线ADtDC运动到点C同时动点也从点A出发,以每秒右个单位的速度沿AC运动到点C当一个点停止运动时,另一个点也随之停止.设△APQ的面积为v运动时间为1秒,则下列图象能大致反映y与%之间函数关系的是()【答案】A【分析】根据F点位置运动不同分类讨论计算即可,分在AD上运动和在CD上运动,结合三角形的面积得出关系式,再判断即可;【详解】=120°ZDAB=60°则ZDAQ=30°当点P在AD上运动时,如下图,义B过点Q作QHA.AD由题意得AP=2t»AQ=s/3t^HAQ=30°则y=-xAPxHQ=-x2txAQxsmZHAQ=-x2txy/3tx-=—t2为开口向上的抛物线;当点尸在CQ上运动时,同理可得y=—印(—2)为开口向下的抛物线;故答案选A.【点睛】本题主要考查了函数图像综合,准确分析判断是解题的关键.
6.如图,四边形ABCD是正方形,过点AB的圆与射线AZ>交于点过点的DF2直径与射线A£)交于点兄^―—=-则tanZCFD等于()DE3【答案】B【分析】分点H在线段AD±和点F在线段延长线上两种情况,连接38可得BE为直径证△BCO£EFO得出EF=BC=CD即可求三角函数值.【详解】解如图,点日在线段AO上,连接BE.•£4=90•.BE为圆的直径,经过圆心:BC//AD•./CBO=/FEOZBCO=ZEFO.:OB=OE\4BCO£EFO..EF=BC.DF2•=,DE3设班=2力DE=3x则EF=5x EF=BC=CD・.血匕如=竺=玉=2DF2x2如图,点E在线段AO延长线上,连接BE同理可得,EF=BC设DF=2xDE=3x则EF=x.;EF=BC=CD./八fCDx1•.tanXCFD==—=—・故选B周角定理和全等三角形判定于性质,解直角三角形,解题关键是通过连接直径,构造全等三角形,建立线段之间的关系.
7.如图,在正方形ABCD中,EH分别是BC、AB上一点,S.AF=BE9AEDF交于点G连接CG.若CG=BC则AF FB的比为A.11B.12C.13D.14【答案】A【分析】AG1作CH±DF于点H证明△AGD#4DHC可得AG=DH=GHtan匕4QG二——=-=DG2AF由此可解决此问题.AB【详解】解作CH±DF于点H如图所示,在△和左中AD=ABZDAF=ZABE=90°AF=BE:.AADF和左£BAESAS.・.・ZADF=/BAE又ZBAE+ZGAD=90°・.・Z AD+/G4O=90,即ZAGD=90°.又VZADG+ZCDG=90°ZHDC+ZCDG^90°:.ZADG=ZHDC.在△AGZ和△DHC中,ZADG=ZHDCZAGD=/DHC=90AD=DCAAAGD^ADHCAAS.:・DH=AG.又•CG=BCBC=DC:.CG=DC.・.・GH=DH:・AG=DH=GH.AQ1「•tanXADG==—DG2・・.即4睥二生=生」ADAB2・•・AF=AB.即尸为AB中点:.AF FB=
11.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识,学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题关键.
8.如图,aABC和△PQR都是等边三角形,§.AD=BE=CF=-ABf当4ZAFR=ZBDP=ZCEQ=30°△PQR的面积为则LBC的边长为【答案】D【分析】延长砰交于点,设AD=BE=CF=aa0,根据含30角的直角三角形的性质及勾股定理,分别解得OFAODODPOP的长度,继而解得PR=ga最后根据等边三角形的面积公式即可解题.【详解】解如图,延长时交A3于点O•••△P0都是等边三角形ZQPR=60°ZBDP=30°:.ZDOP=90°^AD=BE=CF=aa0AB=4oAF=3aZAFP=30°:.AO=-AF=-aOF=JAF—AO=22231/.DO=AO—AD=—a—a=—a22ZBDP=30°.DP=-cos30°V332OP=-DP=-x—a=—a22363x/3x/3:.PR=OF-OP-FR=—a-—・.・等边三角形gR的面积为0—xPRxPR=—xy/3axx22224/.6T=—32a/3•\CL—
3.•.A8=4q=4x^L瓯33故选D.【点睛】本题考查等边三角形的性质、勾股定理、余弦、含30的直角三角形等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
9.如图,已知△ABC中,ZB=90°DE分别为BCAC的中点,连结庞,过作AC的平行线与/CAB的角平分线交于点儿连结EF若EFHDFAC=2则A.2【答案】A【分析】根据题意延长DF交A3于H过F作FT±AB于T连接CF设Z)F=x运用三角形中位线定理、全等三角形的性质以及锐角三角函数定义构建方程,求出X即可得出答案.【详解】解延长交于过N作FTA.AB于T连接CFCEA设DF=x9DH//ACD为BC的中点•H为AB的中点.DH是AABC的中位线.DH=^-AC=
1..L平分ZCABFE±ACFTLAB.FE=FT•E为AC的中点,FELAC.CF=AF在RtACFE和RtAAFT中CF=AFFE=FT•RtACFE^RtAAFTHL.AE=AT=1*^FAE=ZAFH=ZFAH..FH=AH=BH=l-x.TH=1-1-x=xe/C=/BDH=/TFH•sin/C=sin/TFH2-2x_x2\-x2・./八川DF遥T・・smADEr==•DE2故选A.【点睛】本题考查三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数定义等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,△BPC是等边三角形,连接QP并延长交CB的延长线于点H连接8Q交PC于点0下列结论
①ZBPD=135°;BDPsWDB;
③功3BQ=12;
④SAbdp=.其中正确的有()A.
