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【玩转压轴题】必考6:特殊三角形综合(解析版)
一、单选题
1.如图,点PQR分别在等边△ABC的三边上,且AP=8Q=CR过点PQR分别作BCC4仙边的垂线,得到△£>段.若要求△£>段的面积,则只需知道()【答案】B【分析】先证4DEF是等边三角形,可得△QEF的面积=^-DF2,设AP=BQ=CR=aAC=BC=AB=b利用直角三角形的性质可求F=y/3a即可求解.【详解】解如图,设OR交于/延长QF交AC于NV/\ABC是等边三角形...4=60•..RJ1AB:.ZAJ7=90°PE±BCf匕8=60,・・・ZJPD=30°f:.ZPDJ=ZEDF=60同法可证,ZDEF=ZDFE=60°:./\DEF是等边三角形,:MEF的面积=吏尸24•.・AP=CR=BQ:.CQ=ARf在4ARJ和八C7VQ中,ZA=ZC=60°ZAJR=ZQNC=90AR=CQ:./\ARJ^/\CNQ人AS:.AJ=CNSAP=BQ=CR=afAC=BC=AB=b9:.AR=b-ciZARJ=30%・AJ=M^~=CN狠二尽卜
22.・.〃=当3=空=快22・・・JD=^=®b-
3、NFV36・•・RF=2NF=^bf3・__后b_ay[^b-3ci也b-3ci..DE=
263.・・4DEF的面积=—DF2=—AP
24...只要知道AP的长,可求△DEF的面积故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和和性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质利用参数求出OF的长是本题的关键.如图,在四边形A8CO中,AB//CDAB±BDAB=5BD=4CD=3点、E是AC的中点,则能的长为().D5r2B.-C.^5D.32【答案】C【分析】延长BE交CO延长线于P可证NAEBq/XCEP求出P根据勾股定理求出BP的长,从而求出的长.【详解】解延长BE交CD延长线于P*AB//CD:.ZEAB=ZECP在AAEB和八CEP中,ZEAB=ZECPAE=CEZAEB=ZCEPA/\AEB^/\CEPASA:.BE=PECP=AB=5又VCD=3:.PD=2f:BD=4・•・BP=yjDP2+BD2=2^5/.BE=*BP=y/
5.故选C.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理,解题的关键是得恰当作辅助线构造全等,依据勾股定理求出BP.《几何原本》关于毕达哥拉斯定理,欧几里德给出证明.如图,中ZACB=90°以ACBCAB为边分别向外作正方形,连结COCE过C作CFA.DE的面积为S”的面积为若S2=95CF=13则正方形BCGH的边长()DFEA.2^10B.2而C.3面D.3而【答案】C【分析】过作DMA.AC过E作ENLBC设CF交人8于证明△AMD^VBCA△£他丝△ACB,分别得到DM=ACNE=BC分别得到§和52,根据S2=95可得BC=3AC设AC=x9可求出C/和汽/根据CF=13求出工值,从而可得3C.【详解】解过作DM±AC延长C人交DW于点过E作ENLBC设CF交A8于DFE•.・ZDAB=90°ZMAD+ZCAB=90°又ZMAD+ZMDA=\SO°-ZM=90°.・.ZMDA=ZCAB..•在异枷与VBC4中,ZMDA=ZCABZM=ZACBAD=AB/.丝△BGAAAS・.・DM=AC同理,△BVE1丝△ACB・.・NE=BCS{=-ACDM=-AC2fS=-BCEN=-BC222-22・.・S=9§ABC2=9AC2即BC=3AC设AC=x则BC=3xAB2=AC2+BC2=x2+9x2=10x2]31•AB=yJ\ixSAAtfC=—AC=~^^AAffc=~CJABCJ—3x2-v-/10x=———xFJ=AD=AB=/10x10„_3Vio—r-13而•CF=x+\/lOx=x=131010・,.x=VlO/.正方形BCGH边长bc=3x=
