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【玩转压轴题】考题7的问题综合解析版
一、单选题
1.2021-四川江油•九年级期末如图，圆与坐标轴分别交于原点，点A60和802点P是圆上一个动点，点C0-3则PC长度的最小值为A.4^2-面B.8^2-710C.2^5-而D.5-面【答案】D【分析】连接取的中点7连接CTPT根据ZABO=90°可知AB为圆的直径为圆心，PC的最小长度即为点C到圆丁上一点的最短距离.【详解】解连接取人8的中点丁，连接CTPT.・.•人60B
02.OA=6OB=2VZABO=90°・•・AB=』Ol+OB2=2面，AB为圆的直径，・・・TB=AT=PT=屈，VC0-3/.CT=J3-02+[l--3]2=5:.PCCT-PT=5-面，.・・PC的最小值为5■面.【点睛】本题主要考查了两点中点坐标公式，两点距离公式，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，圆外一点到圆的最短距离等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2.（2021-广东深圳•九年级专题练习）已知正方形ABCD的边长为1点P为正方形内一动点，若点M在AB上且满足△PBC^APAM延长BP交AD于点N连接CM.分析下列结论®APLBN；
②BM=DN
③点P一定在以CM为直径的圆上；
④当AN=时，PC=§而.其中结论正确的个数是（）【答案】D【分析】由左PBCs^pam得出ZPAM=ZPBC再由ZPBC+ZPBA=90°，即可推出4P_LBNpaANAPAM故可判断
①；易证△BAPS4BNA得出—由—=^-得出AM=AN即PBABPBBC可得出故可判断
②；由左PBC—4PAM得出二N8FC推出ZCPM=ZAPB=90°即可得出点P一定在以CM为直径的圆上，故可判断
③；过点PEF//AB可证明tanZNAP=tanZABN=-在△PAB中运用勾股定理求出PA=—9[2:4在NPAE中运用勾股定理求出PE=—AE=—进而求出PF和CK再运用勾股定理求出PC的长，从而可判断
④.][3:【详解】]417解..•四边形ABCD是正方形，:.AB=BC=CD=AD=\ZDAB=ZABC=ZBCD=Z£=90°4PBCs4PAM:.ZPAM=ZPBC乂ZPBC+2PBA=90:.ZPAM^ZPBA=90o:.ZAPB=90°9:.APIBNf故
①正确；•ZABP=/ABNZAPB=ZBAN=90°./\BAPs4BNA.PAAN.•=~IPBAB又:./\PBC^/\PAM.APAM••—9PBBC•.・AB=BC:.AM=ANf:.AB-AM^AD-AN:.BM=DN故
②正确；・・・ZAPM=ZBPC:.ZCPM=ZAPB=90°f..•点F一定在以CM为直径的圆上，故
③正确；过点F作EFHAB交人于《点，交BC于F点、如图...APLBN:.ZPBA+ZPAB=90又二90°・.・ZPAE-hZPAB=90°:.ZPBA=ZPAE・.・AN=、AB=l4tan/NAP=tanZABN=-4DApp
1.=_T£=1QPPB=4PAAE=APEPBAE4在Rt4PAB中，PA1+PB2=AB2，即PA2+16PA2=1•••所=£在Rt^PAE中，PE2+AE2=PE2+4PE2=PA2=—17・・・AE=—174・.・BF=—17:.CF=—17在肉APCF中，PC=y!PF2+CF~=卷书=普，故
④正确.所以，正确的结论共有4个故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
3.（2021-山东•青岛西海岸新区实验初级中学（青岛市黄岛区实验初级中学）模拟预测）如图，OO中，AB=AC^ZACB=75°BC=4阴影部分的面积是（）【答案】A【分析】连接OB、OC先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长4利用三角形和扇形的面积公式即可求解;【详解】解作ODJ_BC贝ljBD=CD连接OBOCAB=ACAAB=AC・.・A在BC的垂直平分线上・・・A、O、D共线，VZACB=75°AB=ACAZABC=ZACB=75°AZBAC=30°.•.ZBOC=60°・..OB=OC.•.△BOC是等边三角形，・.・OA=OB=OC=BC=4VAD1BCAB=AC・.・BD=CDAOD=2V3・•・Saabc=；BC・AD=上X4X（4+2右）=8+4x/J22Saboc=BC・OD=-X4x2右=4022S阴影=Saabc+S扇形boc-Saboc=8+4右+_-—4/3360故选A.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影=，△ABC+S扇形BOC-SaBOC是解题的关键.
4.（2021-四川成都•三模）如图，将边长为6的正六边形ABCDEF沿折叠，点B恰好落在边AF的中点上，延长BC交EF于点M则CM的长为（）A.1【答案】A【分析】过点H作E4延长的垂线HQ设AH=x可得=QH卫x可得22BH=BH=AB-AH=6-x由ABf=^AB=3f可得8Q=8A+AQ=3+工，在死△8HQ中，根据勾股定理即可得工的值，再证明△ABM-AFMB对应边成比例即可求出结果.【详解】解如图，过点//作延长的垂线vZBAF=120°/.ZHAQ=60°ZHQA=90°:.ZAHQ=3Q°9AH=xAQ=^-xQH=^-x22BH=BH=AB-AH=6-x・..ABr=-AB=3f2:.BQ=BA+AQ=3+-x1在印△8中，根据勾股定理，得BfH2=BfQ2+QH2:.6-x2=3+-x2+-x2249解得x=-BfH=6-x=—6・.•/HAS=ZF==120，/.ZAH^+ZAI^H=60°ZFBM+ZABH=60ZAHB=ZFBM.ABBHAH…BM_219=5，BfM3解得B，M=7CM=BM-BC=7—6=l.故选A.【点睛】本题考查了正多边形和圆，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的关系.
5.2021-四川•江油市小溪坝初级中学校一模如图，已知原B两点的坐标分别为
80、
（08）点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=1O9点是线段CF的中点连接交V轴于点E当面积取得最小值时，E点的坐标是（）10\Q\A.0—B.0—C.02D.0—v\jJ\2J【答案】A【分析】如图见解析，先利用直角三角形的性质可得DM=CF=5从而可得点的运动轨迹是以点M为圆心、长为半径的圆，再根据圆的性质可得当AO与相切，且点五位于y轴的正半轴上时，距取最小值，然后利用相似三角形的判定与性质求出OE的长，由此即可得出答案.【详解】如图，设直线x=-5与X轴的交点为点则M-5O-CM-Lx轴，点O是线段CF的中点，且CF=10:.DM=-CF=52点D的运动轨迹是以点M为圆心、DM长为半径的圆・.・A8B8/.OA=S..△ABE面积为S04•况=4况，则当△/娅而积取得最小值时，8E应最小由圆的性质可知，当人与相切，且点e位于y轴的正半轴上时，既取最小值试卷第8页，共65页/.AD±DM，又A
（80）M（—50）.MM=13AD=y/AM2-DM2=12，[^OAE=ZDAM在AAOE和5中，[嚣瓶加=
90..^AOE〜^ADMOEOAOE8=——，即——=—DMAD512解得0£=牛则当△ABE面积取得最小值时，点E的坐标为E（0半）故选A.【点睛】本题考查了直角三角形的性质、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点正确得出点的运动轨迹是解题关键.
