2020-2021学年新教材人教A版必修第二册第八章　立体几何初步单元测试

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册第八章立体几何初步单元测试

一、选择题

1、如图，棱长为2的正方体ABCD~中，点E、F分别为人

8、A4的中点，则三棱锥F-ECD的外接球体积为（H41441^4141应——71—717171A.4B.3c.64D.

482、正三棱锥S-ABC的外接球半径为2底边长AB=3则此棱锥的体积为（）9也9也3^327右27右用A.4B.4或4c.4D.4或

43、某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1则该几何体的A・3B・3c.2D.

44、如图，在六边形仙CDEE中，四边形3CE尸是边长为2的正方形△CDE都是正三角形，以gg和CE为折痕，将六边形ABCDEH折起并连接BDDFACAE得到如图所示的多面体ABFDCE其中平面ABFII平面CDE二面角A—BF—C的余弦值为3则折叠后得到的多面体的体积为（）

6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中BM与ED成45角NF与BM是异面直线CN与BM成60°角@DM与BN是异面直线以上四个结论中，正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个

7、阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54》的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为A.饥B.16C.36兀.

8、下列说法中正确的个数是圆锥的轴截面是等腰三角形；

②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台;

③棱台各侧棱的延长线交于一点；

④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.A.0B.1C.2D.

39、在三棱锥P-ABC中，ABLBPAC1PCAB1ACPB=PC=2也点尸到底面ABC的距离为2则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（也兀A.B.2c.12灯D.2物

10、已知不同直线、川与不同平面庆、，且lucemu/则下列说法中正确的是（）A.若以吓，则初B.若01挪，贝l]/-LmC.若1项，则以*D.若*0则mla

11、正四棱锥底面正方形的边长为4高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（）32A.32b.48C.64D.

312、已知圆锥的表面积为27》，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A.0B.3C.2^D.$

二、填空题

13、有如下命题:过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;平行于同一条直线的两条直线平行;如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

14、如图为一个几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6CR=SCAQ=APf点s、D、A、及P、D、C、R共线沿图中直线将拼成一个棱长为12的正方体

15、如图所示是一个三棱柱形状的容器，3上平面旭0AB=60BC=30AC=70心=300这个容器能装进去的最大的球的体积为（容器壁厚度不计）.

16、若两个正方体的外接球的表面积之和为12则这两个正方体的表面积之和为

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面ABCQ为正方形，棱PD与区均垂直于底面ABC，PD=2EC求证平面EBC//平面尸ZM.

18、本小题满分12分如图，已知三棱锥A-BPC中，AC1BCm为AB的中点，D为PB的中点，且△戚8为正三角形./»求证顷平面APC；若BC=49AB=lQf求三棱锥d-BCM的体积.

19、本小题满分12分如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AB=AC=2PA=2也PB=PD.证明平面PAC1平面ABCD；若PA±ACM为PC的中点，求三棱锥B-CDM的体积.

20、本小题满分12分如图所示，底面为平行四边形ABCD的四棱锥P-ABCD中E为PC的中点.求证:PA〃平面BDE.要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论并最终把推理过程用简略的形式表示出来参考答案

1、答案D解析三棱锥F-ECD的外接球即为三棱柱FCQ]—ECD的外接球，三棱柱外接球的球心为枷的中点设为点0利用勾股定理解得半径得到答案.详解如图所示在正方体中，连接FC|FD|三棱锥F-ECD的外接球即为三棱柱FC-ECD的外接球，在△ECO中，取CD中点田连接EH则EH为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M同理可得的外心N连接肋V则三棱柱外接球的球心为的中点设为点0由图可得，EM2=CM2=CH2+MH2又MH=2—EMCH=1EM=CM=-OC2=MO2+CM2+OC=^~可得4所以4；，解得441应48故选D.点睛本题考查了三棱锥外接球问题，转化为三棱柱的外接球是解题的关键.