3710.故选C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形的面积,勾股定理等知识,解题的关键是求出G/K7得到CF.如图,点A8是棱长为1的立方体的两个顶点,若将该立方体按图中所示展开,则在展开图中,AB两点间的距离是D.Vio【答案】c【分析】连接43根据R4ABC和勾股定理可得出两点间的距离.【详解】解如图,在ABC中,AC=\fBC=2可得AB=7P+22=/5故选C.【点睛】本题考查了勾股定理,得出正方体上人、B两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键.如图,一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行,假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B周率勿取近似值3则蚂蚁爬行路线的最短路径长为(【答案】A【分析】首先画出示意图,连接人8根据圆的周长公式算出底面圆的周长,AC=yX底面圆的周长,再在RtMCB中利用勾股定理算出48的长即可,【详解】解将圆柱体的侧面展开并过点8作BCLAE于点C.圆柱的底面直径为4c〃
7.••人£=4=4x3=12c〃i/.AC=—AE=6cm2在R4ACB中,AB2=AC2+CB2=62^62「・AB=6\/2cm...蚂蚁爬行的最短的路线长是6屈m,故选:A.【点睛】此题主要考查了平面展开图,最短路径问题,做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.如图,已知nABCD的四个内角的平分线分别相交于点EFGH若AF=2FGZABC-60°则S四边形efgh+S四边形mcd四边形的值()1—10【答案】A【分析】由角平分线的性质、两直线平行同旁内角互补性质解得ZAFB=ZEFG=90°继而证明四边形EFGH是矩形,设EGw求得4尸=2,AB=AaBF=2giBE=3EF=,作CK1AD于K最后根据平行四边形与矩形的面积解题.【详解】解在cjABCD中・.・AD//BCZABC+ZBAD=180°・.・ZABC=
60../BAD=120・.•AF平分ZBADBE平分ZABCfBE=-ZABC=-x60°=30°22ZBAF=-ABAD=-180-60°=60°22ZAFB=ZEFG=9O:.ZE=180°--ZABC--ZBCD=180°-30°-60°=90°22同理可证ZE=ZG=ZEHG=90°.・・四边形EFGH是矩形,:.EF=GHFG=EH设尸G=口,则AF=2FG=2aAB=2AF=4冬BF=F=2也ciRt/\BEC中,AEBC=30°EH—ciCH=2aEC—3aBC-6a:.BE=y/3EC=3岛:.EF=BE—BF=3用a—2\/3a=y/iaS矩形efgh=FGFE=a后a=y/3a2作CK1AD于KRlMJKDW,ZADC=ZABC=60°CD=AB=4a•••CK=Cgn60』sg=2屈:.SABCD=BC・CK=6ax2的a=12\/3a2故选A.【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30角的直角三角形、正弦、平行线的性质、角平分线的性质等知识,是重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD9正方形EFGH正方形MNKT的面积分别为SiS2S
3.若54-54-53=21则S的值是()【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系,进而利用勾股定理求出各边之间的关系,从而得出答案.【详解】解.・•图中正方形ABCD正方形EFGH正方形MNA7的面积分别为SiS2S3:・CG=NGCF=DG=NF・・・Si=CG+OG2=CG2+DG2+2CG*DG=GR+2CG・DGSi=GF2S3=NG-NFa=NgNR-2NGNFVSi+S2+S3=21=GF^UCG^DG^G^NG^NF2-2NGNF=3GF\「・S2的值是
7.故选c.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用,根据己知得出51+52+53=21=G声+2CG・OG+G尸+NG2+W-2NG・NF=3GR是解决问题的关键.