6.（2021＜东华侨中学二模）如图，己知的半径为3弦CD=4A为O上一动点（点A与点C、不重合），连接AO并延长交CD于点E交于点P为CQ上一点，当ZAPB=120°时，则AP・砰的最大值为（）如图（见解析），先利用解直角三角形可得FP=AP再根据圆周角定理可得ZC=ZPBD然后根据相似三角形的判定与性质可得^-=—从而可得orDrFPBP=CPDP，设CP=x从而可得DP=4-x最后利用二次函数的性质求解即可得.【详解】解如图，延长砰交于点F连接AFCFBDQAB为OO的半径，ZAFB=90°ZAPS=120°fZAPF=180°-ZAPS=60°在Rt^AFPFP=AP-cosAAPF=-AP即AP=2FP2APBP=2FP・BP由圆周角定理得=ZPBD:.瓦FP〜aBDPCPFP——=——即砰・BP=CPDPBPDP设FP・BP=yCP=x则DP=4-x9且0%4/.y=x4-x=-x-22+4由二次函数的性质可知，在0x4内，当x=2时，y取最大值，最大值为4即的最大值为4则AP•驴的最大值为2x4=8故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键.
7.2021＜东•深圳市宝安中学集团九年级月考如图，在正方形ABCD中，以点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究.连接必、PB、PC、PD并延长m交AB于点下列结论中:
①FD=FB+BC；
②匕APC=135；
③5盲此=4尸2；4tanZBAP=|；其中正确的结论有连结P0根据等腰三角形的性质和正方形的性质证明ZDP0=ZBCD=9从而证明OF是的切线再证明AB、CD都是的切线，用切线长定理即可证明FD=FB+BC所以
①正确；和△OPC都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可证得ZAPC=ZDPA+ZDPC=|360-匕人0=135°所以
②正确；设正方形的边长为，连结0D过点F作PELBC于点EPGA.AB于点G根据正切定义可得藉=g^=g|=tan/CDO=；用含〃的代数式表示政和PECECD22它们均为!2所以
③正确；由前面得到的结论，可得PG-^-aAG=^at求得tanZBAP=}~所以
④正确.wZJJ【详解】
①如图1连结尸，贝ljOP=OC.:.ZOPC=ZOCP9PD=CD:.ZDPC=ZDCP:.ZDPO=ZOPC+ZDPC=ZOCP+ZDCP=/BCD..•四边形ABCD是正方形:.ZDPO=ZBCD=90°fVOP是GO的半径，DELOP.DF是
③的切线；9AB±0BfCDLOC:.AB.CD都是的切线，:.PF=FBPD=CD=BC=AD:.FD=PF+PD=FB+BC.故
①正确；XDE1•.・pd=ad=cd:.ZDPA=ZDAP=-APDAZDPC=ZDCP=^-180°-ZPDQAZAPC=ZDPA-^-ZDPC=y[360°-匕PZM+匕PDC]=360-ZADC=y360°-90°=135°.故
②正确；如图，设正方形ABCD的边长为，连结OD交PC于点H；AD¥_I/_BEOC作PEA.BC于点EPGLAB于点G则ZPEC=ZPEB=匕PGB=90四边形PGBE为矩形..OP=OCPD=CD..・OD垂直平分FC・.・ZDHC=90°.ZBPE=90-ZEPC=ZECP=90-ZDCH=9CD0•BEPEOC—八2a1，—=—=——=tanZCDO=-=-PECECDa
2.PE=、CEBE=、PE=cE224I4S整理，得CE预，.BG=PE=^x^a=-cbPG=BE=-x-a=-a
25545523.AG=aa=—a
55.[Qi1pnc=^a9—a=-d1^AP2=[-«2+-a2]=-a2fJJJJJ•Sapbc=AP
2.故
③正确；13如图2VZAGP=90°fPG=_aAG=-a55E]21PGEQj:.ternZBAP==一=一.化写35故
④正确.故选A.【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质、圆的切线的判定、切线长定理、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，设正方形的边长为，将有关线段用含的代数式表示.
8.（2021-广东.深圳实验学校中学部九年级月考）如图，在△ABC中，4ZC=90°AB=5cmcosB=-.动点从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点3出发沿着射线的方向以每秒2cm的速度移动.已知点和点E同时出发，设它们运动的时间为，秒.连接8D・下列结论正确的有个BC=4；当AD=AB时，tanZABD=2；25以点3为圆心、距为半径画B当1=E时，DE与B相切；75当ZCBD=ZADE时，t=jy.A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断
①，利用勾股定理求人CBDAG再用正切锐角三角函数定义求值可判断
②，利用相似三角形判定与性质，可判断
③，利用相似三角形判定与性质建构方程，解方程求解可判断
④【详解】44解在△A3C中，NC=90°4B=5cmcosB=—.BC=AB・cosB=5x—=4故
①8C=4正确；作AGLBD于G在RtAABC中，AC=\lAB2-BC2=^52-42=3，\uAD=AB=59AG
1.BD:.CD=AD-AC=5-3=2DG=BG在RtADCB中，BD=yJCD1+BC2=a/22+42=2/5»:.dg=bg=B在RtABGA中，AG=ylAB2-BG2=^52-^2=2^5，.•/g_AG_2t〜..tanz^ABD==—=2BG75故
②当AD=AB时，tanZ4BD=2正确；Asr3ADF，BE=2lcos/l=—=-・.・AE=AB-BE=5-2t=5——=—
131315.._13_3——4\DEs壶BC:.ZAED=ZACB=90°ZDEB=90・.・匹与B相切，25故
③以点3为圆心、既为半径画OB当，=二时，匹与相切正确;过E作EHLAC于H当ZCBD=ZADE时，ZEHD=ZDCB=904EHDs4DCBHEDH.•=CDCBVAE=5-2r.\AH=-（5-2t）fEH=-（5-2t）fCD=3-rHD=AD-AH=-t-3f整理得11-80，+125=0因式分解得（11—25）（S5）=O.・.r=g或.=5（舍去），故
④当ZCBD=ZADE时，z寿正确;正确的结论有4个.故选择D.【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，一元二次方程的解法是解题关键.
9.（2021-山东崂山•二模）如图，在矩形ABCD中，4C为对角线，AB=29ZACB=30°以B为圆心，长为半径画弧，交AC于点交BC于点N则阴影部分的面积为（）过M作MHVBC于点H此时根据直角三角形的性质求得AC=4BC=2际再根据等边三角形判定得出△ABM为等边三角形，进而将问题转化到新的三角形之中，利用勾股定理求得MH=1最终求阴影部分的面积转化为S阴影=Smc一S扇形阿求解即可.【详解】如下图，连接敬，过M作MHA.BC于点在矩形ABCD中，VZABC=90°人8=2£46=30，•AC=4BC=VAC2—AB2=^42—22=2/3XVZBAC=60°AB=BM・.・^ABM为等边三角形，AZABM=60°ZMBH=30°二S阴影=^ABMC_S扇形BMN30°-h.22=-・BC・MH—360°厂JI=-x2V3xl——3故选D.【点睛】本题考察了直角三角形的性质、勾股定理的应用、等边三角形的判定、割补法求面积、扇形面积计算等知识点，综合性较强，属于选择题中的压轴题，灵活运用相关定理和性质是解题的关键.
