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一、判断题〔每题2分,共20分〕假设A是B的真子集,那么必有A~BO〔X〕必有比小的基数〔J〕一个点不是E的聚点必不是E的内点〔〕无限个开集的交必是开集〔X〕假设E-]那么mE0o〔X〕任何集EuR〞都有外测度〔J〕两集合的基数相等,那么它们的外测度相等〔X〕可测集的所有子集都可测〔X〕
9.假设/〔x〕在可测集E上可测,那么尸3〕在E的任意子集上也可测〔X〕
1.设E为点集,PWE那么尸是E的外点・〔X〕不可数个闭集的交集仍是闭集.〔设{E〃}是一列可测集00=limm〔E/〕.〔X〕IIn-oo〃=1单调集列一定收敛.〔〕
5.假设f〔x〕在E上可测,那么存在如型集FuEm〔E—F〕=0f〔x〕在F上连续.〔X〕
二、填空题〔每空2分,共20分〕设B是R中无理数集,那么B=_c_o设A=贝1」泌=_,#={0}_o[23nJ—||0000设A〃=〔——一〕/=012,…,那么uA〃=—〔―11〕_cA〃=_{0}〃+1〃+1〃=〃=1——有界变差函数的不连续点构成的点集是至多可列集设E是
[01]上的6〃刀集,贝\\mE=_0o闭区间叵句上的有界函数兀x〕Riivann可积的充要条件是_/俄〕忐[用上的几乎处处的连续函数ORimann函数是_Rimarm可积也是Lebesgue可积的
三、计算题〔每题10分,共20分〕\_
1.计算lim〔R〕「一sin3nxdx□〔提示使用Lebesgue控制收敛定理〕looJo1+2解:设九⑴=心22,狙%〔乃=1,2…〕那么1+〃W〔1〕因九3〕在[01]上连续所以是可测的;〔2〕limfn〔x〕=0a:g[01];/—X».〔3〕因为显然F〔x〕在[01]上可积于是由Lebesgue控制收敛定理,有保尤为大于1的无理数1为有理数解因为有理数集的测度为零,所以/x=x2a.e.于[01]/x=xa.e.于[12]于是
四、证明题〔每题8分,共40分〕0000证明A\U=nA\A〃/i=ln=\□000证明A\〔|j4〕=An〔U4〕cn=\n=\oo-n〔An<〕n=\设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合,证明M是至多可列集证明由有理数集的稠密性可知,每一个开区间中至少有一个有理数,从每个开区间中取定一个有理数,组成一个集合A因为这些开区间是互不相交的,所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的那么A是有理数集的子集,故至多可列,所以M也是至多可列集
3.证明假设m*E=O那么E为可测集证明对任意点集T显然成立着mTmTDE+冰CT另一方面,因为E=0而TRIEczE所以m*Tp|ErnE于是m*rC|E=0又因为CTW,所以m*Tm*rn£c,从而m*Tm*Pl£+mTA总之,mT=mTA£4-mTHECO故E是可测集
4.可测集E上的函数/*3为可测函数充分必要条件是对任何有理数,集合£[/%r]是可测集D
1、A\BUC=A\B\C成立的充分必要条件是A、AczBB、BuAC、AuCD、CuAA
2、设E是闭区间[01]中的无理点集,贝UGE是不可测集DE是闭集C
3、设E是可测集,A是不可测集,mE=0那么EIJA是A可测集且测度为零B.可测集但测度未必为零C.不可测集O•以上都不对B
4、设{fnx是E上几乎处处有限的可测函数列,/•、是E上几乎处处有限的可测函数,贝ij{zx}几乎处处收敛于/X是{九x}依测度收敛于/工的A必要条件充分条件C.充分必要条件D无关条件D
5、设fx是厅上的可测函数,那么A/x是E上的连续函数/x是E上的勒贝格可积函数/%是E上的简单函数fx可表示为一列简单函数的极限设/x是-8+oo上的实值连续函数,那么对于任意常数,E={x\f{xa}是一开集,而E={x\fxa}总是一闭集证明假设x°eE贝版气〉,因为fx是连续的,所以存在$0使任意XEY08Ix-x0|$就^/尤a5分即任意尤£U3o,d就有E所以UOo,au是开集10分假设x〃cE且工〃ta o〃too那么由于f⑴连续,/x0=limfxna9M—00即xeE因此E是闭集1设=0」心0〃〃=12・..求出集列{凡}的上限集和下限集n证明linvl〃=0oo5分〃一8设xg0oo那么存在N使xN因此时,Qxn即xe所以工属于下标比N大的一切偶指标集,从而工属于无限多A〃,得xelim^/—00又显然lirn^u0oo所以lirn^=0co7分〃TO0〃一>8lim=放12分〃一>8假设有xelimAn那么存在N使任意nN有xeA/因此假设2〃一l7V时/—coxe艮[30工上,令〃Too得0尤0此不可能,所以n2可数点集的外测度为零证明证明设E={xi|z=对任意£0存在开区间/•,使xie/z且|匕|=58分coco所以|J/oE且Z|/I=£,由£的任意性得mE=015i=\i=i得分阅卷人。