8.如图,在△仙C中,ZB=2ZC以点A为圆心,长为半径作弧,交BC于点交AC于点G;再分别以点3和点为圆心,大于砂的长为半轻作弧,两弧相交于乙点E作射线交于点F若以点G为圆心,GC长为半径作两段弧,一段弧过A.20°B.30°C.36°D.40°【答案】C【分析】连接AD通过等腰三角形性质,进行角的等量代换,由ZADB+ZADG+ZGDC=180求解即可.【详解】解如下图,连接AO.••由作图可知,AE为BD的垂直平分线「・AB=AD・.・ZB=ZADB又・.・ZB=2ZC:.ZADB=ZB=2ZC又•GC=GDAD=AG:.ZGDC=ZCZADG=ZAGDf又•:ZAGD=ZC+ZGDC:.ZAGD=ZADG=2ZC又•/ZADB+ZADG+ZGDC=180・•・5ZC=180S・.・ZC=36°・故选C【点睛】本题考查的是垂直平分线的性质,等腰三角形的性质、三角形的外角性质等相关知识点根据图形找见相关的等量关系是解题关键.
9.如图,在Rt^ABC中,ZACB=90分别以AB9ACBC为斜边作三个等腰直角Z^ABDaACEABCF,图中阴影部分的面积分别记为5S”若已知Rt^ABC的面积,则下列代数式中,一定能求出确切值的代数式是()【详解】VRt^ABC中,ZACB=90°分别以ABACBC为斜边作三个等腰直角•LB选项不符合题意;S3+S^ADG=—m2S]+SS-5^=—+—S4252+S3+S4=—BF2+—S+Si-—-—S=—+—S+S[-—-—S=S]无法确定22424242•.•C选项不符合题意;221「牛与〃有关・.・£)选项不符合题意;故选A.【点睛】本题考查了直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,图形面积的割补灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键.
10.七巧板是我国祖先的一项卓越创造,下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的,则这四个图形的周长从大到小排列正确的是()设最小的直角三角形的直角边长为1根据勾股定理,分别表示出七块七巧板各边的长度,计算每个图形中重合的线段和,和越大,周长越小.【详解】解设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理,可以得出其余的边长分别为22后分别求出各图中重合的线段的长度和,和越大,则周长越小;甲图中重叠的线段和为7+2后乙图中重叠的线段和为5+2扼;丙图中重叠的线段和为5+3^2;丁图中重叠的线段和为6+3^2;V6+3V2>7+2^2>5+3>/2>5+2>/2,.••乙>丙>甲>丁故选A【点睛】本题考查了勾股定理,不规则图形的周长,解题关键是明确总周长一定,重叠的线段和越大,则周长越小.
二、填空题
11.如图,在MBC中,ZB=18°ZC=41°点是BC的中点,点E在AB上,将也沿庞折叠,若点〃的落点9在射线C4上,则E4与可所夹锐角的度数是【分析】根据折叠可得三角形全等,根据全等三角形的性质以及中点的性质可得BD=BDDC=DB,山等腰三角形性质以及三角形外角定理求得Z8庞度数,在△3OD中根据内角和即可求得BA与87)所夹锐角的度数.【详解】如下图,连接84与£>相交于点
0.•.△BDE£WDE;.BD=BD又•D为BC的中点,BD=DC.•.BD=/D/.ZDBrC=ZC=41°ZBDB=ZDBC+ZC=82°ZBOD=180°-ZB-匕BDB=80°即R4与月所夹锐角的度数是80・故答案为80°.【点睛】本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理,综合运用以上性质定理是解题的关键.
12.由沈康身教授所著,数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事如图,三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯,先将地毯分割成七块,再试卷第14页,共40页拼成三个小正方形(阴影部分).则图中的长应是【答案】V2-1【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知CD=gBD=CE=1在Rt^ACD中应用勾股定理即可求解.【详解】解..•地毯平均分成了3份・..每一份的边长为也=毛V33・•・CD=g在RtMCD中,根据勾股定理可得ad=Jcd—H,根据裁剪可知BD=CE=1AB=AD-BD=/i-2故答案为/2—1-【点睛】本题考查勾股定理,根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键.