10.（2021•山东日照•中考真题）如图，平面图形伽由直角边长为1的等腰直角牍/和扇形组成，点P在线段A8上，PQ-LAB且PQ交AD或交于点・设AP=x（Ox2）9图中阴影部分表示的平面图形时（或APQD）的面积为则函数关于工的大致图象是（）OPB【答案】D【分析】根据点的位置，分点在adI.和点在弧8□上两种情况讨论，分别写出y和工的函数解析式，即可确定函数图象.【详解】解当在AO上时，即点〜在人上时，有V1此时阴影部分为等腰直角三角形，该函数是二次函数，且开口向上，排除3c选项;当点在弧上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角MOD的面积加上扇形的面积，再减去平面图形P3Q的面积即减去!弓形的面积设贝\\AQOF=20•••Swd=x1x1=!S弓形姬=器5当步=45时，AP=x=l+—«
1.7217T1*
1、37T…仃y=—+=—+—®
1.15“2424248当=30时，AP=x=L86，，3=一y=U_LJ鸟=』+亟+如
1.45•24264286在A选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意.故选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键.
二、填空题
11.（2021-广东韶关•一模）如图，在四边形ABCD中，AB=CBAD=CD.若D【答案】小4【分析】根据AB=CBAD=CD得出BD为AC的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得ZABC=60°进而得出为等边三角形；利用ZACD=30°得出为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形ABC的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求.【详解】解如图，设AC•与8D交于点FMBC的内心为O连接OA.•:AB=CBAD=CD..・3D是线段AC的垂直平分线..・・AC±BDAF=FC.・.・AB=BCBF
1.ACf:.ZABF=ZCBF=30°・・.・ZABC=60°....为等边三角形.・・・ABAC=ZACB=60°.・.・ZAO=30，・.・ZBCD=ZACD+ZACB=30°+60°=90°.•CD=AD=1:.BD=2・.・BC=yjBD2-CD1=也.・•・AB=BC=AC=
3.・..AB=BC.BFVAC・.・为MBC的内心•.•5•皿3=；（
1.MC的内切圆面积如上故答案为*【点睛】本题考查了垂直平分线的判定、三角形内切圆、等边三角形判定与性质、解直角三角形解题关键是根据垂直平分线的判定确定△A3C为等边三角形，根据解直角三角形求出内切圆半径.
12.（2021＜东广州呻考真题）如图，正方形ABCD的边长为4点E是边8C上一点且8E=3以点A为圆心，3为半径的圆分别交A
3、于点F、GDF与AE交于点H.并与A交于点K连结反G、CH.给出下列四个结论.
（1）H是FK的中点;72△HGDdHEC；3:SADHC=916；4DK=-9其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.BEC【答案】
（1）
（3）
（4）.【分析】由正方形的性质可证明△典，则可推出ZAHF=90°利用垂径定理即可证明结论
（1）正确；过点H作MN//AB交BC于N交人于由三角形而积计算公12式求出AH=—9再利用矩形的判定与性质证得MG=NE并根据相似三角形的判定4X52与性质分别求出MHfNH=*则最后利用锐角三角函数证明AMGHZHEN
（2）中结论并利用相似三角形的性质求得A=||
（1）所得结论DK=DF—2FH并由勾股定理求出FH【详解】解
（1）.「四边形ABCD是正方形AAD=AB=4ZDAF=ZABE=
90.又AF=BE=3二/\DAF^/\ABE.•ZAFD=ZBEA.•:ZBEA+ZBAE=90°9:.ZAFD^ZBAE=90QAZA/7F=90°・•・AHLFK:・FH=KH即H是PK的中点；故结论
（1）正确；
（2）过点H作MN//AB交BC于N交AO于则-ADAF=-DFAH22•DF—\lAF~+AD~—5‘:.AH=—.5・.•四边形ABCD是正方形，MN//AB:.ZDAB=ZABC=ZAMN=90°..•・四边形ABNM是矩形.:・MN=AB=4AM=BN.•.・AG=BE・・・AG—AM=BE—BN.即MG=NE.AD//BCfAZMAH=ZAEB.・.•ZABE=ZAMN=90°:.△M4H〜球£
4..AHMH••而一而•12即y48解得M/7=—.52贝i\NH=4-MH=—.25•/tanZMGH=-tanZHEN=—.MGNE•:MG=NEMH旭NH.MG_NE••祈~NH・..匕MGH丰ZHEN・・・・ZDGH丰ACEH././\HGD与△£€不全等，故结论
（2）错误；
（3）.・•^MAH〜/BEA.AHAM•花一有.12即_AM.解得珈=||・由⑵得Swg=\mH・AGS^dhc=^DC（AD-AM）48SXHCMHAGf9•••X^7=DC.（AD_AM）=4x（4_36）=仍;故结论C由1得，H是尸K的中点:.DK=DF—2FH・由勾股定理得FH=yjAF2-AH2=J32-—2=-・V97ADK=5-2x-=-；故结论4正确.故答案为
134.【点睛】本题考查了正方形的综合问题，掌握特殊四边形、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键.
13.2021-山东青岛•九年级单元测试如图，在矩形ABC中，48=右+2人=右，把△E4O沿AE折叠，使点恰好落在A4边上的应处，再将△■£»绕点E顺时针旋转Q得到△AfE/X使得V恰好经过位7的中点F.4D”交A〃于点G连接而V有如下结论:
①AfF的长度是V6-2;
②弧DD〃的长度是瓯1;
③/\ArAF竺4NEG；12左/U/s△召g尸.上述结论中，所有正确的序号是・【答案】
①②④【分析】先根据图形翻折变换的性质以及勾股定理得出AE=AfE的长，再根据勾股定理求出EF的长，即可求解；利用特殊角的三角函数求得NDEF=30，从而求得ADEDn=75°根据弧长公式即可求解；由于△A£A不是等边三角形，得出EArAfA»从而说明△AM/7和△AKG不是全等三角形；先利用“HL”证得RMEGmREEG求得ZFEG=
7.5°再求得ZAAF=
7.5°从而推出WFs・【详解】在矩形ABCD中，ZADE=ZDADf=90°•「△ADE翻折后与左ADT重合，.・.AD=ADDE=DEZZME=ZE4Z7=45°.・・四边形ADE是正方形，・・・AD，=AD=D，E=DE=0・・・AE=JaD2+DE2=」右2+右2=76，将AAED绕点E顺时针旋转a得到AAE=ArE=yf6ED=EIX邓ZAEA=ADEDn=a..•点F是8D的中点，・・・DF=-DB=-AB-AD=-y/3+2-y/3=]222・•・EF=』DE+DF=J02+F=2・AF=AE—EF=J^—2故
①正确；
②由
①得ZAEDf=45°在RMEF中，ZEDF=90・・・ZDEF=30°・.・a=ZAEA=/DEU=ZAEZ7+/DEF=45°+30°=75°..•弧/XD的长度是75勿顼=瓯勿故
②正确；18012在△AE4中，ZAEA!=75°AE=A!E...^心不是等边三角形，・・・E4丰孙，.•.△AAF和不是全等三角形，故
③错误；在RMEG和/，△£%中，OE=rTEGE公共・.・Rt/DEG=RM〃EGHL:.ZDEG=ZD”EG=-x75°=
37.5°2:.ZFEG=/DEG-ADEF=
37.5°一30°=
7.5°在△AE4中，ZAEAr=75°AE=AE:.AA!AF=ZArAE-ZDAE=-180°-ZAEAr-45°=-180°-75°-45°=
7.5°22・.・ZA!AF=ZFEG又ZAFAf=ZEFGAAAAT^AEGF故
④正确；综上，
①②④正确，故答案为
①②④.【点睛】本题考查了图形的翻折变换，特殊角的三角函数，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式的应用，勾股定理的应用，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.