①②B.
①②③C.
①②④D.
①②③【答案】C【分析】由等边三角形及正方形的性质求出/CPD=/CDP=、ZPCB=ZCPB=60°从而判断
①;证ZDBH=ZDPB=135°可判断
②;作QEA.CD,设QE=DE=x则0=店CQ=2QE=2xCE=gc由CE+DE=CD求出兀,从而求得DQ、8的长,据此可判断
③,证DP=OQ=巫二也,根据S邸dp==BD.PDsinZBDP求解可判断
④.2z【详解】解•.•AP8C是等边三角形,四边形ABC是正方形,:.ZPCB=ZCPB=60°ZPCD=30°BC=PC=CD:./CPD=ZCDP=75°则ZBPD=ABPC+ACPD=135°故
①正确;•./CBD=/CDB=45:.ZDBH=ADPB=135°如图,过点作QELCD于厅二CE=\/3x由CE+DE=CD矢nx+y[3x=1解得1=止12:.QD=gx=*_”2・.・BD=g:.BQ=BD—DQ=g项-皿=3知-灰则DQ:8=*--*引:2故
③错误;22/CDP=75ZCDQ=45°・・・ZPDQ=30°又\ZCPD=75°・・・ZDPQ=ZDQP=75°:.dp=dq=*^^•.•S^DP=BDPDsinZBDP=xy/ix*—x=^^~故
④正确;®DP22224故选C.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点.
二、填空题图1是一个高脚杯截面图,杯体CBQ呈抛物线状(杯体厚度不计),点8是抛物线的顶点,AB=9EF=2也点A是段的中点,当高脚杯中装满液体时,液面CD=4右此时最大深度(液面到最低点的距离)为12将高脚杯绕点E缓缓倾斜倒出部分液体当AEFH=30°时停止,此时液面为GD则液面GD到平面I的距离是EAFIHF图1图2【答案】麟导右【分析】作CD的垂线FGDF绕F旋转后为FP作PH垂直EF的延长线于H利用三角函数和差公式计算出cosZPFG从而求得sinZPFH进而求解.建立直角坐标系,在DG下方的抛物线上任取一点Q过点Q作y轴的平行线交DG于点P过点Q作DG的垂线QM垂足为M.求出直线DG及抛物线解析式,利用三角形DGQ的面积作为桥梁可求出QM的最大值,即杯体内液体的最大深度.【详解】解如图作CD的垂线FGDF绕F旋转后为FP作PH垂直EF的延长线于H耳/!\/}1rEAFIH图1由题意可知FG=21DG二旦匝cosZFHGJL24所以DF=V444所以cos0+30°=cosacos30+sinasin30°=/——所以sMPFH=晶所以PH=FPsinZPFH=J444x/—=10^3液面GD到平面l的距离是10右;如图3建立直角坐标系,在DGT方的抛物线上任取一点Q过点Q作y轴的平行线交DG于点P过点Q作DG的垂线QM垂足为M图3由题意可知DG绕F点顺时针旋转30后与水平方向平行,所以旋转前DG与水平方向的夹角为30,设直线DG的解析式为尸kx+b由题意可知,点D的坐标为202153=如3所以y=吏^+193设抛物线的解析式为y=oJ+9经过点D2a/321所以a=l所以y=亍+9y=%2+9由V3得点G的坐标为一业马=9又因为Sqgq=PQx20+M^=产PQ,236所以当PQ取最大值时,S^gq有最大值=Wlx史612DG=J2a/3+若2+Q1—苧尸二言又因为Sadgq=^DGxQM=^QM所以当Xqgq有最大值时,QM有最大值lie”Ha/3121—QM=x612所以QM二导0所以旋转后杯体内液体的最大深度为导0故答案是10右;【点睛】本题考查了二次函数及解直角三角形在实际生活中的应用,建立合适的坐标系及转化为直角三角形的问题是解题关键,此题难度较大,综合性较强.如图,己知在平行四边形ABCD中,AB=8^3BC=20ZA=60°P是边上一动点,连结PB将线段PB绕着点P逆时针旋转90得到线段P0若点恰好落在平行四边形ABCD的边上,那么AP的值是【答案】6+20或4右.【分析】如图1中,当点落在CD上时,作BE±AD于EQF1AD交AD的延长线于设PE=x.如图2当点落在AD±时,如图3中,当点落在直线8C上时,作BE±AD于EPF1BC于则四边形8EP尸是矩形,根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论.【详解】解如图1中,当点落在CD上时,作既_LAD于EQF1A交人的延长线于设PE=x.3图1C在RUA£B中,・.・ZA=60,AB=8也・.・BE=12AE=4a/3••・将线段PB绕着点户逆时针旋转90°得到线段PQZBPQ=90°・・・ZEBP+ZBPE=ZBPE+ZFPQ=90°:.ZEBP=ZFPQ•/PB=PQZPEB=ZPFQ=90°.\APBE^AQPFAAS PE=QF=xEB=PF=12・・・DF=AE+PE+PF-AD=4也-8+xCD//AB・・・ZFDQ=ZAtan/FDQ=tanA=\/3=,4好8+工-妊・,・尤=6—,.・.PE=6—2用・・・AP=6-2用+4后=6+2也;如图2当点Q落在AO上时••・将线段PB绕着点尸逆时针旋转90°得到线段PQ・・・ZBPQ=90°・・・ZAPB=ZBPQ=90°在RIaAPB中,tanA==a/3AB=8右,BP:.AP=-AB=4^/3;2如图3中,当点落在直线8C上时,作BELAD于EPF1BC于H.则四边形8EPH是矩形.图3在RtAAEB中,•.•ZA=60,AB=8也..BE=12AE=4\PF=BE=n.•△BPQ是等腰直角三角形,PF±BQ.•.PF=BF=FQ=12;.PB=PQ=n41BQ=0B=242O(不合题意舍去)综上所述,AP的值是6+2^3或40故答案为6+2右或