13.如图,在MBC中,AB=AC4=70,以点C为圆心,G4长为半径作弧,交直线3C于点P连结AP则ZW的度数是・【答案】15或75【分析】分
①点P在8C的延长线上,
②点P在的延长线上两种情况,再利用等腰三角形的性质即可得出答案.【详解】解
①当点户在的延长线上时,如图VAB=AC以=70,ZB=ZACB=70°・.・ZCAB=40°・.•以点C为圆心,G4长为半径作孤,交直线于点P:.AC=PC:.ZP=ZCAP・.•ZACB=ZB+ZCAP=70°・・・ZP=/CAP=35°ZBAP=ABAC+ZCAP=40+35°=75°
②当点P在CB的延长线上时,如图由
①得ZC=70°ZG4B=40°U AC=PC・•./P=ZCAP=55°・・・ZBAP=^CAP-ABAC=55-40’=15°故答案为15或75【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,分类讨论不重不漏是解题的关键.
14.如图,四边形ABCD中,ZABC=ZCDA=90°9分别以它的四条边为斜边,向外作等腰直角三角形,其中3个三角形面积分别为259则第4个三角形面积为【答案】12【分析】连接AC先根据等腰直角三角形的面积公式、勾股定理可得AB\BC\AD2的值,再利用勾股定理可得CD的值,山此即可得.【详解】解如图,连接AC•••△ABE是等腰直角三角形,且它的面积为5:-AEBE=-AE2=5艮P4E2=1022AB2=AE2+BE2=2AE2=20同理可得BC2=36AD2=8・.•ZABC=ZCDA=90°9AB2+BC2=AC2=AD2+CD2艮P20+36=8+CD2解得C疔=48在等腰Rt^CDF中,CD2=CF2+DF2=2CF2即CF2=^CD2=24则等腰RtKDF的面积为=CT•OP=」C~2==x24=12222故答案为
12.【点睛】本题考查了等腰直角三角形、勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题关键.
15.如图,在AABC中,ZACB=90°ACBC.分别以点A〃为圆心,大于!A8的长为半径画弧,两弧交于OE两点直线E交BC于点兄连接以点A为圆心,AF为半径画弧,交8C延长线于点乩连接若BC=3则的周长为・【答案】6【分析】根据作图可得OF垂直平分线段利用线段垂直平分线的性质可得AF=BF再根据等腰三角形的三线合一可得左AFH的周长=AF+AH+FH=2(AF-hCF)=2(BF-i-CF)=2BC9即可求解.【详解】解由作图可得垂直平分线段:.AF=BF•.•以点人为圆心,AF为半径画孤,交BC延长线于点H・•・AF=AHf:.AF=AH=BF・.・AC上BH:.CF=CH:.△AFH的周长=AF+A//+f7/=2(AF+CF)=2(8F+CF)=2BC=6故答案为
6.【点睛】本题考查尺规作图一线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质,掌握上述基本性质定理是解题的关键.如图,矩形ABCD中AB=1AD=29E为对角线BD上一个动点,过E作EFLAE交BC于F.