14.2021•山东日照•一模如图，已知的半径为2弦AB=2后点P为优弧APB上动点，点I为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为4【答案】F【分析】连接08OA过作ODLAB根据垂径定理可得AD=BD=AB=0根据余弦的定义、特殊角的三角函数值及圆周角定理可得ZAOB=60°9连接A4IB根据角平分线的定义得到ZIBA=^ZPBA根据三角形的内角和得到ZAIB=180°-^ZPAB+ZPBA=\20°设A8/三点所在的圆的圆心为O连接AOB得到ZAO力=120，根据等腰三角形的性质得到ZOAB=ZOBA=30°连接OD可得解直角三角形可求出OA的长，根据弧长公式即可得到结论.【详解】连接8OA过作ODA.AB:.AD=BD=、AB=y^2•OA=OB=2AsinZAOD=—・・・ZAOD=ZBOD=60°:.ZAOB=\20°.・.=袂=6・・・ZMB+ZPBA=120°连接ZAIB•・•点I为MAB的内心:.ZIAB=-ZPABfZIBA=-ZPBAf22・.・ZAIB=180°--ZPAB+ZPBA=120°2•・•点P为优弧APB上动点，・・・ZP始终等于60・.・点/在以为弦，并且所对的圆周角为120的一段劣弧上运动设AB/三点所在的圆的圆心为连接ONOB则ZAO3=12・..7A=OB9连接O:AD=BD.:.C/DA.AB•••A°=^b=2二点I移动的路径长=咚誓=9・1oil34故答案为F【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理、解直角三角形及弧长公式，垂直于弦点直径平分弦且平分这条弦所对点两条孤；在同圆或等圆中，同弧或等孤所对的圆周角相等，都等于这条孤所对点圆心角点一半；熟练掌握相关定理并熟记特殊角的三角函数值及弧长公式是解题关键.
15.2021-山东河东•二模如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y=^x位于第一象限的图象上运动，点〃在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD9且AB=2@AD=1则OQ的最大值是.【答案】2+而【分析】作AA彼的外接圆OP连接P、PA.PB、PD作PGLCD交AB于H垂足为G易得ZAPH2OB解直角三角形求得PH=l然后根据三角形三边关系得出OD取最大值时，OD=OP+PDf据此即可求得.【详解】解・.•点A在一次函数y=y/3x图象上，tan2AOB=右，作M破的外接圆P连接OP、PA.PB、PD作PG±CD交AB于H垂足为G•.•四边形ABCD是矩形，/.AB//CD四边形AHGD是矩形，:.PGLABGH=AD=1•.・ZAPB=2ZAOBZAPG=-ZAPBAH=-AB=y/3=DG22ZAPH=ZAOBtanZAPH=tanZAOB=/3，.・.世=后PH.・.PG=PH+HG=1+1=2:.PD=y]PG2+DG2=722+\/32=V7OP=PA=\JaH2+PH2=x/V324-12=2在\OPD中，OP+PD..OD.•.9/的最大值为0/+户£=2+77故答案为2+
77.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆心角和圆周角的关系，垂径定理以及勾股定理的应用，三角形三边关系等，作出辅助线是解题的关键.
16.2021-山东•日照港中学三模在直角坐标系中，给定两点M14N.l2在工轴的正半轴上，求一点P使ZMPN最大则P点的坐标为【分析】作△MNP的外接圆则ZMPN为弦所对的圆周角，推出当圆E和x轴相切时，ZMPN最大，设Exy则Px0根据圆半径相等得到关于x和y的方程，解之即可.【详解】解..•点P在x轴正半轴上，作的外接圆E则ZMPN为弦MN所对的圆周角，・.・当圆E的半径最小时，ZMPN最大，・・・当圆E和尤轴相切时，ZMPN最大，设Exy则Px0又M14N-12根据EM=EN二PE则x-I+V_42=x+1+y_22=寸由x-l2+y-42=x+l2+.y-22化简可得x+y=3由x-l2+y-42=/化简可得x2-2x+17-8y=0将y=3-x代入V-2尤+17-8y=0中，解得x=\或x=・7舍，:.P10故答案为
10.\r!AOP【点睛】本题考查了圆的性质，切线的性质，圆周角，根据夹角转化为圆的半径最小是解题的关键，有一定难度.
17.（2021-四川温江•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=Jj+29AD=也・把AO沿4E折叠，使点恰好落在A3边上的ZT处，再将△AEZT绕点E顺时针旋转，得到使得T恰好经过8ZT的中点再ATT交A8于点G连接AQ.有如下结论
①尸竺△/TEG；
②扇形ED7T围成的圆锥底面积为而叫
③QF的长度是方JL7匕-2；
④翌=用-1上述结论中.所有正确的序号是__・AA【答案】
②③④【分析】
①判断可得结论.
②求出/DED=7宁，利用弧长公式，圆的周长公式圆的面积公式即可得出结论.
③求出EFE4可得结论.
④证明AAEAs淑p可得竺=竺=右-].A4AF【详解】解•.•把沿AE折叠，使点恰好落在人B边上的P处，/.ZD=ZADE=9°=ZDAE/AD=AD‘，四边形ADED是矩形，又\AD=AD=439四边形APED是正方形，.•.AD=AD，=D，E=DE=后AE=y/2AD=y[6，ZEAD1=ZAEDr=45°f:.DB=AB-ADf=2•・•点f是g/y中点，••・DF=:.EF=+2=VJTT=2，•・•将MED绕点E顺时针旋转a/.AE=ArE=yj6fZUElT=aAEADT=ZEAU=45°:.A!F=R—2故
③正确；•./FED=30°•0=30°+45=75设扇形围成的圆锥底面圆的半径为尸5^3~24~圆锥的底面积=4x若2=瓮勿，故
②正确，•.•AE=AEZAE4/=75°••・ZE4A/=ZE4rA=
52.5°:.ZAAF=
7.5°•・DE=rTEEG=EGRt△EDGmRi△ED〃GHL・ZjyGE=ZIfGE•.・ZAGEf=ZAAG+ZAAG=105°ZDGE=
52.5°=ZAAF又ZAFA=ZEFG•••岱亮邓F故
④正确，ZEA!Dr=45°ZAAF丰45°Z/W尸戏E4GAAFd4EG不全等，故
①错误所以所有正确的序号为
②③④.故答案为
②③④.【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，孤长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键.
18.（2021•四川青白江•二模）如图，AC是双曲线y=-±关于原点对称的点，BDX【答案】捋-欢【分析】（\\设点Ax-要使当线段人与3D都最短，就是使04最短，利用勾股定理表示出x）Q4与工的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出0A的最小值，即可求出AC的值；再利用同样的方法可求出8C的长；再证明AABC是等边三角形，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式可求出阴影部分的面积.【详解】
（1）解设点A加―，要使当线段4C与都最短，就是使0A最短，X.••当X—=时，的最小值为媚，x.X=\（负值舍去），.••点人
（11）点C（—1—1）；:.AC=2\[2，设点8（一，），要使当线段都最短，就是使08最短...成=卜+印TTw，•.•当工-一=时，3的最小值为把，x.x=-^3（负值舍去），.••点8（项，右），点（后，-右）；・.•点8和点，点人和点C关于原点对称，・・・BC=AB=CD=ADJ（可+（何=2^
2.•.△ABC是等边三角形，...BC=AC=AB・.・r=2扼，・・・S阴影部分=4-^（2/2y--x2/2x^=—8/
3.