40.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理、解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.如图,在Rt2kABC中,ZACB=90°AC=4BC=6f点D是边8C的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿OE翻折使点B落在点H处,连接则当线段的长取最小值时,sinZFBD是・A【答案】手【分析】先确定A歹取最小值的情况,画出相应的图形,并求得A%小值=2再通过添加辅助线“连接与尸,过尸作FH1BC于H”构造出直角三角形,最后根据相似三角形的判定和性质、勾股定理以及锐角三角函数即可求得答案.【详解】解..•由题意得,DF=DB..•点E在以为圆心、8□为半径的圆上,作,连接AD交于点尸,此时的值最小,如图:..•点是8C的中点•••CD=BD=-BC=32•.・AC=4「・AD=ylAC2+CD2=^42+32=5・.・FD=3:.FA=AD-FD=5-3=2「•A乌小值=2连接引、过尸作FH1BC于H如图:ZACB=90°二FH//ACaDFH^aDAC.FHPHDFAC_cF_AD.FHDH3==—35Z.FH=—DH=-5・•・BF=JFH_+BH=—・.“只八FHV5••sinAFBD==——•BF5故答案是季【点睛】本题考查了几何图形中求最值问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及锐角三角函数等知识点,能根据题意画出相应图形并构造出直角三角形是解决问题的关键.如图,长方形纸片ABCD将纸片沿时折叠,使点8落在边0上点H处,再将右侧余下部分折叠,使HD与g能在直线重合,折痕为HG・若AE・HF:GC=1:2:3AR则籍的值为jdCcr【答案】巨7【分析】连接既,依据折叠性质可得BF=FHAE=AEAB=AHZA=ZAf=90°9EH=BEZBFE=ZHFE再利用矩形性质,可证明四边形BEH尸是菱形,由AE:BE=1:2运用三角函数定义可求得ZABE=30°,进而可证AFHG是等边三角形,且AEFH=AHFG9由AE:GC=1:3求得AE:BC=l:7再由AB=^AE可求得答案.【详解】解连接8E由折叠,得BF=FHAE=AEAB=AHf/A=ZV=90°EH=BEZBFE=ZHFE・.・ABCD是矩形,:.AD//BC.・.ZBFE=/FEH:.ZFEH=ZHFE:.EH=FH・・・EH=BF四边形8EH尸是平行四边形,•.•EH=FH四边形是菱形,.•.BE=HF・.・AE:HF:GC=1:2:3AE:BE=1:2sinZABE=—2ZABE=30°:.ZEBF=60°=ZEHFFH=EH.•.AEFH是等边三角形,:.EF=HF•.•BE//HF・・・ZHFG=/EBF=6O由折叠知ZDHG=ZFHG=60°.•.AFHG是等边三角形,且AEFH兰AHFGAAS.・.BE=FH=FG=BF・.・AE:BE=1:2:.AE:BG=VA•/AE:GC=1:3:.AE:BC=1:7arl在RtAABE中,一=tanZAEB=tan60°=J3AE:.AB=y[3AE.AB_^3AE__y/
3.•反—BC—〒故答案为:【点睛】本题考查了折叠变换的性质,矩形性质,菱形判定和性质,等边三角形判定和性质,三角函数定义应用,线段和差倍分的计算等,灵活应用相关性质定理和判定定理是解本题
15.如图,在AABC中,48=2AC=也D为4ABC内部的一点,且CD±BDf在BD的延长线上取一点E使得ZCAE=ZBAD.若ZADE=ZABCf且ZDBC=30°则AD的长为.【答案】危2【分析】角三角形的性质得BC=2xBD=gx求出CE在RtXCDE中,根据勾股定理求出DE即可求解.【详解】解连接CE:ZCAE=ZBAD:.ZDAE=ZBACZADE=ZABC:.ZXABCsAADEAEAD_DE••衣一而一就’.AEAC.•而一而’*ZCAE^ZBAD:.AACE^AABDAC_CE_AE.而一商一而’设CD=xVCD±BDZDBC=30°ZDCB=60°:・BC=2xBD=CD-tan60°=xAC_CE的••福=底=项’・m—3•CE一一x92在REE中,庞=底诙滂x,..ADDE,ABBC•••AD项,22x:ad=^~.2故答案为也.2【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识,解题的关键是正确作出辅助线,利用三角形相似解决问题.