(1)当AE=1时,EF的长为;
(2)EF长的最小值为・【答案】!季【分析】
(1)根据矩形的性质,得到ZFBE=ZFEB,证明出左ABF#3EF推出AM1BEZABM=ZBFM,得到△ABFsMXB运用相似三角形对应边成比例得出结论,
(2)当AELBD时,点8与点F重合,此时EF为最小值,用勾股定理求出BD=y[5由ZABE=ZDBAZAEB二ZDAB得至IJ/kAEBs^DAB再运用相似三角形对应边成比例得出结论.【详解】解
(1)如图,连接人F交8E于点M・.•四边形旭C是矩形・・・ZABC=ZDAB=90°f\9AB=AE=\9:.ZABE=ZAEB9AE±EF:.ZAEF=90°:.ZFBE=ZFEB:.BF=EF在左ABF和左AEF中,u AB=AE9BF=EFAF=AFf./\ABF^^AEFCSSS:.ZBAF=ZEAFfAM上BE:.ZABM=ZBFM*ZBAD=ZFBA=90°:./XABF^^DAB.ABBF•.=,ADAB.1BF・・—=,21:.BF=EF=»故答案为2如图,当AELBD时,点B与点尸重合,此时EF为最小值F在RtLABD中,AB=\fAD=2f由勾股定理得:BD=Jf+22=际,•ZABE=ZDBAZAEB=ZDAB:./\AEB^^DABf.BEAB..~I=ABBDBE1此时欧长的最小值为亚5故答案为季【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理,解题关键在于运用矩形的性质证明三角形全等,再证明出三角形相似,根据相似的性质得出结论.等腰三角形ABC中,过C作CDVAB交AB边于点EAB=AC=CDf连结AD并延长交C8延长线于点F若DB=
5.BC=89则ZAFC=_AB=【答案】45;【分析】
(1)要求NF的度数,要利用ZADC是的外角,将其转化中巳知的两个等腰三角形之中加以解决;
(2)因为AB=CD所以要求AB的长,需求CD的R即可,这样,将未知量和已知量集中在△DBC中,分别过点、4作DMLFC于M于N借助于勾股定理求得CQ的长,但需考虑问题本身没有给出图形,可能需要分情况进行讨论.【详解】解
(1)如图1所示,设ZF=aZDCF=则ZADC=ZF+/DCF=a*
3.AC=CD
9.ZCAD=ZADC=a+fiCDLAB:.ZABC+ZDCF=90°・.・ZABC=90°-ZDCF=90°-/^U AB=AC.IZACB=ZABC=9O°-J
3.・../ACD=ZACB-匕DCB=9V-/3-0=90°-
2.在ACD中,ZADC+ZDAC+ZACD=180°V2a+0+90°-2/=180°.・.・a=
45.故答案为45°.2过点作DMLFC于MANFC于N・分两种情况:当点M在点B左侧时,如图2
①所示,FMBNC图2
①ZCAN+ZACB=90°f/OCM+NABC=90,ZACB=ZABC:.ZCAN=ZDCM■DCM=-CAN在△DCM和△C4N中,WDMC=ZCNA=90CD=AC:.4DCMM△CAA^A4S.:.DM=CN=-BC=
4.
2..•在RgDBM中,BM=\lDB2-DM2=\/52-42=3-:.CM=CB+BM=S+3=\\.在RsDCM中,DC=JcM,+DM2=3+疽=应.:.AB=DC=y/[yj.当点M在点8右侧时,如图2
②所示FBMNC图2
②此时,CM=CB-BM=S-3=59其它不变.在如CM中,DC=VCM2+DM2=^52+42=741-:.AB=DC=y/4\.综合
①、
②得,ab=4m或Ji药.故答案为或J
137.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、分类的数学思想等知识点.熟知各种图形的性质是解题的基础,分类讨论是本题的关键.AABC中,AB=40AC=6£4=45,折叠AABC使点C落在AB边上的点处,折痕EF交AC于点当点由3向A连续移动过程中,点E经过的路径长记为m贝!|BC=m=.【答案】2妪20-12扼【分析】过B作BM1AC垂足为M求出CM长度,利用勾股定理即可求出BC长度分析点的运动路径,分段计算出长度加在一起即可.【详解】解过8作BMLAC垂足为M如图1VZA=45°AB=4@:・BM=AM=^^=4V2VAC=6/•CA/=6-4=2・.・BC=yJCM2+BM2=V22+42=2^5由折叠知,EF垂直平分CD.••当与8重合时,此时AE最小・・・如图2作EiG±4B垂足为G连接E12设AE\=x.4=45:.AG=EiG=•.•EiF垂直平分C8/•E]B=E\C=6-x9:.在Rt4EiGB中£iB2=EiG2+GB2,即(6-x)2=解得x=l(舍去负值)AAEi=l・.・ED=EC..•当AE最大时,EC最短,LED最短,..•当EDLAB时,玖)为垂线段,取最小值・・・如图3作E2D2±AB9垂足为庆,图4此时眼=¥=捉6=
3.・.E从到运动了12-672-3=9-
672..•点E从Ei运动到再运动到路径长为11-67^+9-675=20-1275故答案为2^5;20-12^
2.【点睛】本题主要考查图形翻折变换,勾股定理,等腰直角三角形等知识,熟练掌握图形的翻折变换,勾股定理,等腰直角三角形等知识,是解题的关键.