（62）3故答案为-^—-8^3【点睛】本题考查了反比例函数，线段最值，二次函数求最值，等边三角形，弓形面积的计算解题关键在于求出线段的最值.
19.（2021•四川达州呻考真题）如图，在边长为6的等边AABC中，点EF分别是边ACBC±的动点，AAE=CF连接距，4尸交于点P连接CP则b的最小值【答案】2右・【分析】首先证明匕4邛=120，推出点P的运动轨迹是以为圆心，0*为半径的弧.连接C交于当点P运动到PF寸，CP取到最小值.【详解】如图所示，.・•边长为6的等边AABCC・.・AC=AB=6ZACB=ZCAB=60°又・.・AE=CF:.^ACF^BAESAS:.ZCAP=ZPBA:./EPA=/PBA+ZPAB=ZC4P+ZE4B=ZCAB=60°・•・ZAPB=120°..•点P的运动轨迹是以0为圆心，0A为半径的弧此时ZAOB=nO°连接C交于P当点P运动到P时，CP取到最小值CA=CBCO=COOA=OB:.△ACOmaBCO（SSS）・.・ZACO=ZBCO=30°ZAOC=ZBOC=60°・.・ZCAO=ZCBO=90°XVAC=6^3rOC=・=g=4右...OP=04=AB•tan30=6xM=20cos30°V33T.・.CP=OC-OP=42找=2用即C膈=2后故答案为2右【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识.关键是学会添加辅助线，该题综合性较强.
20.（2021-四川广元•中考真题）如图，在正方形ABCD中，点是对角线位）的中点点P在线段£＞上，连接并延长交CD于点E过点P作PFYAP交BC于点F连接AF.EFAF交BD于G现有以下结论
①AP=PF;
②DE+BF=EF;
③PB-PD=
41.BF;
④Szef为定值；
⑤S四边形函•.（；=SwG.以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.ADBFC【答案】
①②③⑤【分析】由题意易得ZAPF=ZABC=ZADE=ZC=90°9AD=ABZABD=45°9对于
①易知点人、B、F、P四点共圆，然后可得ZAFP=ZABD=45°则问题可判定；对于
②把MED绕点A顺时针旋转90得到4ABH则有DE=BHZDAE=ZBAH然后易得AAEF^/XAHF则有HF=EF则可判定；对于
③连接人C在BP上截取BM=DP连接AM易得B=ODOP=OM然后易证△AOPs4ABF进而问题可求解；对于
④过点人作ANLEF于点N则由题意可得AN=AB若△AEF的面积为定值，则EF为定值，进而问题可求解；对于
⑤由
③可得—=^进而可得△APGsMFE然后AF2可得相似比为—最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解.AF2【详解】解..•四边形ABCD是正方形，PFA.AP:.ZAPF=ZABC=ZADE=ZC=90°fAD=ABZABD=45°
①ZABC+ZAPF=180°・.・山四边形内角和可得ZBAP+ZBFP=180°.••点A、B、F、F四点共圆，・・・ZAFP=ZABD=45°f.•.△APP是等腰直角三角形，・・・AP=FF故
①正确；把△AED绕点A顺时针旋转90得到△如图所示:B:.DE=BHfZDAE=ZBAHZHAE=90°fAH=AEf:./HAF=ZE4F=45°*AF=AF.•.△AEF竺△AHFSAS・.・HF=EF；・DE+BF=EF故
②正确；连接AC在BP上截取BM=DP连接AM如图所示:・4DBFC・.•点是对角线的中点，.OB=OD9BD1AC.OP=OMMOB是等腰直角三角形・•・AB=00，由
①可得点人、B、F、P四点共圆，・.・ZAPO=ZAFB・.・ZABF=ZAOP=90°9:.△人・OPOAAPy/2••桥一而一77一
5.・.OP=—BF2:BP-DP=BP—BM=PM=2OP・•・PB-PD=MbF，故
③正确:
④过点人作ANLEF于点、N如图所示:・4DBF由
②可得ZAFB=ZAFNVZABF=ZANF=90°9AF=AFfA/\ABF^/\ANFAAS:.AN=AB若的面积为定值，则EF为定值，..•点F在线段0D上，.・.£尸的长不可能为定值，故
④错误；由
③可得址=巨AF2•/AFB=ZAFN=2APGZFAE=ZPAG:./\APG^/\AFE.GPAP皿••==EFAF2「•S四边形=S^apg故
⑤正确；综上所述以上结论正确的有
①②③⑤；故答案为
①②③⑤.【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.
三、解答题
21.（2021-山东荷泽•中考真题）在矩形ABCD中，BC=D点E尸分别是边A、8C上的动点，且AE=CF连接欧，将矩形ABCD沿以折叠，点C落在点G处，点落在点H处.如图1当EH与线段交于点P时，求证PE=PF；如图2当点尸在线段的延长线上时，GH交AB于点M求证点M在线段以的垂直平分线上；当旭=5时，在点E由点A移动到中点的过程中，计算出点G运动的路线长.【答案】1见解析；2见解析；3半.【分析】分别根据平行线的性质及折叠的性质即可证得ZDEF=ZEFBZDEF=ZHEF由此等量代换可得ZHEF=ZEFB进而可得PE=PF；连接PMMEMF先证RmPHM#R^PBMHL可得ZEPM=ZFPM再证八EPM£〃FPMSA5由此即可得证；连接人C交EF于点、0连接OG先证明△EAO^^FCOA4S由此可得0C=人=5进而根据折叠可得G=0C=5由此得到点G的运动轨迹为圆弧，再分别找到点G的起始点和终点便能求得答案.【详解】证明..•在矩形ABCD中，:.ADHBCAB=CD；・・・ZDEF=ZEFB..•折叠，・.・ZDEF=ZHEF:・/HEF=/EFB:・PE=PF证明连接PMMEMFG..•在矩形中:.AD=BCAD=ZABC=ZPBA=90°又・..4E=b:.AD-AE=BC~CFf即DE=BF..•折叠，•.・DE=HE匕D=ZEHM=匕PHM=
9.BF=HEZPBA=ZPHM=90又..•由1得PE=PF・PE-HE=PF-BF即PH=PB在RtaPHM与RmPBM中，PH=PBPM=PM:.Rt^PHM^Rt^PBMHL:.ZEPM=ZFPM在PM与^FPM中PE=PFZEPM=ZFPMPM=PMEEPMJFPMSAS:.ME=MF・.・点M在线段EF的垂直平分线上；3解如图，连接人C交EF于点0连接0GVAB=CD=5BC=D・・・BC=5右...在WC中，AC=y/AB2+BC2=10:AD//BC・ZEAO=ZFCO在△E40与△FCO中AE=CFZEAO=AFCOZAOE=ZCOF・..△EAO竺△FCOMS.OA=OC=^AC=59又..•折叠，・.・OG=OC=5当点E与点人重合时，如图所示，此时点尸，点G均与点C重合..•点G运动的路线长为笠【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、圆的相关概念及性质，孤长公式的应用，第3问能够发现G=5是解决本题的关键.