图1是一种儿童可折叠滑板车,该滑板车完全展开后示意图如图2所示,由车架AB-CE-以和两个大小相同的车轮组成,已知CD=25cmDE=17cm4cos^ACD=-9当aEH在同一水平高度上时,ZCEF=135则AC=为方便存放,将车架前部分绕着点Q旋转至以,如图3所示,则%为【答案】30【分析】连接过点A作AH1CE于点H由题意易得ZAEC=45°然后根据三角函数可进行求解;过点A作AMLEF交其延长线于点过点D作DNLEF交其延长线于点N并延长交于点P由题意易得d}-d2=AE-EM然后根据三角函数可进行求解.【详解】解连接人兀过点A作AHLCE于点H如图2Eq—图2「AEF在同一水平高度上时,ZCEF=\35:.ZAEC=45°/.AC=30cmAH=HE=lScm•LAE=18V2cm,过点A作AMLEF交其延长线于点M过点作DNLEF交其延长线于点N并延长ND交AB于点F如图3AB//EF:.ZM=ZPNM=ZAPN=ZCPD=90°...•四边形硕VP是矩形9CD=25cmDE=17cmcosZACD=-fZDEM=45°AC=30cm・.・PC=CD・cosE=20cm,EN=DE・cosZDEM=孕cm:.AP=MN=AC-PC=10cm17VP2/设车轮半径为r则有dx=2r+AE+EF’d=2r+EM+EF[1成2\【点睛】本题主要考查三角函数及矩形的性质与判定,熟练掌握三角函数及矩形的性质与判定是解题的关键.如图,在矩形ABCD中,AB=19且NACB=30FE分别是线段4DC边上的点,且ZBFE=120°BHLAC于点当点H与点〃重合时,EF=当点H在线段HC上时,设线段AH长为gBF长为儿EH长为c贝!Jc用含有,力的代数式表达.AD【答案】XIc=bQ—a4【分析】RtAABC中,ZACB=30°AB=1可求出BC在Rt、HBC中,ZACB=30°BC=g可求CH在RtAFEC中,即可得E尸;过E作EG-LCD于G由EG//BC//AD可求出召GZ.GEF+ZEBC=且ZHBE+ZEBC=60°可得ZHBE=ZGEF从而—即可得到答案.BEEF【详解】解
(1)如图:•.•矩形48CD\ZABC=90°在RtZXABC中,ZACB=30°AB=1:.BC=人与=后tan30°vBHIAC于点H点F与点H重合,\BHC90在Rt「HBC中,ZACB=30°BC=g3・.・CH=BC・cos30°=一2•.•ZBFE=120匕BHC=90:.ZCFE=ZBFE-ZBHC=30°:.ZCFE=ZABC/.ZFEC=180°-ZBCD=90°3在RtAFEC中,ZCFE=30°CH=—EF=CH・cos30故答案为学2过E作EGLCD于G如图:•.•矩形A8CD中,AB=1且ZACB=30°..AC=2BC=^=ADRtqCH中,BH=LBC=•.•EG上CD:.EG!IBCI/ADEG2-a••丁F「•EG®—aZBEF=120,..GEF+ZEBC=6O•/ZABC=30°BHLAC:.ZHBE+ZEBC=6O°:.ZHBE=Z.GEFBheg•••Cos/HBE—GEF即—=—,73同q、..•艾=项2-bc:.c=b2-a故答案为c=b2_a.【点睛】本题考查矩形性质及应用,涉及解直角三角形等知识,解题的关键是证明=如图,某种吊车由固定机架和三根连杆组成.已知连杆AB=12米,CD=10米CE=9米,其支点A的距离为5米,支点、B的距离为3米,点A到地面/的垂直高度分别为4米和8米.当况和CD共线时如图1点E到地面/的距离为米;改变连杆之间的夹角使恁与/平行如图2此时点E到地面/的高度为米.【分析】1过A点作IJ〔I过点作DG±l交/2于点作ENLI交/2/3于M、N304作/2_U交/2于点;证明AABD为直角三角形,利用△求出EH=—65进而求得EN;2过A作14//1过作4的垂线交4于点兄交EC的延长线于G,作BH顼4于H设则BH=GF=4+x在RtACDG中,C^lOO-x2在RtACDG中,AH2=144-4+尤2求出尤的值,进而求出答案.【详解】:1过A点作/2///过点D作GJL/交/2于点F作ENM交/2h于N作h-Ll交/2于点;NG由题AD=5DF=44F=3在AABD中,AB=12AD=5BD=13:.AABD为直角三角形,ZBAD=90°则匕DAF=ZABPZDM=ZAPB=90°/.AADF^ABAP•BP_AP_AB**AF_DF~DAABP=—AP=—:.PQ=FP=—+3=—BQ=BP-PQ=—-4=—VZBDQ=ZEDHZBQD=ZEHD:・/\DBQs4dEH而庞=CD+CE=10+9=19又由题意得HN=304~65:.EN=EH+HN=8+—=—6565824•.•E到/的距离为=米;652过A作IJ/l,过D作L的垂线交A于点F交EC的延长线于G作BH±k于H由上得AF=3DF=4四边形8HFG为矩形,IBC=3・.