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文本内容:
课时跟踪检测
(二十)直线与椭圆的位置关系[A级基础巩固]
1.己知直线/过点(3-1)且椭圆C+会=1则直线,与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.C.2D.32(—1)2解析选C因为直线过定点(3一1)且云+成匕<1所以点(3—1)在椭圆的内部,故直线,与椭圆有2个公共点.
2.若直线y=kx+2与椭圆号+g=l相切,贝!I斜率k的值是()tilB-乎C.土普D.土平解析选C把y=kx+2代入百+,=1得(2+3砂)¥+12々+6=0由题意知J=
03.过椭圆x2+2j2=4的左焦点作倾斜角为§的弦AK则弦48的长为()A*B.^CD2v16u6解析选B易求直线48的方程为y=“x+S.y=y[3x+y/2厂
9.消去并整理,得7x2+12\2x+8=
0.设AxiyiBx2J2x2+2y2=4则Xl+x2=_尹X1X2=^.由弦长公式,得|A8|=J1+*|*i—0|=J1+(S)2X一号仅)2—4乂3=¥.—x2V
24.己知F是椭圆药+3=1的一个焦点,为过椭圆中心的一条弦,则△A8F的面积最大值为()A.6B.15C.20De12解析选D由题意知,Smbf=§|OF|•跖一/2氐§|0同・2=
12.
5.己知椭芹+若=1>力>0的一条弦所在的直线方程是x-j+5=0弦的中点是M-4l则椭圆的离心率是B*展展解析选C设直线X—j+5=0与椭圆相交于AX1JiBx2J2则xi+x2=—8ji+j2=2直线48的斜率=XiX2XI+乂21一*2L+》201一2_tt十—U.1—2_比Xl+x
2.史_【j+K=1•海=牙
7.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆地球看作是球体,测得近地点A距离地面mkm远地点B距离地面〃km地球半径为Rkm关于这个椭圆有下列说法:
①焦距为n—m;
②短轴长为寸m+Rn+R;》n—m
③离心率e=g〃+2R.其中正确说法的序号为一解析由题意,得〃+A=g+cm+R=a_c可解得2c=n—m2b=2y]a2—c2=2\lm+Rn^-Re=mJ^nJ^2R9故
①③正确,
②不正确.答案
①③
228.过椭圆号+;=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于43两点,为坐标原点,则△04B的面积为解析由题意知,右焦点的坐标为10直线的方程为j=2x-l将其与§+§=1联立,消去丹得3x2-5x=
0.答案房
9.已知椭圆4x2+j2=l及直线j=x+m若直线被椭圆截得的弦长为套/方程.解把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+j2=l得4x2+x+m2=l+/n2—1=
0.*则J=2m2-4X5Xm2-l=-16m2+200设直线与椭圆的两个交点的横坐标为XlX
2.2mm2—l则X1十冲二一勇-X[X2=~~根据弦长公式,得而•顼半解得〃=°.因此,所求直线的方程为J=X.
2210.如图,已知椭圆圭+右=1对>0F1凡分别为椭圆的左、右焦点,4为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点
8.⑴若ZFiAB=90°求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2且AFi=2FiB求椭圆的方程.解⑴若ZFiAB=90°则左AOFi为等腰直角三角形.所以^\OA\=\OF2\9即b=c.cy[la2由题知A0bF2l0设j9比——3b/丫24491由AF2=2F2B解得x=2y=~2-代入/+乔=1,得乒+帝=1,即疝+彳=1,解得a2=3b2=2所以椭圆方程为号+¥=
1.[B级综合运用]
11.直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到I的距离为其短轴长的则该椭圆的离心率为()解析选B设椭圆的方程为/+右=1(〃》0)直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点,不妨设直线方程为§+总=1二・椭圆的中心到,的距离为其短轴长的二一=£若点3y)在椭圆4x2+j2=4±则岂的最小值为()B.-1解析选C设日/=化则y=kx—
2.[4x2+j2=4由<消去y整理得ly=kx—2侬2+4寸一4砂x+4砂一1=0』=16矽一4X4侬2—1必+4=0解得A=±m^・.Amin=—选C.
2213.己知动点Pxy在椭圆农+立=1上,若4点坐标为30|AM|=1KPM^AM=0则|万?|的最小值是・解析易知点A30是椭圆的右焦点.VPMAM=0AAM±PM.:.\PM^=\AP|2-\AM^=\AP|2-1•.•椭圆右顶点到右焦点A的距离最小,故|AP|min=2/•|PM|min=V
3.答案“
14.在平面直角坐标系xQy中,点P到两点0一山,00的距离之和等于4设点P的轨迹为C.1求的方程;2设直线y=kx+l与C交于A8两点』为何值时击AJOB此时|A3|的值是多少.解⑴设Pxy9由椭圆的定义知,点P的轨迹C是以0-^30寸为焦点故曲线的方程为十+寸=
1.2设431JiBX29J2联立消去7并整理,得砂+4炉+2々一3=
0.由根与系数的关系得I2k3Xl+》2=一声百X1X2=一泛宥・若OA±OB则xiX2+jij2=
0.因为yiyi=kxi+1A X24-1=A2X1X2+kxi+X2+L所以5s=-e-奇-2】4k2—11=一无耳;=0所以左=±万.当=土;时,Xl+X2=唁,X{X2=—^.所以|AB|=^/1+k2^xi+x22-4xiX2=4*[⑹+4捌=警.[C级拓展探究]
15.有一椭圆形溜冰场,长轴长是100m短轴长是60m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少解分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴、y轴,以长轴的中点为坐标原点O建立如图的平面直角坐标系设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.易知矩形ABCD关于原点及x轴,y轴对称.已知椭圆的长轴长XV2a=100m矩轴长25=60m贝a=5Qm》=30m所以椭圆的方程为乱5+市5=1・设点4的坐标为jox00joO则矗+赛即所=都52—好.根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4xojo.302xiyi=xS-^2502—xi=g-g..•当好=手时,对取得最大值,此时S也取得最大值.这时*0=25皿,刘=15皿・矩形ABCD的周长为4xo+Jo=4X25^2+15^2=16V2m.因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25皿m的直线这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点,这个矩形的周长为160^2m.11AqB2C3D4。