22.2021-山东泰安•中考真题如图1为半圆的圆心，C、为半圆上的两点，且BD=CD・连接4C并延长，与的延长线相交于点E・求证CD=ED；4与OCBC分别交于点FH.若CF=CH如图2求证CFAF=FOAH；若圆的半径为2BD=1如图3求AC的值.7【答案】1见解析；2
①见解析；
②AC=a【分析】连接BC根据ZACB=ZBCE=90ZECD+ZBCD=90°且BD=CD，贝UZE=ZECD即可推导出CD=ED；
①CF=CH，则ZAFO=ZCHF，乂BD=CD，^CAD=ABAD，则/\AFO^ZW/C进而推导出CFAF=FOAH；
②连接OD交于G设OG=x则DG=2—x根据在RtAOGB和中列式22-x2=12-2-x2进而求得工的值，再根据中位线定理求出AC的长.【详解】证明1连接BC・.・AB为直径・.・ZACB=ZBCE=90°ZECD+ZBCD=90•・・BD=CD・•・ZEBC=ZBCD:.ZE=ZECD・・・CD=ED.
①•:CF=CH・・./CFH=/CHF又ZAFO=ZCFH:.ZAFO=ZCHF又.・•BD=CD:.ACAD=ABAD・・・/^AFO^/\AHC.AF_OF^~AH~~CH.AFOFAHCF・CFAF=OFAHE
②连接OD交BC于G.设OG=x贝\\DG=2-xCD=BD...匕CODBOD又・..OC=OB・・・OWBCCG=BG在RtAOGB和RtABGD中22-x2=12-2-x2:.x=-艮|JOG=-44•OA=OB:・0G是△ABC的中位线・・・OG*CD・・・AC=；【点睛】本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型，借助辅助线是解决这类问题的关键.
23.2021-山东聊城•中考真题如图，在△ABC中，AB=ACf是△ABC的外接圆，AE是直径，交于点H点在AC上，连接AD9CD过点E作EF//BC交4D的延长线于点延长8C交AF于点G.求证F是的切线；若BC=2AH=CG=3求EF和CO的长.E【答案】⑴见解析；⑵g*8=半【分析】因为人E是直径，所以只需证明EF1AE即可；因EF〃BG可利用△4HG〜将要求的EF的长与已知量建立等量关系;因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得△CDGsMBG山此建立CD与己知量之间的等量关系.【详解】1证明9AB=AC:.AB=AC•又VAE是的直径...BE=CE・.\ZBAE=ZCAE.u AB=ACf:.AEA.BC.:.ZAHC=90°.:EF〃BC:.ZAEF=ZAHC=90°.:.EFLAE.•.・EF是的切线.2如图所示，连接0C设的半径为尸.EVAE1BC:.CH=BH=-BC=-x2=\.22・.・CG=3・.・HG=//C+CG=1+3=
4.AG=』AH+HG2=0+42=
5.在Rt4COH中•OHiCHJOC又・..OH=AH-OA=3-rfA3-r2+l2=r
2.解得，r=f./.AE=2r=2x—=—.33•:EF〃BC・・・LAHG〜AA£F・.AHHG~AE~~EF•邑一土••血一奇3・5=竺.
9..•四边形时co内接于OO/.ZB+ZADC=180°.・.•ZA£C+ZCDG=180；・・・ZCDG=ZB・・「ZDGC=ZBGA・4CDGdABG..CDCG••扁一而.-AC=y/CH2+AH2=^l2+32=V10:.AB=AC=y/]
0.CD_3•.而W•••cdK5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键.
24.2021-山东临沂•中考真题如图，已知正方形ABCD点E是3C边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点〃落在F处，连接BF并延长，与ZDAF的平分线相交于点H与4ECD分别相交于点GM连接HC求证AG=GH；若AB=39BE=19求点O到直线的距离；当点E在BC边上端点除外运动时，/BHC的大小是否变化？为什么？【答幻⑴见解析；⑵半；⑶不变，理由见解析【分析】根据折叠的性质得到AGLBF结合角平分线的定义得到从而推出ZEAH=fZBAF+ZFAD=45°可得AG=GH；连接DF交AH于点、N易得等腰直角△推出的长即为点到BH的距离，根据DH=FH转化为求FH的长，结合1中条件，证明△ABGs/^AEB得到喋=供=嘿，从而求出GF和GH可得H；AdAE作正方形仙CD的外接圆，判断出点H在圆上，结合圆周角定理求出ZBHC即可.【详解】解1V/XABE沿直线AE折叠，点8落在点尸处，AZBAG=ZGAF=^BAFB、F关于AE对称，:.AGLBF:.ZAGF=90\.・・4H平分ZDAF:.ZFAH=^ZFAD:.2EAH=2GAF+ZFAHZBAF+^-AFAD22=!匕BAF+ZFAD=4ADA..•四边形MC是正方形・•・ZBAD=90°:.ZEAH=^ZBAD=45°f:.ZGHA=45°f:.GA=GH；
（2）连接DHDF交AH于点N由
（1）可知AF=ADZFAH=ZDAH:.AHLDFFN=DN:.DH=HFZFNH=ZDNH=90又・.・ZGHA=45・.・ZFHN=45°=ZNDH=ZDHNf:.ZDHF=90:.DH的长即为点D到直线BH的距离，由（I）知在RtLABE中，AE2=AB2^BE2^・•・准=0+12=面，・.・ZBAE+ZAEB=匕BAE+ZABG=90・.・ZAEB=ZABG:.△ABGs/MEBAGBGAB^~AB~~BE~~AE._AB299而..AG==——=AEV1010“ABBE33面oG===AE面10由
（1）知GF=BGAG=GH・厂〃3面厂日9而.•Or=GH=1010・・・DH=FH=GH-GF=--=3而10105即点到直线的长为遮；5
（3）作正方形ABCD的外接圆，对角线BD为圆的直径•.・ZBHD=90°・.・H在圆周上・•・ZBH8ZBDC..•四边形ABCD是正方形AZBCD=90°BC=CD:.ZBDC=ZDBC=45:.ZBHC=45・・・当点E在BC边上（除端点外）运动时，ZBHC的大小不变.【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，侧重对学生能力的考查几何变换的能力，转化能力以及步骤书写能力，具有一定艺术性.
25.（2021-山东潍坊呻考真题）如图，半圆形薄铁皮的直径AB=89点O为圆心（不与A乃重合），连接4C并延长到点D使4C=CQDH±AB9交半圆、BC于点EF连接OGZABC=00随点的移动而变化.
