第3讲《勾股定理》全章复习与巩固基础学生版

《勾股定理》全章复习与稳固根底【学习目标】了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点

一、勾股定理

1.勾股定理直角三角形两直角边人的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c

22.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是1234要点

二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长b、c满足那么这个三角形是直角三角形.要点诠释应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的根本步骤:1首先确定最大边，不妨设最大边长为c；2验证a2+b2与是否具有相等关系:假设cr+b1=/MaABC是以NC为90的直角三角形;假设a2+b1c1时，^ABC是锐角三角形;假设a2+h2c2时，^ABC是钝角三角形.

2.勾股数满足不定方程y+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）显然，以X、处Z为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释常见的勾股数

①

3、

4、5；

②

5、

12、13；

③

8、

15、17；

④

7、

24、25；

⑤

9、

40、

41.如果（、、C）是勾股数，当t为正整数时，以血、bt、a为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的

①、

②、

④、

⑤四组勾股数，它们具有以下特征较小的直角边为连续奇数；较长的直角边与对应斜边相差

1.假设三个数分别为CZ、b、C且QV/7VC那么存在cF=b+c成立.（例如

④中存在72=24+

25、92=40+41等）要点

三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型

一、勾股定理及逆定理的简单应用C

1、（益阳）在Z\ABC中，AB=15BC=14AC=13求AABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路请你按照他们的解题思路完成解答过程.根据勾股定理，利用——►X作为“桥梁”，建——I立方程模型求出X【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解.举一反三【变式】在左ABC中，AB=15AC=13高AD=

12.求ZkABC的周长.C^

2、如下图，ZkABC中，ZACB=90°AC=CBM为AB上一点.求证AM2+BM2=2CM

2.【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.举一反三【变式】△ABC中，AB=ACD为BC上任一点，求证AB2-AD2=BD-CD.类型

二、勾股定理及逆定理的综合应用C^

3、黎川县期中如图，在正方形ABCD中，AB=4AE=2DF=1请你判定ABEF的形状，并说明理由.【总结升华】此题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出be2+ef2=bf

2.、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PAPBPC以BP为边作ZPBQ=60°且BQ=BP连结CQ.1观察并猜测AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.⑵假设PA PBPC=345连结PQ试判断ZiPQC的形状，并说明理由.【总结升华】此题的关键在于能够证出△ABP^ACBQ从而到达线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.举一反三【变式】如下图，在ZkABC中，D是BC边上的点，AB=13AD=12AC=15BD=5求DC的长.5^如果AABC的三边分别为□、b、c且满足疽+/+c2+50=6q+8/+10c判断AABC的形状.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中经常要用到.类型

三、勾股定理的实际应用

6、如图

①，一只蚂蚁在长方体木块的个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的外表向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少？【总结升华】解此题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解.举一反三【变式】（郑州期末）我国古代有这样一道数学问题“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是如下图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，那么该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处那么问题中葛藤的最短长度是多少尺？【稳固练习】一.选择题

1.如图，一棵大树被台风刮断，假设树在离地面3/72处折断，树顶端落在离树底部处那么树折断之前高（）B.7m

2.A.5m如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为（D.10mD-

183.

4.A.15B.16C.17（枣阳市期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min甲客轮用15min到达点A乙客轮用20min到达点B假设AB两点的直线距离为1000m甲客轮沿着北偏东30的方向航行，那么乙客轮的航行方向可能是（A.北偏西30B.南偏西30C.南偏东60如下图，在ZkABC中，AB=AC=5BC=6点E、阴影局部的面积是（）.A）D.南偏西60°F是中线AD±的两点，那么图中

5.