・BC=AF・.・CG=HA设DG=x则BH=GF=4+x在RtkCDG中,C=1QO-x2在RthCDG中,AH2=144-4+x2100-x2=144-4+x27解得%=-2723・.・G到/的距离为4+4+二二22【点睛】本题考查了相似三角形和直角三角形勾股定理的有关知识,需要画辅助线构造三角形是解决问题的难点.如图,在矩形旭CD中,点在边A3上,△8EC与△FEC关于直线EC对称,点8的对称点H在边AD上,G为CD中点,连结分别与CECF交于肱,N两点若BM=BEMG=1则剧V的长为sinZAFE的值为.【答案】2V2-1【分析】由ABEC与MEC关于直线EC对称,矩形ABCD证明顼成竺△FEC再证明△BCNdCFD可得BN=CD再求解CD=2即可得剧V的长;先证明aFFF△AFEsqG可得—设BM=x贝ijCGBGBE=BM=FE=xBG=x+lAE=2-x再列方程,求解尤,即可得到答案.【详解】解•••△BEC与△FEC关于直线EC对称,矩形A8CZ..△BECdFECZABC=ZADC=ZBCD=90°ZEBC=ZEFC=90°ZBEC=ZFECBE=FEBC=FCBM=BE:.ZBEM=ZBME:.ZFEC=ZBME:.EF//MN:.ZBNC=/EFC=90°ZBNC=ZFDC=90°/BCD=90°ZNBC+ZBCN=90°=ZBCN+/DCF:.ZNBC=ZDCF:qBCNdCFD:.BN=CD矩形ABCD:.AB//CDAD//BC:.ZBEM=ZGCMZBEM=ZBME=ZCMGMG=1G为CD的中点,ZGMC=ZGCM:.CG=MG=1CD=2BN=
2.如图,】BM=BE=FEMNHEF四边形A5CD都是矩形,AB=CDAD//BCZA=ZBCG=90°ZAEF=ZABGZAFE+ZAEF=90°=ZABG+ZCBGZAFE=ZCBG.•△AFEsaCBGAEEF.•-=9CGBG设BM=x贝ijBE=BM=FE=%BG=/+1AE=2—x.2-x_xH-_7+l解得尤=±a/2经检验x=±g是原方程的根,但x=-^2不合题意,舍去,AE=2_EF=:.sinZAFE=—=2~^=^2-
1.EFV2故答案为2应-
1.【点睛】本题考查的是矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的应用,分式方程的解法,掌握以上知识是解题的关键.
20.已知△ABC与AABD在同一平面内,点C£不重合,ZABC=ZABD=3Q°fAB=4AC=AD=2a/2则CD长为.答案】2也±242指【分析】首先确定满足题意的两个三角形的形状,再通过组合得到四种不同的结果,每种结果分别求解,共得到四种不同的取值;图
2、图
3、图4均可通过过A点向BC作垂线,构造直角三角形,利用直角三角形的性质可求出相应线段的长,与CZ关联即可求出CZ的长;图5则是要过点向8C作垂线,构造直角三角形,解直角三角形即可求解.【详解】解如图1满足条件的△A8C与△A3D的形状为如下两种情况,点C不重合,则它们两两组合,形成了如图
2、图
3、图
4、图5共四种情况;如图2AABC^AABD此时,BC=BD由题可知ZCBD=ZABC+ZABD=30°+30°=60°・..△BCD是等边三角形,・.・CD=BC;过A点作AE1BC垂足为E点,在RtAABE中,•「AB=4ZABC=30°・•・AE=-AB=22BE=』42-2=2用;在RtAACE中,CE=jAC2—AE2=J(2很「一22=2;二BC=2也+2;(同理可得到图4和图5中的BC=2g+2CF=2BF=・•・CD=BC=2也+
2.如图3AABCWAABD此时,BC=BD由题可知ZCBD=ZABC+ZABD=30°+30°=60°・..是等边三角形,・.・CD=BC;过A点作AMLBC垂足为M在Rt^ABM中,..・AB=4ZABC=30°:.AM=-AB=22酗=探―22=2右;ftRtAACM中,CM=Vac2-AM2=^2y/2^-22=2;(同理可得到图4和图5中的BD=2用-2DF=2BF二:-CD=BC=BM-CM=2^/3-2;如图4由上可知CD=CF+FD=CF+BF-BD=2+2也如图5过点作DNLBC垂足为N点;ZCBD=ZABC+ZABD=30°+30°=60°「・ZBDN=30°11在Rt^BDN中,BN=-BD=-[2g-*g-LZN=3N.tan60°=包右-1=3-妊CN=C8-3N=2右+2-0-1=右+3・•・在Rt^DCN中,CD=y/NC2+DN2=J右+3亍+3—右『=2把;综上可得CD的长为2右±2420故答案为2右±242^
6.【点睛】本题主要考查了对几何图形的分类讨论问题,内容涉及到勾股定理、直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半、解直角三角形、等边三角形等知识,考查了学生对相关概念与性质的理解与应用,本题对综合分析能力要求较高,属于填空题中的压轴题,涉及到了分类讨论与数形结合的思想等.