19.中,ZA=36°N8是锐角.当N〃=72时,我们可以如图作线段将MBC三角形如果存在一条线段将△A8C分成两个小三角形,这两个小三角形都是等腰三角形,则匕8的角度还可以取到的有【答案】54°36°18°12°【分析】直线从A、
8、C出发分三种情况讨论,利用等边对对角、三角形的外角性质、三角形的内角和建立方程求解,再结合题干看是否存在即可得出答案.【详解】解这条直线从人、B、C出发皆可,设N8=x/假设从村出发,如下图当BD=ADAD=DC0J:.ZB=ZBADZDAC=ZC/.180o-36°-x=36°-x此时工的值不存在;当BD=ADAOOC时ZB=ZBADZADC=ADAC・.•ZADC=ZB+ABAD=ABAC-ABAD:.2x=36°-x解得x=12°;当BD=ADAD=AC^ZB=ZBADZADC=ZC•/ZADC=ZB+Z.BAD=2xZC=180°-x-36°=144°-x.•.2x=144°-x解得x=48°此时48°36°此种情况不存在;当AB=ADAD=DCBj*ZB=ZADBZADC=ZC•/ZBAP=180°-2xZC=180-x-36°.•.180°-2x=36°-180-x-36°解得x=96°不符合题意〃假设从8出发,如下图D
①当AD=BDBD=BCRt/BQC=ZA+ZAB£=36x2=72•••ZC=72ZB=72,此情况成立;
②AD=BDBD=DC/BDC=72,Z£BC=x-36°/.x-36°=180o-36°-x解得x=90°此时不成立;m假设从c出发,如下图:
①BD=DCAC=DC^ZADC=ZA=36°=ZB+ZDCB=2x解得*=18,此时成立;
②BD=DCAD=DCZADC=180一36x2=108,ZADC=+ZDCB=2x=\08°解得工=54°,此时成立;BD=BCAD=DC180—%-・nBDCBCD=十4=圭=36,曷心ZA+ZAC解得x=36;综上所述,匕8的角度还可以取到的有
54、
36、
12、18°.故答案为54°36°18°12°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质,解题的关键是分情况讨论,注意不要漏掉.如图,在等腰直角三角形ABC中,以=90,点D为AB的中点,一块45的三角板底角与点Q重合,并绕点旋转,另外两边分别与AC和BC相交于点E点F在旋转过程中,恰好存在DE=DF此时,BF=2则CF=【答案】4/2-2【分析】过点作DG1AC于点G通过角度等量代换,证明△DBF栏ZGD进一步推导AG=DG=2在Rt^ADG中,根据勾股定理求得A长度,转化求得AB、8C长度,根据CF=BC-BF即可求得CF的长度.【详解】如下图§no\lHH
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7..・CF=BC-BF=4y/i-2故答案为4^2-2【点睛】本题考查三角形的全等、等腰三角形的性质、勾股定理等相关知识点,根据条件,准确找到相关的条件是解题的关键点.