2、答案B解析画出空间几何体，讨论球心的位置，结合球的性质求得棱锥的高，可求得棱锥的体积详解设正三棱锥的高为h球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心AH=-AD=-（32-f-|次因为底面边长AB=3所以

33、2；当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图此时有ASof=0占，即（右）+0-2）2=22可解得h=3v_11Q3a/3__9a/3vc_alc——x—x3xx3—因而棱柱的体积一3224当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图有财+®=0^2即（右）+（2-时=22可解得h=l9也3也综上，棱锥的体积为4或4所以选B点睛本题考查了棱锥的外接球的综合应用，注意分类讨论及空间线段的关系，属于难题

3、答案A解析根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积.详解解根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P-ABC12rnxSwcX2=rx1x2=n「・三棱锥P-ABC的体积为333故选A点睛本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题.

4、答案B解析多面体旭必隽的体积转化为两个相等的四棱锥的体积和.详解图1如图1设8日，隽的中点分别为m和N连接枷，肱由题意得即上BFMNBF故为二面角A-BF-C的平面角cosZNMA=—所以3过A作AH.LMN于田易证AH±平面BCEFAM=2x—=^3AH=AMsinZNMA=V3x—=^2因为2所以3，所以^A-BCEF--X勺4a/2_8a/2x—故多面体MEDCE的体积为

33.故选B点睛本题考查平面图形翻折成立体图形、二面角、求多面体体积等基本知识，考查了空间想象能力，数学运算能力，属于中档题.

5、答案B解析由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.详解由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为8-7T.故选B.点睛本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.

6、答案C解析根据展开图，画出立体图形，剧诺与ED垂直，不成45，泌与成是异面直线CN与如成60，W与砌是异面直线，故

②③④正确，故选C.A

7、答案C解析设球的半径为R根据组合体的关系，圆柱的表面积为S=2盘+Rx2R=54解得球的半径R=3再代入球的体积公式求解.详解设球的半径为R根据题意圆柱的表面积为S=5+Rx2R=54i解得R=34V=-71R3=—X勿X33=36“所以该球的体积为33故选C点睛本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

8、答案C解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.详解对于

①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，

①正确；对于

②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，

②错误；对于

③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，

③正确;对于

④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以

④错误;综上所述，正确命题的序号是

①③，共2个.故选C.点睛本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9、答案C解析首先根据垂直关系可确定OP=OA=OB=OC由此可知°为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出AP的一个表达式，在△Q4G中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积.详解取A尸中点0由AB±BPfACA.PC可知OP=OA=OB=OC二°为三棱锥p-仙外接球球心过尸作PHA.平面ABCf交平面ABC于h连接AH交8C于G连接°GHBHCpBPB=PC「.HB=HCAB=AC..G为BC的中点OG=-PH=1由球的性质可知°G_L平面ABC9:.OG//PH且2QPB=20很如=抑.•.在中，AG2+OG2=OA2•.•三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4力之=12“故选C.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.

10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解对于若以吓则，仞可能为平行或异面直线，A错误；对于若挪则/，以可能为平行、相交或异面直线，B错误;对于C若I〉°且lua由面面垂直的判定定理可知C正确；对于D若只有当甜垂直于四月的交线时才有D错误.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.

11、答案A解析详解如图:正四棱锥的高PO斜高PE底面边心距0E组成直角^POE.V0E=2cmZ0PE=30°OEA=4・.・斜高h二PE二sin30°Ic^=lx4x4x4=32・・・S正棱锥侧二22故选A

12、答案B解析设底面圆半径为尸，高为”，根据题目条件列出关于尸和”的方程组，解出八”.详解设圆锥的底面半径为，高为斯则母线长为产+号—Til2=—7Tr2+/z2则圆锥的侧面积为227—7rr2+/z2+7ir2=27〃故表面积为22/cr=兀』r2+/z2gp2r=Vr2+/i2得厅=3户

②联立

①②得=3=3右.故答案为B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.

13、答案

①②③解析根据公理1〜4可得出结论.详解公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题

②为公理1;公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题

①为公理2；公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理4平行于同一条直线的两条直线平行，命题

③为公理

4.命题

④为等角定理.故答案为

①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.