三、解答题
21.如图矩形ABCD中,BC=2AB是边8C上的一点,CE=nBE.连接AEAC过点作EFA.AEEF分别交ACDC于点MF过点B作BG±AC于点GBG交AE于点H.D求证aABH^ECM;当〃=1时,求誓的值;MF当是等腰三角形时,求〃的值.【答案】1证明见解析;2;33或耳或右.【分析】先根据矩形的性质可得ZABC=90°再根据BGLAC.直角三角形的性质可得ZABH=ZECM同样的方法可得/BAH=ZCEM然后根据相似三角形的判定即可得证;过点M作MPA.BC于点P作MNA.CD于点N先证出^ABH=^ECM从而可得AH=EM再根据等腰直角三角形的判定与性质可得ME=®PMF=41MN=^2CP然后根据相似三角形的判定与性质可得卷由此即可得出答案;3先根据等腰三角形的定义分
①MC=MF
②MF=CF和
③CM=CF三种情况再分别利用相似三角形的判定与性质、解直角三角形求解即可得.【详解】证明1•.•四边形ABCD是矩形:.ZABC=90°..ZABH+/CSG=90,QBGAAC.・ZECM+ZCBG=90,:.ZABH=ZECM又ZABC=90°...ZBAH+ZAEB=90,•.•ZCEM+ZAEB=90,...ZBAH=/CEMZABH=ZECMZBAH=ZCEM:.aABH〜^ecm;2如图,过点肱作MPA.BC于点P作MNCD于点N当〃时,CE=BE=BCBC=2ABAB=EC=BE由1已得ZABH=ZECM°ABAH=ZCEMZABH=ZECMAB=ECZBAH=ACEM:.aABH=aECMASA:.AH=EMQAB=BEZABC=90°ZCEM=ZBAH=ZAEB=45°RtNEMP是等腰直角三角形,EP=MPME=y[lMPQMNLCDBCA_CDMPA.BC四边形MNCP是矩形,:.MN//BCMN=CPZFMN=ZCEM=45RtVFMN是等腰直角三角形,MF=42MN=^2CP,又QZABC=90°MP±BC:.MP//AB:.9MP〜ABCPBC』...=——=2MPABAHME41MP1•…MFMFy/2CP2,3由题意,分以下三种情况当MC=MF时,是等腰三角形,Z.EFC=ZFCM/BCD=90°ZEFC+ZCEF=90°=ZFCM+ZACBZCEF=ZACB由1已得ZBAH=ZCEM:.ZBAH=ZACBAR1在Rt^ABC中,tanACB——=—BC2BE1在Rt/\ABE中,tan/BAH==tanZACB=—AB211・・・BE=—AB=—BC24CE=3BE.\n=3;当MF=CF时,△CMF是等腰三角形Z.CMF=ZFCM•ZAME=ZCMF.ZAME=ZFCM\EFA_AE:.ZAME+ZCAE=9Q°又•/ZFCM+ZACE=90°...ZACE=ZCAE:.AE=CE设BE=xx0则AE=CE=nxAB=-BC=-BE^CE=—x222+72在RtAABE中,AB2+BE2=AE2BP——x2+x2=«x2解得或〃=_l不符题意,舍去;当CM=CF时,△CMF是等腰三角形,如图,过点肱作MP1BC于点户,作MO±CD于点O由
(2)已证:设=Q0则CP=2aCF=CM=』Mp2+cp2=扁,MP//CD.\zJEPM〜/ECF.EPMPEP=a~EC~~CFREP+2a~45a解得EP=^^-a2EC=EP+CP=^+5a2由l已证/BAH=2CEM即ZBAE=ZCEF:NABE:NECFBECF^5a
22.•.BC=2AB=5/1BEQCE=nBECE+BE=BC.•.nBE+BE=5+lBE解得n=45综上,当△是等腰三角形时,〃的值为3或:或打.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的定义等知识点,较难的是题3正确分三种情况讨论,并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.如图,已知E为正方形ABCD的边AZ上一点,连结CE点B关于CE的对称点为E连结BfDf并延长交HA的延长线于点兄延长C交8于点G连结8G.求证ZCBG=ZCDBf.若AE=2DEBC=6求BG的长.在2的条件下,H为直线8G上一点,过点反作CG的平行线/.当直线/恰好经过尸的顶点时,求8反的长.F【答案】1见解析;2史仓;3BH=—匝和竺丘5555【分析】根据对称性以及等腰三角形的性质即可证明.如图1中,连结5$交CG于点M证明BG=^2BM即可解决问题.直线/经过XADF三个顶点时,有三种情况
①如图2直线/经过点A时,交BB于点N交BC于点、K
②如图3当直线/经过点时,过点G作AD的平行线交/于点F则四边形EDPG是平行四边形,