三、解答题已知如图,点A、B、C、在一条直线上,FB//EA交EC于H点EA=FBAB=CD.BCD求证NACE^BDF;若CH=BC匕4=50,求ZD的度数.【答案】1见解析;280°【分析】由EA//FB利用同位角相等可得/EAC2BD.由AB=CD利用等式性质可得AC=BD可证△ACE^BDFSAS;由FB//EA可得ZE4C=ZFBZ50°由CH=BC利用等角对等边,可求ZHBC=ZBHC=
50.利用三角形内角和可得ZECA=80°.利用VACE4V位加性质,可得ZEC4=ZD=80°.【详解】1证明VE4//FB.・.ZEAC=ZFBD.・.・AB=CDAB+BC=CD+BC即AC=BD在△ACE和△股中,AC=BD・.・ZEAC=Z.FBDEA=FB・•・^ACE^BDFSAS.2解FB//EA:.ZEAC=ZFBD=50•:CH=BC:.ZHBC=£BHC=
50.:.ZECA=180°-50°-50°=80°.:NACE^IBDE・.・ZEC4=ZD=80°.本题考查平行线性质,等腰三角形性质,三角形全等判定与性质,三角形内角和,掌握平行线性质,等腰三角形性质,三角形全等判定与性质,三角形内角和是解题关键.
22.1)门框的尺寸如图1一块长3m宽
2.1m的长方形薄板能否从门框内通过?请通过计算进行说明.
(2)放在墙角的立柜(图2)上下面是一个等腰直角三角形(图3)要将这个立柜搬过宽为
1.2m的通道,能通过吗?请通过计算进行说明・(参考数据:图1图2【答案】
(1)能通过,理由见解答;
(2)能通过,理由见解答.【分析】
(1)只要求出门框对角线的长再与己知薄木板的宽相比较即可得出答案;
(2)根据等腰直角三角形可得CD«
0.98m
1.2m可得A3边平行通道两边来平移立柜就可以通过.【详解】解
(1)能,理由是如图,连接AC则AC与AB.构成直角三角形,12m根据勾股定理得则AC=加2+昭2=+22=好
2.2,•/
2.1cm
2.2cm二该长方形能从门框内通过・(将该长方形的宽沿着AC斜着进去);
(2)能,理由是在等腰直角三角形中(图3)•.•腰长为
1.4mAB=V2AC=-V2(m)•:CDLABCD=AB=普扼a
0.98(m)/
0.98m
1.2m能通过・(AB边平行通道两边来平移立柜就可以通过).【点睛】本题考查了勾股定理的应用,等腰直角三角形的性质,解决本题的关键是掌握勾股定理的应用.如图,已知等边△ABC在AC9BC边分别取点PQ使AP=CQf连接AQ相交于点.求证Zvwp竺△C4Q・^AP=-AC.求器的值•s设△MC的面积为S\四边形CPOQ的面积为S求寸的值.【答案】1见解析;2
①瓷=-
②¥=・【分析】由等边4ABC可得ZBAC=ZACB=60°9AB=AC己知AP=C0利用SAS判定可得结论;
①过点P作PD//BC交A于点,利用平行线分线段成比例定理可得结论;
②设MBC的面积为,连接PQ四边形CPOQ的面积等于△OPQ的面积与△CPQ的面积之和,利用等高的三角形的面积比等于它们底的比,分别用表示△OPQ的面积与△CFQ的面积,通过计算可得出结论.【详解】证明.•.△曲是等边三角形,AZBAC=ZACB=60\AB=AC.AB=AC在牍夕?与△CAQ中,-^BAP=ZACQfAP=CQ所以aCAQ.PDAP
12.-
①过点P作PD//BC交A于点,如图,•:PD//BCPDAP1•
1.••而・・・PD=^CQ又因为QC=、QB所以PD二BQ6一OPPD1由于也〃况,所以^=^=a.
