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文本内容:
创设情景教学,激发探索乐趣1=——以双曲线的标准方程的教学为例摘要根据20XX年《普通高中数学课程标准》对高中数学教学根本理念的指导,强调高中数学教学以开展学生数学学科核心素养为导向,创设适宜的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质因此,想通过独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式,激发学生学习数学的兴趣,养成良好的学习习惯,促进学生实践能力和创新意识的开展注重信息技术与数学课程的深度融合,提高教学的实效性不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值关键词双曲线;标准方程;教学设计问题源于生活,学习源于探索由于双曲线的标准方程这节课较为公式化,因此为了让学生能更好的理解双曲线的标准方程,设想通过学生自主探索,亲身经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程,体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性,激发学生对数学的好奇心,引导学生从数学的角度发现和提出问题,正确使用数学语言表达问题、进行交流,形成用数学的意识.让学生在自主探索,合作交流中获得新知识,培养学生实事求是的科学态度,锲而不舍的探索精神以及对数学学科的热爱,坚决学好数学的信心,形成正确的数学观
一、创设情境,引入新课本节课的开始由多媒体演示实例,并引导学生观察图中的建筑物.巴西利亚大教堂外形;墨西哥博物馆外形;上海世博轴阳光谷.并指出黄色曲线就是数学中研究的双曲线上述都是实际生活中与双曲线有关的例子除此之外,双曲线在自然界和科学技术中也有着广泛的应用,比方有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线;利用远程双曲线导航的罗兰C卫星导航系统等那如何定义双曲线呢?怎样建立它的方程呢?这就是本节课所要研究的内容,由此引出课题双曲线及其标准方程[设计意图]让学生形成双曲线的感性认识,感受数学的应用价值,表达数学来源于生活实际,又效劳于生活实际.同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力O
二、抽象概括,归纳定义提出思考如何定义双曲线呢?[设计意图]通过创设情境,激发了学生的求知欲,使学生急于想知道双曲线是满足什么条件的点的轨迹,但现有知识又无从答复,形成认知冲突,使学生进入愤怫状态教师指出为探究双曲线的定义,先回忆椭圆的定义,即:椭圆上动点M满足\MF]+\MF2\=2aa0引导一假设将上式改为|咐|-|肱%|=20动点M的轨迹是怎样的曲线呢?[设计意图]“思维从疑问开始”,以问题为出发点,创设有效的学习情景,不仅可以复习旧知,为本节课的学习奠定根底,而且这样设问可以提高学生的求知欲激发学生学习的兴趣.鼓励学生积极参与、主动思考,发挥学生学习的主体作用[解决方法]让学生拿出课前准备好的一条拉链,一块纸板,两枚图钉介绍作图方法在拉链拉开的两段上各选择一点,分别固定在纸板上的点凡,凡处,取拉锁处为M点,由于拉链两段是等长的,那么|岫1肱川=|昭|,设\FF2\=2a把笔尖放在点M处,随着拉链的拉开或闭拢在纸板上作图.如图lo并由此提出思考假设动点M满足|Mg|-|Mg|=2ao0应该怎样作图呢?让学生派代表动手绘图,教师指导,对有困难的学生予以帮助,并展示画图结果对完成较好的学生予以表扬,让学生充分体会到数学探索的乐趣和成功的喜悦[设计意图]双曲线的定义为本节课的教学重点之一,为了突出重点,开展探究活动,让学生动手操作,亲身经历双曲线的形成过程学生完成作图后,再用课件演示作图过程,指出这一条曲线(图1)就是满足:集合F[={M\\MF]-\MF1\=2a9aQ}的动点M的轨迹.假设将上述集合改为P2=\MF^—26zq0},比拟两集合的关系,取|jF7^=2q同理可画出此时动点M的轨迹(图2)o[设计意图]课件演示不仅增强动感,而且帮助学生克服在实际操作中的困难,体现数学的严谨性观察、比拟,归纳上面的曲线称为双曲线其中右支满足\mf]\mf2\左支满足\mf]\mf2\引导二
(1)在纸板上作图说明了什么?