③如图3当直线/经过点尸时,过点作CQLBG于点,分别求解,可得结论.【详解】证明.・•点3与以关于CG对称,/.ZCBG=ZBrBrC=BC・.・BrC=CD・.・ZB=ZCDB:.ZCBG=ZCDBr解如图1连结交CG于点ZCDG+ZCDB^180°・.・ZCDG+ZCBG=180,・.・ZBCD+ZBGBr=180°ZBCD=90°・.・ZBGB=90°...BG=BG・.・^2BM=BG,Z.DCE+ZACB=ZMCB+ZMBC・.・ZECD=ZCBM・•・cosZECD=cosACBM=10・dm9而.•BM=5・•・BG=y/2BM=1^
1.:.CG=CMMG=^f直线/经过△ADH三个顶点时,有三种情况如图2直线/经过点A时,交BB于点、N交BC于点K:AK//ECAE//CK・.四边形AECK是平行四边形,..AE=CK:AD=BC..DE=BK..ZABK=ZCDE=90AB^CD・.△ABK至△CQE..BK=
2.BH_BK•==—,BGBC35如图3当直线/经过点时,过点G作AO的平行线交/于点F易得四边形EDPG是平行四边形,图3\•••PG=DE=2由△GPHs^bcg.GHGP1—••——,BGBC3・・・HG近55如图4当直线/经过点F时,过点作CQLBG于点Q..厄“12后.C0=—CG=—5tanABCQ=9J5「・FG=GH=—BG=,
5.・.BH=^~.5综上所述,BH=^籍和半555【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题・如图,点是平面直角坐标系的原点,一次函数y=i3的图象与y轴交于点B与X轴交于点A点C与点A关于y轴对称.求直线的解析式;点P为线段曷上一点,点为线段8C上一点、BQ=AP连结如,设点P的横坐标为4PBQ的面积为sso求S关于,的函数关系式;在2的条件下,当S取最大值时,若点肱是平面内一点,在直线上是否存在点N使得以点PQMN为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】1y=-jx+3;2S=-^t2-3t;3而或-专,-布或’3或会267【分析】求出A-40803C40利用待定系数法求8C的解析式即可;过点A作AD1BC于点D过点尸作PE1BC于点矿PFLOB于点尸,设+求出AD的长,利用直角三角形函数的三角函数值求出PE=-t45BQ=AB-PB=5+t再由S=gQ・FE代入所求量即可求解;42由2求出户、点坐标,分四种情况分别求N点坐标当N点在FQ上方时;当N点在尸下方时;当灼2为菱形对角线时;当PN为菱形对角线时.【详解】有牟
1、=顶工+3中,当工=0y=3;当y=,x=4・.・A—40仪03•.•点与点a关于轴对称・.・C40设直线BC的解析式为y=hc+b将点
8、C代入解析式可得fb=3[4k+b=0k=-~...4b=
3._3_..y=—x+3;42如图过点A作AD1BC于点过点尸作PE1BC于点矿PFLOB于点八•.•OA=OC=4OB=33设地Y+3:.PF=—tcosABPF=cos^LBAOBP—PBAB
5.BP—24・f八PEM24・.・sinZABD=——==—=—PBAB525242456*E=挤砰云x-产•.•AP=3Q:BQ=AB-PB=5+^t.\S=-BQ.PE=-x22(5+河(-9)=个_外33・.・S=—―产一3r=——Q+22+
34.••当.=-2时,S有最大值3•.•Q点在尸-广+3上5设Qy+3Bg=-・.・在线段8C上Oxx*h
4325..昭=4如图1当N点在FQ上方时,过N点作NHLPQ交于点H次/八轴
3.・.tanZNPH=-
4./nd口3NH:.sinZNPH=-=PN1O2QQ.•.N点纵坐标为;+=•.•p、关于y轴对称,当pq为菱形对角线时.・.N03时,MWQ是菱形;如图2当FN为菱形对角线时,Q点关于直线>=;*+3对称的点为M4设与削的交点为G过G点作LKLPQ交PQ于点、K交MN于点、L图2•.MQLPNcosZGPQ=-4_PG_GP5~PC~1~:.sinZGPK=—=-PG5•.吧•.•LG=GK.•.吧AHAAMr2lzX-AL
963267.•.N点的纵坐标为—+-=—a〃
78267.2550综上所述点尸,QMN为顶点的四边形是菱形时,N点坐标为(,*)或(-,J1UQ9267-布)或
(03)或(五,-).【点睛】本题考查一次函数的综合应用;熟练掌握一次函数的图象及性质,利用菱形的性质结合三角形的三角函数值,数形结合的解题是关键.如图,已知在平面直角坐标系尤y中,抛物线y=ax2+bx+c{a0c)的顶点为£与y轴的交点为C点A是抛物线对称轴左侧上一点,连结AC.AD以ACAO为边构造平行四边形ACBD.如图1当AC//x轴时