6.BDA.6B.12C.24以下三角形中，是直角三角形的是（A.三角形的三边满足关系a+h=cC.三角形的一边等于另一边的一半某市在旧城改造中，方案在市内一块如下图的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，那么购置这种草皮至少需要（）D.30B.三角形的三边比为123D.三角形的三边为94041A.450元C.150元B.225a元D.300元（江阴市模拟）如图，RtAABC中，ZC=90°AC=12BC=

5.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH四块阴影局部的面积分别为Si、S

2、S

3、S

4.那么S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.144己知，如图长方形ABCD中，AB=3cmAD=9cm将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF那么z^ABE的面积为（）A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.\2cm2二.填空题

9.根据以下图中的数据，确定A=B=，x=.假设一个三角形的三边长分别为6810那么这个三角形中最短边上的高为・如图，BC是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得ZABC=45，/ACB=45，BC=60米，那么点A到岸边BC的距离是米.在直角三角形中，一条直角边为11cm另两边是两个连续自然数，那么此直角三角形的周长为・（西和县校级月考）三角形的三边长为a、b、c且满足等式（a+b）2-c2=2ab那么此三角形是三角形（直角、锐角、钝角）.如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚊，它们都发现C处有食物，点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm/min.结果甲蚂蚊用了2min乙蚂蚊2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距cm・小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm40cm30cm的木箱中，他能放进去吗？（填“能或“不能）.如图，ZkABC中，ZACB=90°AC=BC=1取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与AABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为・三.解答题假设直角三角形两直角边的比是34斜边长是20求此三角形的面积.（安次区校级月考）甲乙两船从位于东西走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由.如图，△ABC中，ZA=90°AC=20AB=10延长AB到D使CD+DB=AC+AB求BD的长.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，BC=

3.将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B处，点A的对应点为4折痕分别与ADBC边交于点MN.求BN的长.【答案与解析】选择题

1.【答案】C；【答案】C；【解析】距离AB2=82+152=289AB=17【答案】C；【解析】解:甲的路程40X15=600m乙的路程20X40=800mV6002+8002=

10002..・甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，..•甲客轮沿着北偏东30，.・・乙客轮的航行方向可能是南偏东60°应选C.【答案】A；【解析】由题意S4BEF=S4CEF，•S阴影=SAABD=—x3x4=

6.【答案】D；【答案】C；【解析】作高，求得高为15m所以面积为1x20x15=150冰.【答案】A；【解析】解过D作BM的垂线交BM于N..图中S2=SRgDI，SaBOC=SaMND，S2+S4=SrsABC.可证明RtAAGE^RtAABCRtADNB^RtABHD.LS1+S2+S3+S4=S1+S3+S2+S4=RtAABC的面积+RtAABC的面积+RtAABC的面积=RtAABC的面积x3=12x5^2x3=

90.应选A.【答案】C；【解析】设AE=x那么DE=BE=9—x在RtAABE中，AB2+AE2=BE29+，=9-x2x=4:.义仙=6危.填空题【答案】225；144；40；【解析】根据勾股定理直接求解即可.【答案】8；【答案】30；【答案】132cm；【解析】由题意1F+W=“+12解得〃=60所以周长为11+60+61=

132.【答案】直角；【解析】解a+b2-c2=2aba2+2ab+b2-c2=2ab:.a2+b2=c

2..•三角形是直角三角形.【答案】100；【解析】依题知AC=60c777BC=80cm「・AB2=602+802=1002AB=l00cm.【答案】能；【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm根据题意，得x2=502+402+302=500072=4900因为4900V5000所以能放进去.【答案】-；8解答题【解析】解设此直角三角形两直角边分别是3x4%由勾股定理得3x2+4x2=202化简得x2=

1619..•直角三角形的面积为-x3xx4x=6x2=

96.2【解析】解由题意得甲2小时的路程=30x2=60海里，乙2小时的路程=40x2=80海里，602+802=1002ZBAC=90°•.•C岛在A北偏东35方向，•.•B岛在A北偏西55°方向.乙船所走方向是北偏西55°方向.解设BD=x那么CD=30—x.在RtAACD中，根据勾股定理列出（30—1）2=（x+]o）2+2o2解得x=

5.所以BD=

5.

20.【解析】解点A与点#点3与点步分别关于直线初V对称，AM=A!MBN=BN・设BN=BN=x贝iJCN=9—x・.・・正方形仙CD・.・ZC=90°.・.・CN2+BfC2=BN

2.・..8C=3・..（9-x）2+32=x

2.解得x=5•・.・BN=

5.。