（1）移动点C当点HB重合时，求证AC=BC；2当045°时，求证BH・AH=DHFH当0=45时，将扇形Q4C剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高.【答案】
（1）见解析
（2）见解析
（3）底面半径为1高为应【分析】
（1）根据直角三角形的性质即可求解;证明即可求解；根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高.【详解】1如图，当点HB重合时，•:DH1AB・../XADB是直角三角形，VAC=CD.・.8C是的中线:BC=—AD=AC2:.AC=BC当045°时，交半圆、BC于点EF・.・AB是直径・.・ZACB=90°U DHLAB:.ZZ+ZA=ZA+Z£=90°:.ZB=ZD•.・ZBHF=ZDHA=90°BHFH:・BHAH=DH・FH・「£4800=45・.・ZAOC=2ZABC=9f}°..•直径48=
8.・・半径OA=4f设扇形QIC卷成圆锥的底面半径为r180解得/=
1..・圆锥的高为^2-!2=V15•【点睛】此题主要考查圆内综合求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及弧长的求解与圆锥的特点.（2021-广东白云•二模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°AC=6BC=8过点C的圆与斜边A8相切于点O与AC9BC边分别交于点EF（异于C的交点）.1求sinA的值;的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由;
（3）若△（£；/与△ABC相似，连接庞，求△AL也的面积.419441800【答案】
（1）
（2）有最小值，该值为；
（3）柴或祟.5625343【分析】
（1）先利用勾股定理可得A3=10再根据正弦三角函数的定义即可得；
（2）如图（见解析），先确定圆心的位置，从而可得EF=OC+OD再根据两点之间线段最短可得OC+OD的最小值为CD然后根据圆的切线的性质可得CDLAB最后利用三角形的面积公式即可得；
（3）分直ECFBC和如FCTBC两种情况，先根据相似三角形的性质得出对应角相等，再利用圆的切线的性质、解直角三角形求解即可得.【详解】解
（1）・.•在RUABC中，ZACB=90°AC=6BC=8AB=yjACr+BC4BC
84.sinA==—=—；AB1052如图，设欧的中点为点O连接OCODCDvZACB=90°.•.以是圆的直径，点是圆心，:.EF=OE+OF=OC+OD由两点之间线段最短可知，当点COD共线时，OC+OD取最小值，最小值为CQ・.•＞是的切线，:.CDLAB:.SRt=-ABCD=-ACBCfBP-xlOCD=-x6x824解得CD=—24则欧的最小值为m；由题意，分以下两种情况
①当〜aABC时，则ZEFC=ZA如图，设时的中点为点0连接CO并延长交A8于点次，连接OD•OF=OC.*EFC=/OCF・.・ZA=ZOCF・.・ZACD+ZOCF=ZACB=90°...ZACD+ZA=90，.•./CrM=90，HPZODfA=90°:.ZODA=90°=ZOiyA点C与点重合/.CD%OO的直径...ZCED=ZAED=90，由2已得当CDA.AB时AD=yjAC-CD2=—[4:I7541Q44则△即的面积为次•心于
五、云=布
②当aEFC〜时，则ZFEC=ZA][5:EF//ABsinZFEC=sinA=-如图，设EF的中点为点，过点E作EMA.AB于点连接OD]在Rt/\ADE中si=竺ADDE4J72解得庞=云tan4=|即_25_=4AEAE~354解得化=参.•■OD=OE=EM=DM设OD=OE=EM=DM=5x则EF=10xCFCF4在眼以C中，sinZFEC=-即芯云解得CF=8x:.CE=y]EF12-CF2=6x^二AD=AM+DM=—x+5x=—x44又AE+CE=AC=6:.—x+6x=64——x——=——EM=5x——=—44974949rnI』十工口上1港八厂-1301201800则△ADE的面积为:AD•EM=—x—x——=———
227493431944.1800综上，△ADE的血积为=或=・625343【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题
（3）正确分两种情况讨论，并熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键.（2021-广东•广州市第十六中学二模）如图，内接于半圆，业是直径，过A作直线MV^ZMAC=ZABC9规作图，并保留作图痕迹，并求证FD=FG.3若8C=4AB=6求人【答案】1见解析；2见解析；31【分析】根据圆周角定理得到ZACB=90°再证明/M4B=90，然后根据切线的判定定理得到结论；作AC的垂直平分线交AC于点，利用基本作图作DELAB利用圆周角定理得到ZDBC=ZDBA然后证明ZFDB=ZFGD得到FD=FG；连接£＞交AC于如图，根据垂径定理利用点为AC的中点得到0D1ACAM=CM易得OM=BC=2接着证明八OAM三3ODE得至旧=2然后计算4一0回即可.【详解】解1证明QAB为直径，-.ZACB=90°:.ZABC+ZBAC=90°f-ZMAC=ZABC/.ZAMC+ZBAC=90°即/M4H=90，:.MAA.AB・・・MN是半圆的切线，2证明如图，•・•点D为AC的中点，ZDBC=ZDBA\DE±ABfZDEB=90:.ZBDE=ZBGC・WBGC=ZFGD...ZFDB=ZFGD:.FD=FG・解连接£＞交AC于如图•••点为AC的中点，\OD1AC.AM=CM:.OM=-BC=22在△QW和△QDE中，Z.OMA=ZOEDZAOM=ZDOEOA=OD.・.\OAM=\ODE{AAS:.OM=OE=2:.AE=Q4-OE=3-2=
1.【点睛】本题考查了作图-复杂作图解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了圆周角定理、切线的判定与性质.（2021-四川绵阳•中考真题）如图，四边形ABCQ是的内接矩形，过点A的切线与CD的延长线交于点连接与交于点EAD}CD=\.
（1）求证ADBC〜/XAMD；
（2）设AD=x求VCOM的面积（用工的式子表示）；
（3）若ZAOE=ZCOD求OE的长.【答案】
（1）见解析；
（2）亡兰；
（3）瓯410【分析】
（1）山矩形性质可得ZADM=ZDCB=90°^后证明ZDMA=ZDBC即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出AC=Jj+i根据相似三角形性质得出MD=x2则S=0N=0O=0C=0B=«S，根据勾股定理得出心的值，运用三角形面积公式2表示即可；
（3）记M与圆弧AZ）交于点N，连接N证明ZWVD〜即可得出x2_NDFTi=顼亍禾，求出ND的值，过作DG1AC于G过作OHA.DN于H.运X用等面积法得出HO=DG=-^―根据勾股定理得出w=2DH=2JOD2_HD2，代入数据联立也的值，解方程得出ND=f=卷oa卫设OE=t贝IJ2VPTT32NE匹T根据相似三角形性质即可得出结论.2【详解】解
（1）..•四边形ABCD为OO的内接矩形，AAC过圆心0，且4£C=ZQCB=90°・ZADM=90°・.・ZDAM+ZDMA=90\又•/AM是的切线，故ZDAM+ZDAO=90%由此可得ZDMA=ADAC又VADAC与ZDBC都是圆弧OC所对的圆周角，:.ZDAC=ZDBC・・./DMA=ZDBC又・.・ZMDA=/BCD=90°.•.△DBC〜AAMD；
（2）解由AD=xCD=1则AC=V7T，由题意OA=ON=OD=OC=OB=』x*.2由1知△DBC〜WWD则—BCMD代入£C=1BC=xAD=x1x可得1=—解得MD=x
2.xMD在直角中，MA=』DM2+d£=Jj+f所以=-MA^OC=-y/x2+X4~yjx2+l△c°M2224解记湖与圆弧AO交于点N连接DN.过作DG1AC于G过作OH±DN于H.易知HO=DG.由等面积法可得S^c=^DADC=^ACDG代入数据得心捋竺石3即5=的.在直角三角形HOD中，DN=2DH=2y]OD2-HD2工2尤2_1由
①②可得—f—=^—，得尸=2尸一22V%+1仙+1解得%!=\/2x2=-/2（舍去）.NDNE由ND//AC故△AED〜△OE4故一=—.AOOEV3虽T设OE=t则NE=Et，代入得*=—2V3tT解得t=瓯即0E的长为瓯.1010【点睛】本题考查了圆的综合问题，相似三角形判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，熟练运用相似三角形性质列出方程是解题的关键.