(2)根据上述绘图原理,双曲线上的动点M应满足什么条件
(3)常数M与国句有什么关系?教师引导学生观察、分析,并归纳结论:
(1)平面内
(2)动点M与两个定点乃,凡的差的绝对值等于常数.02a\F}F2\并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为:平面内与两个定点与、%的差的绝对值等于常数(小于\F}F2\)的点的轨迹叫并引入双曲线焦点和焦距的概念这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距[设计意图]按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析,启发学生认识新的概念,这有利于学生对概念的全面理解,同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.并实现对数学图形,符号,文字三种语言的相互转化,渗透数形结合分析问题的数学思想方法引导三如果改变常数2的范围(2o=|F£|,2=02a\FtF2\)动点的轨迹会发生什么变化呢?[解决方法]教师让学生相互讨论,鼓励学生大胆阐述自己的结论,并运用课件进行演示,归纳出[设计意图]通过教师的设问,启发学生思考,让学生在自主探索,合作交流中归纳概括出结论,培养学生发现问题,研究问题,解决问题的能力.上述结论是对满足集合P=\m\\\MFl\-\MF2\\^2a]的动点M的轨迹的全面说明
三、类比探究,建立方程引导四怎样建立双曲线的标准方程呢?[解决方法]先引导学生回忆求曲线方程的一般步骤,然后循此步骤,并类比椭圆标准方程的推导过程,在教师的启发下,由学生自主推导双曲线的标准方程[设计意图]通过学生对旧知识的回忆来了解学生对知识的掌握程度,同时让学生明确思维的目的,为下一步教学搭桥铺路第一步建系建立直角坐标系尤Oy使]轴经过点鸟、%,并且点与线段鸟%的中点重合.在回忆椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后,建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.第二步设点设是双曲线上任意一点,双曲线的图3焦距为2冷0那么,焦点与、%的坐标分别是、-c
0、c
0.又设点M与鸟、乙的距离的差的绝对值等于常数2a第三步写点集根据定义写出〃点的轨迹构成的点集P={M\\MF}|—\MFi\=±2a第四步列方程用坐标法表示条件PM列出方川,刃=0艮:Jx+c2+;/一Jxc2+寸=±2«
①第五步化简化方程川,力=0为最简形式.将方程
①化简,得/-屏2尸=2/一2
②由双曲线的定义可知2c2q即c/所以c2-a
20.令《2-疽=人2其中Z0代入上式,得屏亍一项=2屏两边除以打,得出:22土-%=1(1〉0,〉0)CTO对此方程要强调它是双曲线的焦点在1轴上的标准方程,焦点是Fi—c
0、F2c0焦距2c・[设计意图]为了真正做到让学生主动思考、学习,让学生自己动手,独立的完成这个任务,从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想.前四步学生容易掌握第五步的二次根式较复杂,学生常因运算能力不强而功亏一簧.故在此,教师不失时机地加强了运算技能的训练注意了引导学生比拟椭圆标准方程推导中的二次根式的化简平方,赋值,将含有两个根式之差的等式转化为含有,C三字母的整式,再化为等号右端为1的方程形式.教师对个别有困难的学生进行必要的指导,并选一名学生在黑板上书写化简过程,然后教师点评.这一环节教学有助于突破本节的教学难点注意区别双曲线和椭圆的标准方程中abc的关系双曲线c2=a2+b2(>0人>0与没有确定的大小关系)椭圆c2=a2-b2(>人>0)[设计意图]类比双曲线和椭圆标准方程中的abc的关系,有助于学生克服椭圆学习中的思维定势引导五焦点在y轴上,并且点0与线段鸟%的中点重合,abc的意义同上,双曲线的方程又如何呢?图4[解决方法]先让学生作出图4引导学生观察、比拟图3与图4并根据椭圆的焦点在y轴上的标准方程的推导方法,鼓励学生大胆猜测,归纳出只需将上述标准方程中的工、y互换,即22%=1(1>08〉0)ab~[设计意图]该问的设置,一方面是为了得出焦点在y轴上的双曲线的标准方程;另一方面培养学生的类比能力,充分发挥学生的直觉思维和数学悟性.调动了学生学习的主动性和积极性引导六观察上述两个不同的标准方程,思考
(1)双曲线的标准方程有何特点?