14、答案24解析先将展开图还原为原图四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何体的个数.详解将展开图折叠起来后，得到四棱锥P—ABCD其中PD±平面ABC，因此该四棱锥—x6x6x6=72P-ABCD的体积为3，而棱长为12的长方体体积为12x12x12=1728四=24所以需要72个这样的几何体.故填

24.点睛本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题.详解解由于AAxACABBCi则容器足够长，所以最大的球应与三棱柱的三个侧面相切，作截面如图所示，作RSA-pQ垂足为s.n602+702-30219CCqP——PQ=70PR=600=30由余弦定理得2x60x7021的半径为r•••E

一、（7+6+3）与右...Z1，，4匚、32500后兀V=_x7rx（5J5）=•.•球的体积

33.2500后故答案为

3.点睛本题考查球的体积，关键是利用等面积法求球体半径，属于中档题.

16、答案24解析设出两个正方体的棱长，分别求得对应的外接球的半径，由两个正方体的外接球的表面积之和列方程，求得疽+尸的值，进而求得两个正方体的表面积之和.详解设这两个正方体的棱长分别为人，则这两个正方体的外接球的半径分别为两个正方体的表面积之和为疽+胪）=24故答案为24点睛本小题主要考查正方体外接球表面积的有关计算，属于基础题.详解由于四边形AHCD是正方形，:.BCIIAD•.•BCs平面尸D4ADu平面PDA:.BCH平面尸D4vPD±平面A8CQCE_L平面A8CD•/CE//PD•.•CEk平面PEAFDu平面PD4/.CEH平面尸EA•.・gCnCE=C.•.平面£BC〃平面PD

4.点睛本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.解析

18、答案

（1）证明见解析；

（2）迩2

（2）根据题意得M到平面BCD的距离为如的长，由三棱锥D-BCM的体积即为三棱锥M-BCD的体积，由题设条件求出机的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可.详解

（1）证明因为M为AB的中点，D为PB的中点，所以MD是△ABF的中位线，MDPAP.又MDE平面APCAPu平面APC所以MDP平面APC.

（2）在等边三角形PMB中，D为PB的中点:.MDLPB..AP上PB又AP1PCPB、PCu平面PBCPBcPC=P:.APA_平面PBC.\MD1_平面PBCBCu平面PBC:.AP1BCXvBClACPA平面PACPA^AC=A:.BC±平面PACz.PCcz平面PBC.\BC±PC.\MDA_平面PBC即MD是三棱锥M-DBC的高.又因为旭=10M为AB的中点，△RWB为正三角形所以5=5MDf由3C_L平面APC可得BCA.PC在直角三角形PCB中，由PB=5BC=4可得PC=

3.点睛本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积，解题的关键时对三棱锥体积的转化.解析

19、答案

（1）见解析；

（2）1

（2）利用Vb_cdm=Vm_bcd进行转化，先证出OMV平面A5CD从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.详解

（1）证明设BD交AC于点，连接PO在菱形A8CD中，AC1BD又PB=PD是B£＞的中点PODBD・.・ACnPO=O，ACu平面PACPOu平面PAC平面PAC又BDu平面ABC，故平面PAC±平面ABC；

（2）解连接M为PC的中点，且为AC的中点..OMIIPA由

（1）知，BD±PA又B41AC则BD1OMOM1AC5LAC^BD=O平面A8CD又Sg=-BDOC=-x2^x1=^/3OM=-PA=y[

32..Vb_cdm=Vm—BCD=aSaBCDOM=—XXa/3=

1....三棱锥B-CDM的体积为

1.点睛本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法.证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥B-CDM的体积可以转化为以三角形BCQ为底，求M-BCD的体积.解析P连接AC交BD于0连接0E由巳知0E为APAC的中位线（小前提），所以PA〃OE（结论）.

（2）平面外一条直线和平面内一直线平行，则平面外的直线与该平面平行（大前提）PA（Z平面BDEOEu平面BDE（小前提）所以PA〃平面BDE（结论）.上面的证明可简略地写成连接AC交BD于

0.连接0E..•四边形ABCD为平行四边形，...0为AC的中点.又・.・E为PC的中点，.••在APAC中PA〃0EOEu平面BDEPA平面BDE「•PA〃平面BDE.解析。