②如图,连接PQ,设S/w・.・AP=-ACf3:.CP=-AC.3SaBPC=—ci.3*CQ=-BC3・・・S^CPQ=-S^BPC=-a.94・・・S」BPQ=S「BPC-S「PQC=-a.••竺=_[.OB6,・0P_\...BP71144S^OPQ=—S△BPQ=—x—ci=—ci7796322「•S2=S^0PQ+S^CPQ=—ci+—ci=—ci.63972・.・Sl_,_
2.S2一~a7【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质,等边三角形的性质,利用高相同的三角形的面积的比等于底的比的性质表示出两个三角形的而积比是解题的关键.已知如图,在五边形ABCDE中,AB=AEZB=ZEBC=ED.求证△ABC^Z^AED.当AC!/DE匕AT也=40时,求匕4CD的度数.【答案】1见解析;270°【分析】利用SAS即可证明结论;结合1可得AC=AD根据等腰三角形的性质即可求出ZACD的度数.【详解】证明IA8=AEZB=ZE:BC=ED:.△ABC竺△/!££明$•:AC/IDEZA7E=4O°・・・ZCAD=ZADE=40°•・•^ABC^^AED・.・AC=AD:.ZACD=^180°-ACAD=70°【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是利用边角边证明在三角形中,一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差,叫做这个角的勾股差.
(1)概念理解在直角三角形中,直角的勾股差为;在底边长为2的等腰三角形中,底角的勾股差为;
(2)性质探究如图1CQ是△ABC的中线,AC=bBC=aAB=2cCD=d记△ACD中NADC的勾股差为必aBCD中匕位)C的勾股差为〃;
①求心〃的值(用含cibcd的代数式表示);
②试说明〃,与«互为相反数;
(3)性质应用如图2在四边形ABCD中,点E与F分别是A3与的中点,连接DF3DFBDDEDF^―=-且CD上BDCD=AD求工的值.AB4DF【答案】
(1)两直角边的平方和与斜边平方的差;4;
(2)
①求m=c2+d2-b2n=c2+d2-a2;
②见解析;
(3)旦=翅4DF3【分析】
(1)根据定义,得直角的勾股差等于两直角边的平方和与斜边平方的差;根据定义底角的勾股差等于腰的平方+底边的平方■另一腰的平方二底边的平方=22=4;
(2)
①根据勾股差的定义,得m=c2+d2-b29n=c2+d2-a2;
②证明E=0即可;
(3)根据勾股差的定义,直角三角形斜边上的中线的性质,
(2)中的性质计算即可【详解】
(1)根据定义,得直角的勾股差等于两直角边的平方和与斜边平方的差;根据定义底角的勾股差等于腰的平方+底边的平方■另一腰的平方=底边的平方=22=4故答案为两直角边的平方和与斜边平方的差,4;
(2)
①根据勾股差的定义,得m=c2+d2-b2n=c2+d2-a2;图1
②如图1过点C作CMLAB垂足为M在直角三角形ACM.直角三角形BCM、直角三角形CMD中,根据勾股定理,得b2=CM2+AM\a2=CM2+BM2CM2=d2-MD2・・・a2+b2=2CM2^AM2^BM2^9AD=BD=cf:.AM=AD-MDfBM=BD+MD=AD+MD:.a2+b2=2d2-2MD2+(A-MD)2+(■£+MD)2:.a2+b2=2d2-2MD2+AD2-2AD・MD+MD2++AD2+2AD・MD+MD1,・.・a2+b2=2d2+2AD2=2d2+2c2,.,・m+/2=c2+J2-b2+C1-\-d~-a2=2c2+2d2一(庆+/)=(步+白2)_(力2+/)=0・..,〃与〃互为相反数;DF3
(3)如图2:=—.••设DF=3mAB=4mfAB
4..•点E与F分别是M与鬼的中点,CDVBD..•设CF=BF=DF=3mfBE=AE=2mf・.•点E与F分别是仙与8C的中点,根据
(2)的结论,得BF1+DF2-BD2+CF2+DF2-CD2=0BE2+DE2-BD2+AE2+DE2-AD2=0,.・.4DF2=BD2+CD22AE2+2DE2=BD2+AD2,\9CD=ADf:.BD1+CD2=BD2+AD
2.・.4DF2=2AE2+2DE2^・•・36m2=8m2+2DE\・.・DE2=14m2••DE=y[\4m.DE何n_V14~DF~3m=~B图2【点睛】本题考查了新定义问题,直角三角形的性质,勾股定理,相反数的性质,探究性质的应用,灵活运用探究中的性质和新定义是解题的关键.。