29.2021•广东黄埔•一模如图1正方形ABCD的对角线相交于点O延长OD到点G延长OC到点E使OG=2OD9OE=2OC以OGOE为临边做正方形OEFG连接AGDE.探究AG与DE的位置关系与数量关系，并证明;2固定正方形ABCD以点O为旋转中心，将图1中的方形OEFG逆时针转〃0v〃180得到正方形OE/G”如图2在旋转过程中，当ZQAQ=90时，求〃的值；在旋转过程中，设点气到直线A0的距离为d若正方形人BCD的边长为1请直接写出d的最大值与最小值，不必说明理由.【答案］1£E=AGDE1AG证明见解析;2
①30或150；
②d的最大值为匝玄2d的最小值为把一扼2【分析】延长EQ交AG于点H易证WBWJE得到ZAGO=ZDEO然后运用等量代换证明ZAHE=90°即可；
①在旋转过程中，ZOAG.成为直角有两种情况〃由0增大到90过程中，当ZOAG.=90°时，〃=30〃由90增大到180过程中，当/OAQ=90时，〃=150；
②连接WG，设直线％交直线A0于H作正方形ABCD的外接圆，在旋转过程中，鸟〃的位置有以下两种情况第一种情况，当中在ZOE0内时，ZE1GIH=45°+ZOGA，第二种情况当E】H在ZOEQ】外时，ZE.G./7=45°-ZOGA根据解直角三角形可得6/=2sinZE1GH当ZE.G.H最大时，』最大；当ZE.G.H最小时，〃最小；运用勾股定理即可求得』的最大值和最小值.【详解】解1AG.LDEAG=DE.证明如图1延长ED交人G于点H图1•.•点是正方形ABCD两对角线的交点・OA=OC=ODOAVOD:.ZAOG=ZDOE=90°•.•OG=2ODOE=2OC/.OG=OE在AAOG和ADQE中，OA=OD•ZAOG=ZDOEOG=OEMOG=ADOESAS/.AG=DEZAGO=ZDEOZAGO+ZGAO=90°t.•.ZG4O4-ZDEO=90°ZA/7£=90°AG±DEf故人GJL庞，AG=DE；2
①在旋转过程中，ZOAG=90°有两种情况:图2I〃由0增大到90过程中，当/4=90时，yOA=OD=^OG=^OG}0A
1.•.在RtAOAG中，sinZAG.O=——=一，1OG
2.•.£4=30，•OAVODfOALAG^:.D//AG、:.ZDOQ=£4G|O=30，即/=30；ID〃由90增大到180过程中当NOAq=90时同理可求ZBOG=30°ADOG=180°-30°=150，综上所述，当ZO/1G=90°时，2=30或
150.
②如图3d的最大值为E\H=DE\+DH=晅+旦=把5，11222如图4』的最小值为E】H=DE】—DH■一也=灰-”.11222理由如下如图
3、图4所示，连接Eg设直线％交直线AQ于，作正方形ABCD的外接圆，图3图4仿照
（1）的证明，可证得DE.LAG即在旋转过程中，ZE\HQ=90保持不变，所以d=RH.在旋转过程中，的位置有以下两种情况第一种情况，当M在ZOE内时，ZEG1H=45°+ZOG1A如图3所示，第二种情况当与H在ZOEG外时，ZEGI//=45°-ZOGIA如图3所示，00=2OD=BD=y/2AB=x/2EQ】=
2.在RtgHG\中，..・sinZE\GH=*=%:.d=2sinZ.EfixH所以，当ZE.G.H最大时，刁最大；当ZE.G./7最小时，d最小；设点O到人G］的距离为，贝ijsinZOG}A==-j=由上式可知，当秫取最大值时，NOG/取最大值.在旋转过程中，当与与相切，即ZQ4q=90时，〃取最大值.此时，ZOG.A取最大值，从而ZE.G.H取最大值或最小值.山
①可知，当ZQAG|=90时，ZOGA=30°在
（1）中，已证得MOGuADOE]且ZAHD=90°四边形AODH为正方形5・・・DH=AO=—2DE}=AG.=J（扼）2-（号尸=斗，.•・d的最大值为E、H=DE、+DH=鱼+旦=局11222d的最小值为E】H=DE.-DH=—・11222【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，熟练掌握旋转变换性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键.
30.（2021＜东斗门•九年级期末）如图，是的直径，C、是上两点.AE与过点C的切线垂直，垂足为E直线C与直径的延长线相交于点P弦CD交AB于点F连接4C、AD.BC、BD.
（1）^ZABC=ZABD=60°判断△ACD的形状，并证明你的结论;
（2）若CD平分ZACB求证PC=PF；
（3）在
（2）的条件下，若AD=5后PF=S0求由线段PC、C8和线段所围成的图形（阴影部分）的面积.【答案】⑴MCD是等边三角形，证明见解析；
（2）证明见解析；⑶辱圭【分析】
（1）在同一个圆中，根据同弦对的圆周角相等及条件ZABC=ZABD=^）°可推导出ZADC=ZACD=6Q°，根据等角对等边可得出AC=AD即可证明;
（2）连接C根据切线的性质及角平分线，可推导出NPPC=ZACD+NQ4C=45+NOACZPCF=ZACD+BCP=45+ZBCP进一步得到/PFC=ZPCF再根据等角对等边即可证明;
（3）根据
（2）中结论先证△AQ8是等腰直角三角形，通过在等腰直角三角形中边之间的关系及勾股定理推导出ZCOP=60，再利用转化思想将S阴影=Smcp-S扇形OC；间接求解.【详解】解1证明是等边三角形，证明如下-.•ZABC=ZABD=60°f:.ZADC=ZABC=60，ZACD=ZABD=60°\ZADC=ZACD=60°f:.AC=AD:.^ACD是等边三角形.2连接0C如下图，QAB是OO的直径，ZACB=90°•.・C£＞平分ZACBZACD=ZBCD=-ZACB=45°2•.・P£与相切于点C:.OC±PEf:.ZPCO=90°/OCB+ZBCP=90又・.・ZOCB+ZACO=90°ZACO=ZBCP•/OA=OCZOAC=ZACOZOAC=ZBCP・.・ZPFC=ZACD+ZOAC=45°+ZOACZPCF=ZBCD+BCP=45°+ZBCP...APFC=ZPCF，:.PF=PC.3由2矢口ZACD=ZBCD=45°:./DAB=/BCD=45°/DBA=ZACD=45ZADB=90°f..△ADB是等腰直角三角形，AB=V2AD=5^2x扼=10OA=OC=OB=—AB=52・.・pc=PF=5gZ0CP=90°.OP=y/OC+PC2=10»[6:6【点睛】本题考查了圆的综合运用、等边三角形的判定、切线的性质、等角对等边、等腰直角三角形的判定、勾股定理、扇形的面积，涉及知识点较多、综合性强、难度较大，解得的关键是掌握相关知识点后，利用数形结合、等量代换、转化的思想进行解答.]OP=2OCNP=30，AZCOP=60°S阴影=SaOcP_S扇形OCBH602=—x5x5a/35360当T时252550AD=t=—9BE=2t=2x—=—131313……-5015AD25135Acos^=—=ADAJ=—ZDAE=ZBACAB。
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