(2)x2/项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系?[解决方法]由学生小组交流,教师对学生的答复进行必要的点评,一定要让学生对上述问题的解答都有明确的认识.并归纳出:由双曲线标准方程确定焦点位置的方法:双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上正项定焦轴.[设计意图]观察、比拟,发现问题;概括、归纳,解决问题,不仅加强了学生对所学知识的进一步理解,而且培养了学生自主探究和鉴别的能力为检验学生对上述结论的掌握情况布置课堂练习:判断以下双曲线的焦点所在坐标轴:22XV/1=125—人9-2
四、实践探索,形成能力例1双曲线两焦点的坐标为鸟-50%50双曲线上一点F到《、”2的距离的差的绝对值等于8求双曲线的标准方程.变式训练例2假设%%是双曲线巴―匕=1的两个焦点.1691双曲线上一点PPFi=10贝ijPFi=⑵PQ是过焦点《的弦,那么\PF2\+\QF2\-\P^=・例3动圆尸过定点A-50并且与圆x-52+/=64外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
五、知识整理,纳入系统1知识点:双曲线的定义,焦点,焦距的概念.双曲线标准方程两类形式,如何由方程判定其焦点所在坐标轴.ab确实定依据.与双曲线定义和标准方程有关的三个常数abc间的关系都为正常数,且c最大,结构类似勾股定理c2=a2+b22数学思想数形结合、等价转化.3数学方法观察、比拟、概括、归纳、类比分析、待定系数法.[设计意图]通过画龙点睛,提纲挈领的小结,将所学知识纳入已有的知识系统之中,形成学生自己的认知结构突出重点,抓住关键,培养学生概括能力通过提炼数学的根本思想方法,使学生掌握数学的精髓和本质,提高数学素养
六、分层练习,提高稳固221求与双曲线〔-匕=1共焦点,且过点3V22的双曲线的方程;1642当06180°时,方程x2cos6+/sin9=l的曲线怎样变化?[设计意图]课后探究题,是较高要求,鼓励学有余力的学生完成.分层作业,既稳固知识,形成技能,利于教师发现教学中的遗漏和缺乏又尊重了学生个体差异,因材施教,兼顾了学习有困难和学有余力的学生,满足了不同层次学生的学习需求,让他们的数学才能获得了最正确的开展
六、教学反思本节课设计遵循“教师为主导,学生为主体”的教学原那么,围绕“层层设问——►自主探索——►合作交流——►发现规律——►归纳总结”这一主线展开,以促进学生的全面开展为目的教学活动中,教师作为引导者、组织者与合作者,把学习的主动权交给学生,通过用拉链画双曲线的真实情景,引导学生逐步发现知识的形成过程,让学生在解决问题的过程中学数学、用数学,鼓励学生大胆尝试、探索、发现、归纳、总结,完成了从感性认识到理性思维的飞跃,表达了“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想,让自主探究、合作交流这种新的教育理念真正走进了课堂在课后反思的过程中,如果在学生动手操作之后,概念出现之前,再用几何画板做一个双曲线的标准方程是如何形成的动态过程,可能效果会更加好在这个根底上让整节课既重视教学结果,又重视教学过程;既重视知识技能的而培养又重视学生情感态度以及价值观的提升其实,激发学生探索精神的方法不仅仅局限在课堂问题的设计,创设有效的情景,通过动手实践操作,能更让学生对问题产生兴趣,有助于问题的提出和解决,这也是我们作为教师想把数学课堂从枯燥变有趣的努力方向常数2动点肱的轨迹1\MF}\-\MF2\=±2tz02a\FF2\双曲线2阴-=2日#|线段乩刊的延长线上以形为端点的一条射线\MF^-\MF\=2a^F}F^段F2Fi的延长线上以可为端点的一条射线326/=0段罚形的中垂线
(4)2鸟E|(违背了三角形三边长的关系)不存在。