①已知q=-1点A的坐标是-21求抛物线的解析式;
②若ad=ac9求力的值;RF3如图2若】=-1连结A8交y轴于点且—=是否存在这样的》值,使AE5四边形ACBD是菱形若存在,求出》的值;若不存在,请说明理由.【答案】1
①y=—x2—2x+1;
②—2a/3;2存在,b=土4^^.【分析】
①先求出点C的坐标,再利用待定系数法即可得;
②过点D作DE1AC于点连接CQ先求出点GZ的坐标,再根据二次函数的对称性可得点A的坐标,从而可得AC的长,然后根据等边三角形的判定与性质可得AE=AC最后在RtAADE中,解直角三角形即可得;BF3连接CD交AB于点先根据菱形的性质求出点M的坐标,再根据可AE5FM1得—从而可得点A的横坐标,然后代入抛物线的解析式可得点A的坐标,最后AE5利用待定系数法求出直线CZ,业的解析式,将点A的坐标代入直线A8的解析式即可得.【详解】解1
①当a=-l时,=-x2+bx+c点A的坐标是-21AC//x轴,—4—2Z+c=l[b=—2将点A-2lC01代入得—,解得—,c=lc=l则抛物线的解析式为y=』-2尤+1;
②如图,过点作DE1AC于点连接CD解得危土地I故存在这样的人值,使四边形ACBD是菱形,人的值为±虫匝.7【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点,熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解题关键.一个四边形被一条对角线分割成两个三角形,如果被分割的两个三角形相似,我们称该对角线为相似对角线.1如图1正方形ABCD的边长为4E为AD的中点,AF=lf连结CECF求证为四边形AECF的相似对角线;四边形ABCD的相似对角线,求D的长;如图2在矩形ABCD中,AB=69BC=4点是线段A8不取端点AB上的一个动点,点F是射线AD±的一个动点,若时是四边形AECF的相似对角线请直接写出BE的长.【答案】1见解析;23右或应;⑶:或与或3【分析】如图1中,只要证明△△EF^AECF即可解决问题;如图
2、图3中,AC是四边形A8CD的相似对角线,有两种情形
①如图2中,ACB些△ACD时.
②如图3中,当△ACDs/xabc时,分别求解即可;分三种情形
①如图4中,当△AEF和砰关于EF对称时,EF是四边形AECF的相似对角线.
②如图5中,如图取AO中点连接CF将沿CF翻折得到CFD,延长CD,交AB于E易证段是四边形AECF的相似对角线.
③如图6中,取A8的中点E连接CE作EFLAD于尸,延长C3交HE的延长线于则易证EF是四边形AECF的相似对角线.此时BE=3;【详解】解1如图1中,•四边形ABCD是正方形.AB=BC=CD=AD=4•AE=DE=2AF=1AF_AE——,DECD2•ZA=ZD=90°.AAEF^ADCE.匕AEF=』DCE-=—=CEDE2•ZDCE+ZCED=
90.ZAEF+ZCED=90%.ZFEC=ZA=90°.AF_EF——AEEC2AFAE~EF~~EC•△AEFsZCF.EF为四边形AECF的相似对角线.2如图2中BVAC是四边形ABCD的相似对角线二有两种情形
①如图2中,△ACB丝△ACZ时VAB=AD=3BC=CD「•AC垂直平分DB®RtAAOB中,\9AB=3匕480=
30..B9=AB*cos30o=—2「•BD=20B=3^/3・
②如图3中,当△XCM\您C时,可得A^AB^AD.L6=3ADAD=2®RtAADH中,VZHAD=60°AD=2:.AH=^-AD=1DH=gAH=gaRtABDH中,BD=Jdh、+AH2=」向+4=应.3
①如图4中,当△AEF和△CEF关于段对称时,EF是四边形AECF的相似对角线,BC图4设AE=EC=xf在RtABCE中,.EC^B^+BC213/•x2=6v2+42解得x二一3135「・此时BE=AB-AE=6-y=-.
②如图5中,如图取AO中点,连接C将沿CE翻折得到左CFD延长CO交曷于E易证段是四边形AECF的相似对角线.AFAF由△心S△班得到,宅反,.AE2••=—26AE——3•IBE=AB・AE=—
③如图6中,取A8的中点E连接CE作EFLEC交AQ于尸,延长C3交尸E的延长线于则易证时是四边形AECF的相似对角线.此时BE=
3.综上所述,满足条件的8E的值为:或或
3.AFD图6【点睛】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.HDHDE19则~7:■—BQDQDB1319_1916EH-:——xBQ=——X一13135。